Condizione necessaria
Date una successione { an } affinché la serie ∑n=1∞an converge è necessario (ma non sufficiente) che limn→∞ an = 0.
Se ∑n=1∞ an converge, allora limn→∞ an = 0.
Oppure se limn→∞ an non è nullo, allora ∑n=1∞ an non converge.
Esempi di serie non convergenti
∑n=1∞ (-1)n; limn→∞ (-1)n oscilla, non converge.
∑n=1∞ n7; limn→∞ n7 = ∞.
∑n=1∞ 7n; limn→∞ 7n = ∞.
∑n=1∞ log n; limn→∞ log n = ∞.
Condizione necessaria
Date una successione {an} affinché la serie ∑n=1∞an converga è necessario (ma non sufficiente) che lim an = 0 n→∞.
Se ∑n=1∞ an converge, allora lim an = 0 n→∞.
Oppure se lim an non è nullo, allora ∑n=1∞ an non converge n→∞.
Esempi di serie non convergenti
∑n=1∞ (-1)n; lim (-1)n n→∞ oscilla, non converge.
∑n=1∞ n7; lim n7 = ∞ n→∞.
∑n=1∞ 7n; lim 7n = ∞ n→∞.
∑n=1∞ log n; lim log n = ∞ n→∞.
Serie a termini positivi
Una serie ∞∑n=1 an è detta a termini positivi quando esiste un indice N ∈ N t.c. an ≥ 0 ∀ n ≥ N.
Una serie a termini positivi non può oscillare.
Converge o diverge.
Criterio del confronto
Date due serie a termini positivi ∞∑n=1 an e ∞∑n=1 bn.
- Se an ≤ bn e ∞∑n=1 bn < ∞, allora ∞∑n=1 an < ∞.
- Se an ≥ bn e ∞∑n=1 bn = ∞, allora ∞∑n=1 an = ∞.
Esempio
Supponiamo ∞∑n=1 1⁄n2 converge, allora ∞∑n=1 1⁄n2+n+1 converge.
Infatti 1⁄n2+n+1 ≤ 1⁄n2.
Serie particolari
∞Σn=1 1/n, serie armonica: diverge.
∞Σn=1 1/nλ, serie armonica generalizzata: converge per λ>1; diverge per λ≤1.
∞Σn=2 1/(n lne(n)r), serie armonica modificata: converge per r>1, diverge per r≤1.
∞Σn=0 qn, serie geometrica di ragione q: converge per |q|<1 con somma 1/(1-q); per q≤-1 oscilla e per q≥1 diverge.
Criterio del confronto (versione asintotica)
Assunte due serie a termini positivi ∞Σn=1 an e ∞Σn=1 bn con bn≠0, ∀n∈N, supponiamo limn→∞ (an/bn) = L, e indichiamo con L.
- Se L∈(0,+∞) allora ∞Σn=1 an ↔ ∞Σn=1 bn convergono o divergono entrambe.
- Se L = 0 e n=1∞ bn converge, allora n=1∞ an converge.
- Se L = ∞ e n=1∞ bn diverge, allora n=1∞ an diverge.
Esempio
n=1∞ 2n+1 - 8/3n, serie a termini positivi per n ≥ 2.
Confrontiamo con n=1∞ (2/3)n che converge, perché si tratta di serie geometrica di ragione q = 2/3.
lim (2n+1 - 8)/3n ⋅ 3n/2n = lim 2n ⋅ 2 - 8/2n = lim 2n(2 - 8/2n) = 2.
Entrambi convergono.
2n+1 - 8 / 3n = 2 ( 2/3 )n + o ( ( 2/3 )n ).
Successioni aritmetiche
n=1∞ ln (1 + 1/n2) verificare condiz. necessaria.
limn→∞ ln (1 + 1/n2) = 0 verificato.
Verificare x è e termini positivi.
ln (1 + 1/n2) ≥ 0; (1 + 1/n2) ≥ 1; 1/n2 ≥ 0 vero.
Confrontiamo bn = 1/n.
lim ln (1 + 1/n2) n→∞ 1/n 1/n = x lim ln(1 + x2) n→∞ x→0 = lim x ⋅ ln (1 + x2) x→0 x2 x1 = 0.
Dove usiamo numero finito diverso da zero.
bn = 1/n2; lim ln(1 + 1/n2) n→∞ 1/n2 1/n2 = x lim ln(1 + x) n→∞ x→0 = l.
Quindi ln (1 + 1/n2) = 1/n2 + o(1/n2) n→∞.
∑n=1∞ 1/n2, serie armonica che converge.
Entrambi convergono.
Criterio del rapporto (versione asintotica)
Assegnata una serie a termini positivi ∑n=1∞ an t.c. an ≠ 0 ∀ n ∈ ℕ si ha che:
- Se limn→∞ an+1/an < 1 , allora ∑n=1∞ an < ∞.
- Se limn→∞ an+1/an > 1 , allora ∑n=1∞ an = ∞.
Esempio
∑n=1∞ 1/n! limn→∞ (n+1)!/n! = 1/(n+1) → 0.
Allora la serie converge.
∑n=1∞ nn/n! limn→∞ (n+1)n+1/nn = e > 1.
La serie diverge.
Criterio della radice (versione asintotica)
Data una serie a termini positivi ∑ an, si ha che:
- Se lim n→∞ √n√(an) < 1, allora ∑ an < ∞.
- Se lim n→∞ √n√(an) > 1, allora ∑ an = ∞.
Esempio
∑ n=1∞ n(ln(e4 + 1/n))n/5n + 3.
n√(an) = n√(ln(ln(e4 + 1/n))n/5n + 3) = ln(e4 + 1/n)n ⋅ √n ⋅ 1/√(5n + 3), n→∞ ⋅ 1/4⋅1/5 = 4/5.
lim n→∞ √n√(an) = 4/5.
4/5 < 1, serie converge.
Se il limite risulta 1 il criterio non fornisce indicazioni.
Criterio della sostituzione
Sia data una serie ∞∑n=1 an a termini positivi t.c. le successione {an nξ} sia non crescente. Si ha che:
La serie ∞∑n=1 an converge se e solo se ∞∑n=1 ann a2n converge.
Esempio
∞∑n=2 ln n/n2 an = ln n/n2. Verificare se an è decrescente.
f(x) = ln x/x2 x ≥ 2 f′(x) = x2 - 2x ln x/x4 = x(1-2 ln x)/x3.
f′(x) = 1 - 2 ln x ≥ 0 ln x ≤ 1/2 x ≤ √e.
x > 0 o √e| per x ≥ 2 f′(x) è negativa quindi f(x) è decrescente.
2n . ln n/2n = ln 2n/2n = n ln 2/2n converge.
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