Matematica generale (teoria)

DERIVATE

Affrontiamo lo studio delle derivate e in particolare vedremo:

 Concetto di derivata;

 Teorema di Rolle;

 Teorema di Lagrange;

 Teorema di Cauchy;

 Polinomio di Taylor.

CONCETTO DI DERIVATA

La derivata è inteso come un concetto locale, da indagare nel singolo punto del dominio. Data

: ⟶ ℝ . ℝ ()

e si può definire il rapporto incrementale di in

0 0 0

−

0

−

0

Se tale rapporto è positivo è crescente in ; se il rapporto è negativo è decrescente in

0 0

La derivata mostra come si comporta il rapporto incrementale per che si avvicina a cioè:

0

−

0 ′

lim = = ( ) ℝ

0

−

→ 0

0 ′

( ) = 0)

Il segno di indica se la funzione cresce, decresce o è stazionaria (se in

0 0

Per derivare una funzione in un punto è necessario che in quel punto la funzione sia continua, cioè

′

∃ ⟹

Se è continua in (non vale il contrario!)

0 0

Se la derivata esiste in ogni punto del dominio si può considerare la funzione derivata, cioè:

+ − () + − ()

′

= lim = lim

+ −

→0 →0 ′′

()

Con analoga argomentazione si può considerare la derivata seconda che consente di capire

se la funzione sia concava o convessa.

A conclusione del paragrafo, si ricorda che il significato geometrico della derivata prima di una

1

funzione è quello del coefficiente angolare della retta tangente la funzione nel punto cioè:

0

′

= + ( − )

0 0 0

1 Notare che si tratta di un polinomio di Taylor di ordine 1 1

TEOREMA DI ROLLE

: , ⟶ ℝ , ] , [

Sia globalmente continua su e derivabile su

′

= ⇒ ∃ ] , [ . . = 0

Se

Dimostrazione:

Le condizioni del teorema di Rolle sono le stesse del teorema di Weierstrass: per cui siamo sicuri

∃ , , . . ≤ ≤

che

Lo studio delle derivate ci permette di dichiarare che:

′ ′

min ⇒ = 0 max ⇒ = 0

, , ⇒ = ℝ

In particolare, se coincidono con cioè si tratta di una funzione

costante (quindi tutti i punti sono stazionari, cioè minimo o massimo).

2

, ≠ , ⇒ , ,

Se almeno uno tra sia punto interno ad . Supponendo che sia il

′

= 0 = . .

punto interno, si può dire che e quindi Discorso analogo può esser fatto per

TEOREMA DI LAGRANGE

: , ⟶ ℝ , ] , [

Sia globalmente continua su e derivabile su

−()

′

∃ ] , [ . . =

(punto interno) −

Dimostrazione:

= ()

se fosse la situazione coincide con quella del teorema di Rolle. Consideriamo quindi

−

() ≠ (). = + ( − )

il caso più generale Introduciamo la funzione −

[ , ] [ , ]

che risulta anch’essa continua su e derivabile su . Sviluppo la funzione come:

−() −()

= − + ().

− − 3

Scrivendola in questo modo è più facile capire che si tratta di una retta . Si considera ora la

−() −()

= − = − + − ()

funzione − −

2

Definizione di punto interno. Dato un insieme e un suo punto , il punto si dice punto interno se:

∃ >0 . . − ; + ⊂ 2

4

[ , ] [ , ]. = = 0

La funzione risulta continua su e derivabile su Inoltre

cioè in essa valgono le condizioni del teorema di Rolle. Per cui, riprendendo questo teorema

′

∃ ] , [ . . = 0

dimostrato precedentemente, sappiamo che

′

()

Sviluppiamo ora la funzione − ()

′ ′ ′ ′

= − = − −

′

= 0

Sappiamo che quindi:

− () −

′ ′

− =0 ⇒ =

− −

Conseguenza: −

′

= .

Si può utilizzare la relazione per calcolare Considerando infatti la funzione

−

−

′ ′

() =

derivata prima si può porre e risolvere la relativa equazione.

−

TEOREMA DI CAUCHY

, ∶ , ⟶ ℝ , ] , [

Siano continue su e derivabili in

′ ′

] , [ . . − = [ − ]

Allora esiste

Dimostrazione: = − − − [ , ]

Consideriamo la funzione definita su

5

[ , ] ] , [ = ()

continua su e derivabile su . Si può osservare che per cui vale

′

∃ ] , [ . . = 0

l’ipotesi del teorema di Rolle, cioè cioè (sviluppo i calcoli)

3 = + ()

La generica retta ha equazione con coefficiente angolare e intercetta. Nella funzione abbiamo

−() −()

= = − + ()

che mentre

− − − −

4 = − = – + − = 0

Presento i relativi calcoli Calcolo ora anche

− −

− − −

= − = – + − = − − − =

− − −

− − − = − − + = 0

5

Presento i calcoli su e .

= − − − = − − + =

−

= − − − = − − + =

− + = − ()

I due valori sono uguali 3

′ ′ ′

= 0 ⇒ − − − ⇒

′ ′

⇒ ()[ − = ()[ − ] che è la tesi del teorema

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DI CAUCHY

Il teorema di Cauchy può essere usato per dimostrare la regola di De l’Hopital che ricordiamo:

,

Siano due funzioni derivabili (quindi anche continue su un dominio comune e in un intorno di

≠ 0 ≠

. Se per allora:

0 0

′

() () 0 ∞

lim = lim la regola è utile per risolvere le forme indeterminate e

→ → ′

0 0

() () 0 ∞

0 lim () = lim () = 0

Considero solo il caso , per cui accade che → →

0 0

0

Posso esprimere la tesi del teorema di Cauchy in questo modo:

′

() − ()

′ ′

− = − ⇒ =

′

() − ()

()

Generalizziamo la tesi di Cauchy (usando il punto ) e ricordando i limiti precedenti:

0

′ ′

() −( ) () ()

0

= ⇒ = compreso per cui si ha:

0

′ ′

() −( ) () ()

0

′

() ()

lim = lim

→ →

′

0 0

() ()

OSSERVAZIONE AL TEOREMA DI CAUCHY

Riprendendo la relazione della tesi del teorema di Cauchy, cioè:

′

() − ()

=

′

() − ()

Ci accorgiamo che essa può essere vista come il quoziente di due espressioni del teorema di

Lagrange. Infatti:

− ()

′

= −

− ()

′

= − 4

− ()

′

() − () − − ()

−

= = ∗ =

− ()

′

− − () − ()

−

POLINOMIO DI TAYLOR

() ()

Data una funzione si vuole determinare un polinomio che è capace di approssimare il

() ().

valore della funzione in un intorno del punto . Il punto è interno al dominio di Il

0 0

polinomio ( di grado ) che stiamo cercando deve possedere le seguenti caratteristiche:

′ ′ ′′ ′′ ()

= ; = ; = … = ( )

0 0 0 0 0 0 0 0

Cioè, nel punto , il polinomio deve essere uguale alla funzione e nelle sue p