Riassunti teoria matematica generale

Funzioni di più variabili reali a valori reali

Rassocia uno ed un solo elemento di .Quando n>1 si parla di funzioni di più variabili reali a valori reali.⊆X R →dominio di definizione{ }( ) ∈y= f x , x X →insieme immagineSe n=2 x¿ 1 , x(¿ )(x ), y2x=¿ x x

Dalla geometria: area di una figura geometrica con lunghezza e larghezza .1 2xx2¿ 1 , x(¿ )∈ > >0R : x 0, x2 1 2¿¿ 1 , x(¿ )=x x con X=¿2 1 2¿f

Dalla matematica finanziaria: la rata per estinguere un debito dipende dall’ammontare (A)del debito, dal tasso d’interesse (i) e dal numero delle rate (n).[ ]3( ) ∈ >0A ,i , n R : A , i∈ 0,1 , n>0( ¿R=f A , i, n) x= { }

Dai problemi economici aziendali: se un’impresa produce due beni, il costo totalexdipende dalla quantità prodotta dei due beni ¿ 1 , x(¿ )2¿x { }2¿ 1 , x ∈(¿ )=kx +kx +k x= x R : x ≥ 0, x ≥02 1 2 1 2¿C

da un punto detto centro.( )−a b √ √2 2 2 2( ) ( )c=( ) = −α + −β = + −cα , β ,− r= x x α β1 22 2

Equazione della circonferenza:2 2+ +a + +x x x bx c=01 2 1 2

RESTRIZIONE (rette verticali e orizzontali) ⊂n A X

Sia , la restrizione di f su un sottoinsieme è la funzione ottenuta⊆f : X R → Rvalutando f su soli punti di A.

Valutare la restrizione di f lungo la retta di equazione x=k significa valutare f nei punti di coordinate∈y X φ( y)(k,y) con . F(k,y) è una funzione nella sola variabile y, denotata con .

Valutare la restrizione di f lungo la retta di equazione y=k significa valutare f nei punti di coordinate∈ )x X φ(x(x,k) con . F(x,k) è una funzione nella sola variabile x, denotata con .

RESTRIZIONE (rette oblique)Per farla ricorriamo all’equazione della retta parametrica di una retta di direzione d=(d ,d )1 2passante per (x ,y )0 0{ ( )=x +tx t d ∈t R0

1( )= +ty t y d0 2

Per determinare la restrizione di una funzione lungo la retta (x(t), y(t)) significaf : R → R+ +tx t d , y d ∈t Rvalutare f nei punti di coordinate ( ) con . La restrizione è una funzione0 1 0 2)φ(tnella sola variabile t, denotata con .

DIREZIONE DI CRESCITA LOCALE2 ≠Sia , s semiretta di origine (x ,y ) con direzione (d ,d ) con d 0f : R → R 0 0 1 2( )( )=f + +tφ t x t d , y d t ≥0Sia , la restrizione di f su s. d è una direzione di crescita locale sed 0 1 0 2( ) ( )>φφ t 0ϵ>0 ∈(0, ϵ)tesiste tale che per ogni , o equivalentemente se:d dx¿ 0 , y(¿ )f ∈(0, ϵ)tper ogni .0( )+t + >¿f x d , y t d0 1 0 2

DIREZIONE DI DECRESCITA LOCALE2 ≠Sia , s semiretta di origine (x ,y ) con direzione (d ,d ) con d 0f : R → R 0 0 1 2( )( )=f + +tφ t x t d , y d t ≥0Sia , la restrizione di f su s. d è una direzione di decrescita locale sed 0 1 0 2( ) ( )<φφ t

0ϵ>0 ∈(0, ϵ)tesiste tale che per ogni , o equivalentemente se:d dx¿ 0 , y(¿ )f ∈(0, ϵ)tper ogni .0( )+t + <¿f x d , y t d0 1 0 2

DERIVATE PARZIALI

Una funzione si dice derivabile parzialmente in A se ammette derivate parziali in ogni punto di A.

Classe C o differenziabile= derivabile e le derivate prime funzioni continue.

- Rispetto a x: si ottiene derivando la funzione rispetto a x considerando y come costante.

- Rispetto a y: si ottiene derivando la funzione rispetto a y considerando x come costante.

VETTORE GRADIENTE ∇È un vettore che raccoglie le derivate parziali prime di f e si indica con la lettera greca nabla ()

MATRICE HESSIANA

Matrice che raccoglie le derivate parziali seconde di f:

[ ]' ' ' 'f fxx xy( )=H x , y ' ' ' 'f fyx yy'' ''=f per il teorema di schwarz che dimostra questa uguaglianza per tutte le funzioni dif xy yx 2classe C

METODI PER STABILIRE UNA DIREZIONE DI

CRESCITA (DECRESCITA) LOCALE

1. Ricorrere alla definizione ' (t)
2. Studiare il segno di in un intorno destro di 0φ d' ' ( )(0)≠
3. Se , studiare il segno di Vale infatti il seguente teorema:φ 0 φ 0 .d d x' ( ) <0
   1. Se allora d è una direzione di decrescita locale uscente daφ 0 ¿ 0 , y(¿ )d 0¿x' ( ) >0
   2. Se allora d è una direzione di crescita locale uscente daφ 0 ¿ 0 , y(¿ )d 0¿'  derivata direzionale che si calcola facendo il prodotto scalare.
4. Si può dimostrare che:x ( )dT¿ 0 , y(¿ ) 10 d 2' ( ) =∇ ¿φ 0 fdDa cui si ha x xT¿ 0 , y(¿ ) d> 0 Se allora d è una direzione di crescita locale uscente da ¿ 0 , y(¿ )0 0' ¿( )=∇ ¿φ 0 fd x xT¿ 0 , y(¿ ) d< 0 Se allora d è una direzione di decrescita locale uscente da ¿ 0 ,

y(¿ )0 0' ¿( )=∇ ