Serie numeriche

CRITERI PER SERIE A TERMINI POSITIVI

Quando si ha una serie numerica è sicuramente utile cercare di capirne il carattere. Per le serie a

termini positivi esistono diversi criteri: in questo paragrafo mostriamo i criteri principali.

PRIMO CRITERIO DEL CONFRONTO ∞

, ≤ ∀ > =

Dati due gruppi di termini positivi, e la serie

=0

∞

(cioè è convergente) allora anche la serie è convergente.

=0

Dimostrazione:

Consideriamo le seguenti quantità,

= =

=0 =0

3 Intuitivamente, sommo tra loro termini tutti negativi: le somme parziali sono “piccole” e quindi la somma si riduce a

un numero finito (reale e negativo), oppure esse sono “grandi” (in valore assoluto) e tendono a -infinito. Non può

essere indeterminata poiché non ci sono segni alterni e non può neppure divergere positivamente poiché i termini

sono negativi.

4 Intuitivamente, sommo tra loro termini tutti positivi: le somme parziali sono “piccole” e quindi la somma si riduce a

un numero finito (reale e positivo), oppure esse sono “grandi” e tendono a +infinito. Non può essere indeterminata

poiché non ci sono segni alterni e non può neppure divergere negativamente poiché i termini sono positivi. 4

≤ ⟹ ≤ ∀

Per ipotesi del teorema, sappiamo che e quindi vale anche che

lim ≤ lim lim =

. Per ipotesi del teorema sappiamo che

→∞ →∞ →∞

lim ≤ .

Per cui possiamo concludere che, necessariamente, →∞

∞

Dato che la serie (a termini positivi, per cui non può divergere negativamente né essere

=0

indeterminata) non può divergere positivamente, l’unico altro carattere possibile è che sia

convergente.

SECONDO CRITERIO DEL CONFRONTO ∞

, ≥ ∀ > = +∞

Dati due gruppi di termini positivi, e la serie

=0

∞

(cioè è divergente positivamente) allora anche la serie è divergente positivamente.

=0

Dimostrazione:

Consideriamo le seguenti quantità,

= =

=0 =0 ≥ ⟹ ≥ ∀

Per ipotesi del teorema, sappiamo che e quindi vale anche che

lim ≥ lim lim = +∞

. Per ipotesi del teorema sappiamo che

→∞ →∞ →∞

lim = +∞.

L’unica alternativa possibile è che →∞

∞

Dato che la serie (a termini positivi, per cui non può divergere negativamente né essere

=0

indeterminata) non può convergere (altrimenti si contraddice l’ipotesi del teorema), l’unico altro

carattere possibile è che sia divergente positivamente.

CRITERIO DEL RAPPORTO

Consideriamo dei valori positivi e il rapporto tra ogni termine e quelle precedente cioè:

+1 ≥ 0

Di tale quantità ne calcoliamo il limite,

+1

lim =

→∞

> 1 +∞) < 1

Se (oppure è la serie è divergente positivamente; se la serie è convergente; se

= 1 nulla si può dire sul carattere della serie. 5

Dimostrazione (intuitiva):

Il rapporto è una frazione in cui il numeratore è il termine di una serie e il denominatore è il

termine precedente. Se il risultato è maggiore di 1 vuol dire che il numeratore è maggiore del

denominatore, cioè la serie è sempre più crescente, quindi si avrebbe la seguente situazione:

> ∀ >

+1

Se la serie a termini positivi è crescente, non può che divergere positivamente.

Se il risultato è minore di 1 vuol dire che il numeratore è minore del denominatore, cioè la serie è

5

sempre meno crescente , quindi si avrebbe la seguente situazione:

< ∀ >

+1

Se la serie a termini positivi cresce, ma sempre meno, non può che convergere.

Se Il risultato è uguale a 1 vuol dire che numeratore e denominatore sono uguali (o quasi, visto che

i limiti sono operazioni molto particolari), per cui si verificherebbe una situazione simile a:

≅ ∀ >

+1

Questa situazione è piuttosto ambigua, per cui non si può comprendere il carattere della serie.

SERIE GEOMETRICA

Tale serie è piuttosto particolare, per cui si approfondisce. Essa assume la seguente forma:

6

= ∗ ≠ 0

in cui è la ragione.

