Tesi di laurea Dall'Esame di Maturità all'Esame di Stato

CORSO DI ORDINAMENTO

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

1. Sia (x ) una funzione reale di variabile reale derivabile in un punto .

f x

0

a. Dire se la condizione ' ( ) 0 è:

f x =

0

necessaria ma non sufficiente,

o sufficiente ma non necessaria,

o necessaria e sufficiente

o . Fornire una esauriente

per concludere che la funzione ha un estremo relativo nel punto x

0

dimostrazione della risposta.

3

x

b. Posto ( ) , dove sono parametri reali, determinare tali parametri in modo

f x a, b

= ax b

+

che la curva di equazione cartesiana (x ) abbia un estremo relativo nel punto di

y f

γ =

3 27

  .

coordinate ;

 

4 32

  cercata si ottiene per = 2, studiare tale curva e disegnarne

c. Controllato che la curva a

γ

l’andamento in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).

d. Nello stesso piano (Oxy) disegnare l’andamento della curva ’ di equazione ' ( ) ,

y f x

γ =

dopo aver determinato, in particolare, le coordinate dei punti comuni a e ’.

γ γ

e quello di ’. Quale?

e. Sussiste un’evidente relazione fra l’andamento di γ γ

2. In un piano sono assegnate una circonferenza k di raggio di lunghezza data r ed una parabola

α

p passante per gli estremi A, B di un diametro di k e avente come asse di simmetria l’asse del

segmento AB. L’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola p e dal segmento AB è

8 2 .

r

3

Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani (Oxy):

α

determinare l’equazione della circonferenza k;

a.

b. determinare l’equazione della parabola p;

c. trovare le coordinate dei punti comuni a k e p;

d. calcolare le aree delle regioni piane in cui la parabola p divide il cerchio delimitato

da k;

e. stabilire per quale valore di r la maggiore di tali aree è uguale a

139

3. Considerato il quadrato ABCD, sull’arco di circonferenza di centro A e raggio AB, contenuto

ˆ

nel quadrato, si prenda un punto T in modo che l’angolo misuri 2x radianti. Si conduca

T A B

quindi per T la retta tangente alla circonferenza e si chiamino P e Q i punti in cui essa seca le

rette BC e CD rispettivamente.

a. Esprimere in funzione di x il rapporto:

b. Studiare la funzione f(x) ottenuta, tenendo conto dei limiti imposti alla variabile x

dalla questione geometrica, e disegnarne il grafico in un piano cartesiano ai fini della

risoluzione del punto c).

c. Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che il rapporto considerato

sia uguale ad un numero reale k assegnato.

Verificare che il rapporto f(x) può essere scritto nella seguente forma:

d.

e. Stabilire che risulta:

________________________________________

Durata massima della prova: 5 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

140

Pag. 1/2 Sessione ordinaria 2000

Seconda prova scritta

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:

1. e [1]

a. Di ciascuno dei seguenti integrali:

, , , ,

dire se le condizioni [1] sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta

affermativa qual è questo.

3

( )

b. Posto: , dove sono parametri reali con 0 , determinare

f x ax bx c a, b, c a

= + + ≠

(x ) che soddisfano alle condizioni [1].

le curve di equazione y f

=

c. Dimostrare che ognuna delle curve trovate ha uno ed un solo punto di flesso che è

centro di simmetria per la curva medesima.

d. Determinare quella, tra tali curve, che ha il flesso nel punto di ordinata – 4 .

e. Fra le curve suddette determinare, infine, quelle che hanno punti estremanti e quelle

che non ne hanno.

