Serie numeriche
ak è degli
formale
la somma elementi
la
serie numerica
2
. [an]
di successione numerica
una
termini della Serie da an definiamo
partire
a delle somme
la successione
--
Zak di
+ an e modo
ao +... ridotte
+ parziali definita ricorsivo
= Essa
. in
sn o
= .
0
k =
La numerica
serie dice
si : è parziali
convergente
convergente la successione delle
se su
somme
· : um ak s -Somma serie
della
Im sh =
= 0k
+ 0
+
n co n =
b
b -
-
è parziali
Divergente divergente la successione
· delle su
se somme
: am
Im 0
sn ak +
= =
0k 0
0 +
+ =
n
n b b
- - N
+
um Sn ak c
= = -
0
+
n b
- delle parziali esiste
somme
successione
Irregolare il della
limite su
: non
Se
· Im ak-
11m sn =
C
n +
b
- e
significa divergente possibile
determinare
studiare Irregolare
convergente
carattere se
e
Il ,
se o
la somma
geometrica
Serie : +
k 1
la serie
ragione
dice r
di
serie geometrica
5) + r +.
=
La e
serie : e r =
se-1cran
convergente
· Divergente >1
a se
os
+
· =
r
IRRegolare Se -1
· = -
il
calcolare limite
per Sn
: 1 r
-
telescopica
Serie : (bk-bkte) dove bk
della e
forma
dice serie
telescopica la una
serie successionee
5) , reale .
[buz
Questa diverga
è seconda
Irregolare ,
converga
diverge
converge Irregolare
sia .
o
serie a
o se
,
(bk-bk 1) Do-um bk
=
+ C
+
k D
-
esempi :
1) di Mengoli
serie
) -
=
2) -(3a 1
b =
-
S 1
I b
a 0
=
-
=
k 5)
3)(2k
(2k
0 +
= + ↳ a(2k 3)
2k 5) b)
b(2k 2k(a
A b
3a
+
+ +
- =
= -
-
- 5 (2k
(2k 3)(2k 5)
3)(2k
+ 5)
2k 3
+ + +
+ +
-
a
=
5)
En 5
z
b
a =
= =
= +
L
armonica
Serie :
= S diverge <1
co se
+
a ,
se
converge 1
a
se >
,
gi (diverge B-1
a + co se
= ,
converge so 1
>
, convergenza
necessaria
condizione la :
per
Laky Allora
sia una successione .
Tak Um la
e o se um
convergente converge
allora serie
akto
ar non
=
k k
+
D +
D
- - X b
diverge Irregolare
o
è e
an
vero
Non che Lm ak
: convergente e
=
c
k +
D
-
Serie negativi
termini
a non :
& dice termini
o ak negativi ako ↓ER
V
a
serie non se
si .
è
parziali
La monotona crescente
somme
delle
successione . perché crescenti
monotone
~
(a
Questa negativi) divergere
Serie termini puo o
solo convergere Sei
non a co
+ e
·
io I
[sn]
e è limitata -
convergente
ak superiormente
a Tak su
=
A [sny
ak e e ilimitata
Divergente + superiormente
1) del
criterio confronto : il
-e per coseno
[ak] [bk] Caro bk30)
termini tali
due successioni che
e
Siano non negativi
a , ,
bk
ak =
allora o convergente ak
& è
è convergente
bk
Se
· +
ak diverge
diverge
· se a Dk a
0
k =
2) confronto asintotico
del
criterio :
toe Oxe
bro Im
akto allora
siano sia
e o
e +
aak ebk
ce
o
se hanno lo stesso se
carte
+
· lo Déconvergenzak
se convergent
· e argente
S a +
k 0
=
ce C
e Dk
Zo è
è
se =+ conlergente
· convergente
S e
[ak divergent
divergente =
a e
+ k 0
=
3) radice
della
criterio :
Sia Considero
ako
con definitivamente
ak , .
E
Um definitivamente
l 02l(1 e
Serie
la
allora convergente
: ,
= divergente
e
ly1 allora
definitivamente serie a
la
, o
+
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