La serie assume il seguente aspetto:

∞ 0 1 2 3 2 3

= ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ⋯ + + ⋯ = (1 + + + + ⋯ + … )

=0

E quindi può essere riscritta come:

∞ 2 −1

= lim (1 + + + … + + ⋯ + + ) =

→∞

=0 2 −1

= ∗ lim (1 + + + … + + ⋯ + + )

→∞

5 Essendo la serie a termini positivi non può decrescere, poiché sommo tra loro numeri positivi (eventualmente può

crescere meno, o più “lentamente”).

6 C’è un diretto collegamento con le progressioni geometriche (si studiano al terzo anno delle scuole superiori). 6

7

≠ 1

Se la formula precedente si può riscrivere come: +1 +1

1 − − 1

2 −1

∗ lim (1 + + + … + + ⋯ + + ) = ∗ lim = ∗ lim

1 − − 1

→∞ →∞ →∞

1 +1

= ∗ ∗ lim ( − 1)

− 1 →∞ .

Vediamo ora cosa succede in base ai possibili valori che può assumere la ragione

> 1

1° CASO :

In tale situazione abbiamo che:

+1

 lim ( − 1) = +∞

il limite poiché è una base maggiore di 1 e il -1 è irrilevante;

→∞

1

 > 0

il termine poiché sia numeratore sia denominatore sono positivi;

−1



resta incognito il segno di che però determinerà il segno finale.

> 1

In conclusione: se la serie geometrica è divergente: sarà divergente positivamente se

> 0; < 0

sarà divergente negativamente se

7 Calcolo della somma di termini in progressione geometrica. Vale la seguente relazione:

+1

1 −

2 3 −1

1 + + + + ⋯ + ⋯ + + = 1 −

Dimostrazione:

Consideriamo la somma di tali termini.

2 3 −1

= 1 + + + + ⋯ + ⋯ + + .

Riscrivo la stessa somma moltiplicando tutti i termini per

2 3 −1 +1

∗ = ( + + + ⋯ + ⋯ + + + )

Faccio la differenza tra la prima equazione e la seconda (1° membro -1° membro e 2° membro -2° membro).

2 3 −1 2 3 −1 +1

− ∗ = (1 + + + + ⋯ + ⋯ + + ) − ( + + + ⋯ + ⋯ + + + )

Tolgo le parentesi e atteniamo:

2 3 −1 2 3 −1 +1

− ∗ = 1 + + + + ⋯ + ⋯ + + − − − − ⋯ − ⋯ − − −

+1

Ci accorgiamo che a destra tutti i termini si elidono, tranne il primo e l’ultimo (1 e )

+1

− ∗ = 1 −

Per cui abbiamo che

+1

1 − = 1 − (1 − )

Dividendo tutti i membri per si ottiene la tesi, cioè quanto dovevamo dimostrare.

+1

1 −

= 1 − ≠ 1.

Ricordiamo che tale formula è valida se e solo se

= 1

Se è facile verificare che la formula si ridurrebbe a:

+1 +1

1 − 1 − (1) 1 − 1 0

= = = = ⟹ privo di significato

1 − 1 − (1) 1 − 1 0 7

0 < < 1

2° CASO:

In tale situazione abbiamo che:

+1 +1

 lim ( − 1) = −1 → 0

il limite poiché ;

→∞

1

 < 0

il termine poiché il denominatore è negativo mentre il numeratore è positivo;

−1

 − ∗ − = (+)

è incognito il segno di che determinerà il segno finale, [ prima si ha: ].

0 < < 1

In conclusione: se la serie geometrica è convergente al seguente valore (il cui segno

dipenderà nuovamente dal parametro ):

1 −1 1

∗ ∗ −1 = ∗ = ∗

− 1 − 1 1 −

−1 < < 0

3° CASO:

In tale situazione abbiamo che:

+1 +1

 lim ( − 1) = −1 → 0

il limite poiché ;

→∞

1

 < 0

il termine poiché il denominatore è negativo mentre il numeratore è positivo;

−1

 − ∗ − = (+)

è incognito il segno di che determinerà il segno finale, [ prima si ha: ].

0 < < 1

In conclusione: se la serie geometrica è convergente al seguente valore (il cui segno

dipenderà nuovamente dal parametro ):

1 −1 1

∗ ∗ −1 = ∗ = ∗

− 1 − 1 1 − −1 < < 1 ⟹ <1

Quindi il caso 2 e 3 coincidono per cui possono essere uniti nel caso

≤ −1

4° CASO:

In tale situazione abbiamo che:

+1 +1

 lim ( − 1) = ∄

il limite poiché è indeterminato (limite a segni alterni);

→∞

1

 <