Ppt Analisi matematica II

FUNZIONI BIUNIVOCHE INVERTIBILI

LA FUNZIONE BIUNIVOCA è quella funzione in cui si verifica che ad ogni y corrisponde una ed una sola x come ad ogni x corrisponde una ed una sola y.

f

A B

x y

f -1

Le funzioni biunivoche sono invertibili

LA FUNZIONE INVERSA della f(x), detta f (x), è la

-1

funzione che agli elementi dell'insieme B associa

uno ed un solo elemento dell'insieme A. 4

DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE

L'insieme A, costituito da tutti i valori che può assumere

 la variabile indipendente x, si chiama DOMINIO della

funzione o CAMPO DI ESISTENZA e dipende dal tipo

di legame (espressione matematica) che c'è tra la x e

la y. Mentre le immagini y corrispondenti alle x di A

sono contenuti in un insieme B che si chiama

CODOMINIO. f

DOMINIO CODOMINIO

X Y

Il DOMINIO di una funzione è costituito dall'insieme

 dei valori reali che può assumere la x affinché si

possa determinare il corrispondente valore della y. 5

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Le funzioni analitiche, che noi studiamo, si possono dividere in due grandi classi:

ALGEBRICHE (quando il legame tra x e y si riduce ad una equazione algebrica

di grado qualunque):

- f. razionali intere y=x +3x -7

3 2

- f. razionali fratte y = 

x 1



x 1

- f. irrazionali y= 3 

2 x 3

TRASCENDENTI (funzione non algebrica):

- f. goniometriche y= senx

f. logaritmiche y=log x (a>0; a=1)

- f. esponenziali y= a x 6

DEFINIZIONE DI FUNZIONE PARI - DISPARI

Definizione di funzioni pari:

 una funzione si dice pari quando f(x)=f(-x) qualunque x

reale; tali funzioni sono simmetriche rispetto all'asse y.

Definizione di funzioni dispari:

una funzione si dice dispari quando f(-x)= - f(x) qualunque x

reale; tali funzioni sonno simmetriche rispetto all'origine degli

y

y

assi. x

x

f. pari 7

f. dispari

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

Fissato nel piano un sistema di riferimento XOY cartesiano ortogonale e

 data la y=f(x) definita in un certo intervallo di estremi (a;b), attribuendo

alla x dei valori, di volta in volta, variabili tra a e b possiamo calcolare, in

base al legame espresso nella funzione, la y corrispondente. Ogni

coppia x e y individua nel piano un punto della curva.

Per x= x --------->f(x )=y -----------> P (x ;y ) y

1 1 1 1 1 1 P

Per x= x --------->f(x )=y -----------> P (x ;y ) 1

2 2 2 2 2 2 1

. P 2 Pn

.

. x

Per x= x --------->f(x )=y -----------> P (x ;y )

n n n n n n

La curva passante per tutti i punti calcolati rappresenta il grafico della

 funzione espressa dalla legge y=f(x). 8

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Le coordinate dei punti di intersezione del grafico

 di una funzione con gli assi cartesiani si

determinano risolvendo l’equazione che si

ottiene ponendo nella equazione y=f(x)

x=0 (per l’intersezione con l’asse y)

 y=0 (per l’intersezione con l’asse x)

 y Y x

(x ;0)

(x1;0) 2 9

(0;y )

1

DETERMINAZIONE DEL SEGNO DI UNA

FUNZIONE

Per determinare il segno di una funzione,

 ovvero per quali valori della x essa

assume valori positivi o negativi

all'interno del C.E., basta risolvere la

disequazione f(x)>0. 10

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI

ESISTENZA

Funzioni razionali intere

 Sono definite qualunque valore assume

 la x (perché le operazioni presenti nella

funzione si possono eseguire qualunque

è il valore della x, e quindi si può

determinare sempre il corrispondente y).

  

Y= 4x -3x +1 C.E. x R

 4 2 11

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI

ESISTENZA

Funzioni razionali fratte

 Sono definite qualunque valore assume la x

 tranne che per i valori che annullano il

denominatore (perché le operazioni presenti

nella funzione si possono eseguire solo se il

denominatore è diverso da zero, in caso

contrario non esiste il corrispondente y).



x 1



y  

C.E. x R-{1}

 1) (1; 

2 

x 1 12

DETERMINAZIONE DEL CAMPO DI

ESISTENZA

Funzioni irrazionali

 In questo caso bisogna vedere se l'indice del radicale è pari o

 dispari. Se è pari allora sono definite qualunque valore

assume la x tranne che per i valori che rendono il radicando

negativo; se è dispari sono definite qualunque valore assume

la x. Quindi:

radicale con indice pari C.E. si ha risolvendo

 RADICANDO > 0

radicale con indice dispari C.E. si ha x R

  

C.E. x R

2

 

y x 1 1) (1; 

 13