Matematica

Equazione della circonferenza

L'equazione della circonferenza è la somma tra il quadrato delle differenze delle ascisse e il quadrato delle differenze delle ordinate che è uguale al raggio al quadrato.

La formula sviluppata diventa: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, dove a e b sono le coordinate dei punti (P) e x e y sono le coordinate del centro (C).

Per trovare le coordinate del centro si utilizza la formula: x = -a/2 e y = -b/2.

Se il centro è nell'origine, l'equazione diventa: x^2 + y^2 = r^2, che rappresenta l'equazione della circonferenza di centro O.

Esiste anche una equazione in forma canonica della circonferenza: x^2 + y^2 + αx + βy + γ = 0.

Ellisse

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la somma delle distanze.

Da due punti fissi, detti fuochi. La distanza tra i fuochi è detta semi distanza focale, mentre l'asse che contiene i fuochi è detta asse focale.

EQUAZIONE ELLISSE: essa viene calcolata come la somma tra due rapporti:

²x²/a² + y²/b² = 1

dove a e b sono le coordinate degli assi e precisamente, a indica l'asse orizzontale ovvero l'asse delle ascisse, mentre b indica l'asse verticale cioè l'asse delle ordinate.

Se cioè se l'asse delle ascisse è maggiore rispetto all'asse delle ordinate, le coordinate dei fuochi sono rispettivamente: (-c ; 0) (c ; 0).

Se invece cioè se l'asse delle ordinate è maggiore rispetto all'asse delle ascisse, le coordinate dei fuochi sono rispettivamente: (0 ; -c) (0 ; c) dove c indica la distanza tra i fuochi e viene calcolata come la radice quadrata della differenza tra le coordinate:

√(b² - a²)

Se però le coordinate dei fuochi coincidono con il centro (0 ; 0) e l'equazione diventa: x² + y² = a², che è l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e di raggio a.

Di conseguenza la circonferenza può essere considerata come una particolare ellisse avente i fuochi che coincidono con il centro di essa.

ECCENTRICITÀ (е) indica la deformazione della ellisse rispetto ad una circonferenza. Se è pari a 0 allora la deformazione è nulla, se è pari a 1 significa che la deformazione è massima.

/a<1е=c²

IPERBOLE è simile alla definizione di ellisse, solo che in questo caso abbiamo a che fare con una differenza. Infatti, l'iperbole è il luogo geometrico dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

EQUAZIONE IPERBOLE: essa viene calcolata come la differenza tra due rapporti:

x²/a² - y²/b² = 1

Se l'equazione diventa: y²/b² - x²/a² = 1

− =1a x y

Che non è altro che l’equazione di una iperbole equilatera. Se l’iperbole equilatera fa riferimento ai suoi asintoti, l’equazione diventa:

KXY K

dove è un qualsiasi valore costante

A seconda che K sia maggiore o minore a zero, cambia la posizione dei rami.

>0 <0

K K

Se allora l’iperbole ha i suoi rami nel 1° e nel 3° quadrante, se invece l’iperbole ha allora i suoi rami nel 2° e nel 4° quadrante.

I rami di una iperbole sono le due curve che la costituiscono, mentre gli asintoti sono le rette cui si approssimano i rami e che passano per il centro. In tal caso/a>1е=c

PARABOLA

Ultima figura conica è la parabola cioè il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco (f), e da una retta, detta direttrice (d).

In questo caso possiamo avere due tipi di equazione.

Se si ha: l’asse di simmetria è verticale, quindi è parallela all’asse y.

+bx +c=0

y=a x 2

Se si

ha: l'asse di simmetria è orizzontale, quindi è parallela all'asse x.
by +c=0x=a y ( )−b −Δ;
Nel primo caso le coordinate dei vertici vengono calcolate come: 2 a 4 a ( )−Δ −b;
Nel secondo caso le coordinate dei vertici vengono calcolate come: 4 a 2 a2
dove Δ = −4b ac 13
Quando il vertice è nell'origine e l'asse di simmetria è verticale, quindi è parallela all'asse y,
l'equazione diventa: y=a x ( )−b 1−Δ;
Le coordinate dei fuochi sono date da: 2 a 4 ay=−(1+ Δ/4 a)
Mentre l'equazione della direttrice si calcola come:
Possiamo definire:
Vertice: il punto di intersezione tra l'asse di simmetria e la parabola.
Asse di simmetria: la retta che divide la parabola in due parti uguali.
Direttrice: punto che realizza la medesima distanza rispetto al fuoco per ogni punto della parabola.
Fuoco: il punto che realizza la medesima distanza rispetto alla