Il rettangolo ABCD è tale che la retta che congiunge i punti medi dei suoi lati più lunghi, AB e

2. CD, lo divide in due rettangoli simili a quello dato. Tali lati hanno lunghezza assegnata a.

a. Determinare la lunghezza dei lati minori del rettangolo.

b. Sulla retta condotta perpendicolarmente al piano del rettangolo nel punto medio del

lato AD prendere un punto V in modo che il piano dei punti V, B, C formi col piano

2

del rettangolo dato un angolo di coseno . Calcolare il volume della piramide di

13

vertice V e base ABCD.

c. Condotto il piano parallelo al piano della faccia VAD della piramide, ad una

distanza x da questo, in modo però che sechi la piramide stessa, esprimere in

funzione di x l’area del poligono sezione.

Calcolare infine i volumi delle due parti in cui il piano divide la piramide nel caso

d. 141

a

in cui .

x = 2

Pag. 2/2 Sessione ordinaria 2000

Seconda prova scritta

Il candidato dimostri i seguenti enunciati:

3. Fra tutti i triangoli rettangoli aventi la stessa ipotenusa, quello isoscele ha l’area massima.

a.

b. Fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una data sfera, quello di minima area laterale

2 , se è il raggio della

ha il suo vertice distante dalla superficie sferica della quantità r r

sfera.

Il candidato chiarisca, infine, il significato di (fattoriale di ) e il suo legame con i

n

!

coefficienti binomiali.

____________________________

Durata massima della prova: 5 ore.

È consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

142

Pag. 1/3 Sessione ordinaria 2001

Seconda prova scritta

557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

MATEMATICA

Tema di:

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1.

Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x, y:

1 1 1 ,

+ =

x y a

dove a è un parametro reale positivo.

a) Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un

piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).

b) Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di

equazione x+y=4.

c) Scrivere l’equazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1,1) e

2

intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2 .

d) Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla

retta t.

e) Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta

tangente alla circonferenza k.

PROBLEMA 2.

Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:

BD DE EC .

= =

Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.

a) Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.

45 2

b) Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia , dove è una lunghezza assegnata, e

a a

2

ammesso che l’angolo A AB 13 , BC 15 , verificare che

B̂ C sia acuto e si abbia inoltre: a a

= =

tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.

c) Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema

di assi cartesiani, trovare l’equazione della parabola, avente l’asse perpendicolare alla retta BC e

passante per i punti M, N, C.

Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC.

d) 143

Pag. 2/3 Sessione ordinaria 2001

Seconda prova scritta

557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

: MATEMATICA

Tema di

QUESTIONARIO.

1. Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x) per x essendo ed

l a, l

→ →

numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = e fornire un’esauriente

a l

spiegazione della risposta.

2. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f(0)=2.

Calcolare: x

∫ f(t) dt

0

lim ,

x

2 x

0 e

x →

dove è la base dei logaritmi naturali.

e

Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui due facce opposte sono i quadrati

3. ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e D’DE dividono il

cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.

4. Un tronco di piramide ha basi di aree e ed altezza Dimostrare, col metodo preferito, che il

B b h.

suo volume è espresso dalla seguente formula:

V 1 ( ) .

V h B b Bb

= + +

3

In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.

5. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a,b] e tale che, per ogni

x di tale intervallo, risulti f ’(x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in quell’intervallo.

Dimostrare che si ha:

6. 1 1

     

n n n

− −

     

= +

     

1

     

k k k −

dove sono numeri naturali qualsiasi, con .

n, k n > k > 0

7. Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:

a) area massima e perimetro massimo;

b) area massima e perimetro minimo;

c) area minima e perimetro massimo;

d) area minima e perimetro minimo.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.

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Pag. 3/3 Sessione ordinaria 2001

Seconda prova scritta

557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

CORSO DI ORDINAMENTO

: MATEMATICA

Tema di

Considerata la funzione:

8. 3 2

f(x) = a x + 2 a x – 3 x ,

dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un

minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.

sen cos

x x

−

Il limite della funzione , quando tende a + ,

9. x ∞

x

a) è uguale a 0;

b) è uguale ad 1;

c) è un valore diverso dai due precedenti;

d) non è determinato.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.

sen

x x

+

Si consideri la funzione . Stabilire se si può calcolarn