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Alcune applicazioni delle proprietà delle proporzioni

Con le proprietà delle proporzioni si possono risolvere alcuni problemi. Proviamo a risolvere questo problema:
Viola ha colto 20 fiori. Se il rapporto tra il numero di fiori blu ed il numero di fiori bianchi colti è 4, quanti fiori blu ha raccolto Viola? E quanti bianchi?

Prima di tutto elenchiamo i dati e le incognite.
Dati:

[math]{x + y} = {20}[/math]

x : y = 4 : 1

Incognite:

[math]{x_{(fiori\;blu)}}[/math]
= ?
[math]{y_{(fiori\;bianchi)}}[/math]
= ?

Applichiamo la proprietà del comporre e risolviamo le proporzioni:
(x + y) : x = (4 + 1) : 4
20 : x = 5 : 4

[math]{x} = \frac{20 * 4} {5} = \frac{\no{20}^4 * 4} {\no5^1} = {4 * 4} = {16\; fiori\;blu}[/math]

(x + y) : y = (4 + 1) : 1
20 : y = 5 : 1

[math]{y} = \frac{20 * 1} {5} = \frac{\no{20}^4 * 1} {\no5^1} = {4\;fiori\;bianchi}[/math]

Controlliamo:
x + y = 20 16 + 4 = 20

Passiamo al seguente problema:
La mamma di Marta ha comprato delle zucchine e delle melanzane. Se il rapporto tra la quantità di zucchine e la quantità di melanzane acquistate è

[math]\frac{4} {3}[/math]
e la loro differenza è 0,5 Kg, quanti chili di zucchine sono stati comprati? E quanti di melanzane?

Iniziamo con lo scrivere i dati e le incognite:
Dati:
x > y
x - y = 0,5 Kg
x : y = 4 : 3

Incognite:

[math]{x_{(zucchine)}}[/math]
= ?
[math]{y_{(melanzane)}}[/math]
= ?

Applichiamo la proprietà dello scomporre e risolviamo le proporzioni:
(x - y) : x = (4 - 3) : 4
0,5 : x = 1 : 4

[math]{x} = \frac{0,5 * 4} {1} = {2\;Kg}[/math]

(x - y) : y = (4 - 3) : 3
0,5 : y = 1 : 3

[math]{y} = \frac{0,5 * 3} {1} = {1,5\;Kg}[/math]

Verifichiamo:
2 Kg - 1,5 Kg = 0,5 Kg

Le proprietà delle proporzioni, inoltre, possono aiutarci a calcolare l'incognita di alcune proporzioni più complicate come questa:

(60 + x) : x = 30 : 20

Sembra impossibile da risolvere, ma con alcuni semplici passaggi possiamo ottenere il valore dell'incognita. Innanzitutto applichiamo la proprietà dello scomporre, in modo che la x sia solo il 2° termine della proporzione:

(60 + x - x) : x = (30 - 20) : 20

Dato che due numeri opposti si annullano otteniamo:
60 : x = 10 : 20

Non ci resta che risolvere la proporzione:

[math]{x} = \frac{60 * 20} {10} = \frac{\no{60}^6 * 20} {\no{10}^1} = {6 * 20} = {120}[/math]

Ed ecco il risultato: 60 : 120 = 10 : 20

Cerchiamo di risolvere un'altra proporzione:

80 : x = 40 : (60 - x)

Prima di tutto dobbiamo applicare la proprietà del permutare agli estremi, in modo che tutte le x si trovino nello stesso membro:
(60 - x) : x = 40 : 80

Applichiamo la proprietà del comporre:
(60 - x + x) : x = (40 + 80) : 80

Dato che

[math]{- x + x} = {0}[/math]
si avrà:
60 : x = 120 : 80

Ora risolviamo la proporzione:

[math]{x} = \frac{60 * 80} {120} = \frac{\no{60}^1 * \no{80}^{40}} {\no{120}^{\no2^1}} = {40}[/math]

Ed ecco il risultato:
60 : 40 = 120 : 80

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