direttrice per ciascun punto dellaparabola. 14FUNZIONI NUMERICHE DI UNA VARIABILEREALEDati due insiemi A e B, si dice applicazione o funzione da A a B una relazione tra questi insiemi che∀ ∈( x A)per ogni x appartenente ad A fa coincidere uno e un solo valore di y appartenente a B∀ ∈y B )¿Affinché f sia funzione tra A e B, è necessario indicare che f è applicazione da A a B f : A B(y=f x)La funzione viene indicata come:Dove y è la variabile dipendente ed esprime l’immagine di x in f, mentre x è quella indipendente eesprime la contro immagine o immagine inversa di y.L’insieme A è detto dominio della funzione o campo di esistenza o insieme di definizione.L’insieme B è detto codominio della funzione o insieme di variabilità.Se i due insiemi sono uguali, A = B, allora possiamo parlare di applicazione di A in sé stesso.Il dominio di una funzione (D) è l’insieme di

tutti valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y. Mentre il codominio è l'insieme di tutti i valori reali assunti dalla variabile dipendente y. Se gli insiemi A e B sono insiemi di numeri reali, i cui elementi sono definiti variabili, possiamo parlare di funzioni numeriche. In genere, quando parliamo di funzioni numeriche facciamo riferimento alle funzioni matematiche, cioè quelle funzioni che rappresentano le varie operazioni matematiche. Una funzione si dice costante se e quando gli elementi del dominio hanno la medesima immagine. Due funzioni si dicono uguali quando hanno lo stesso dominio. E ancora "y" si dice che è una funzione reale della variabile indipendente x se esiste una legge di ∀ ∈ (x D) funzione che per ogni x appartenente al dominio faccia corrispondere uno e un solo valore di y.

Il grafico o diagramma della funzione è l'insieme di...

Tutti e soli i punti del piano cartesiano aventi per ascissa i valori della variabile indipendente x appartenente al dominio, e per ordinata invece i corrispondenti valori della variabile dipendente y. In altre parole, possiamo dire che il grafico di una funzione è il luogo di punti del piano di coordinate.

Affinché un punto appartenga al grafico, è necessario che le sue coordinate soddisfino l'equazione della funzione, detta anche curva di equazione.

Comunque due punti non possono mai avere la stessa ascissa poiché l'immagine y in ogni x deve essere assolutamente unica.

A seconda della funzione che ci ritroviamo, il grafico può assumere forma diversa.

FUNZIONE LINEARE: nessuna variabile è elevata a potenza, per cui si ha: y = a + bx dove b è il coefficiente angolare della retta, mentre a è il valore dell'ordinata in quel punto in cui il grafico interseca l'asse verticale. Il grafico di una funzione lineare è

sempre una retta.

FUNZIONE QUADRATICA: la massima potenza cui è elevata una variabile è due, per cui si ha:
2y = a + bx + cx
in questo caso il grafico della funzione è una parabola che può essere concava verso l'alto se c > 0 o concava verso il basso se c < 0.

FUNZIONE CUBICA: la massima potenza cui è elevata una variabile è tre, per cui si ha:
2 3y = x + bx + cx + dx 16
Una funzione si dice pari quando, per qualsiasi valore di x appartenente al dominio, si ha che:
f(-x) = f(x)
Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y.
Una funzione si dice dispari quando, per qualsiasi valore di x appartenente al dominio, si ha che:
f(-x) = - f(x)
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi cartesiani.
Una funzione può essere:
Iniettiva quando elementi distinti hanno sempre immagini diverse oppure se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.A.Suriettiva se ogni elemento di B è l'immagine di almeno un elemento di A. Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva, allora abbiamo una funzione biunivoca o biettiva. Quindi una funzione si dice biunivoca quando ciascun elemento di B ha una ed una sola immagine inversa in A. (∀ ∈x A) Comunque, non solo per ogni x appartenente A si può associare un solo elemento y (∀ ∈ (∀ y B, y B) appartenente B, ma allo stesso modo, per ogni y appartenente a B è ∀ ∈ (x A) possibile associare uno ed un solo elemento x appartenente ad A. Per tale motivo si dice che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca. -1 Nel contesto di una funzione biunivoca, possiamo definire quella che è la funzione inversa f. È la funzione che associa ad ogni y appartenente a B la sua immagine inversa x appartenente ad A. Questa contro immagine esiste sempre ed è unica, per questo si dice che la funzione biunivoca.è invertibile. FUNZIONE COMPOSTA Supponiamo di avere tre insiemi (A, B, C) e che f sia un'applicazione da A a B e g sia un'applicazione da B a C. Supponiamo che f faccia corrispondere ad un elemento x di A un elemento z di B e che invece g faccia corrispondere all'elemento di B un elemento di C. Così facendo si viene a creare un'applicazione da A a C che prende il nome di funzione composta o funzione di funzione, che viene indicata come f composto g o g17. Una funzione si dice invertibile se esiste un'altra funzione che, componendola con essa, restituisce l'elemento di partenza.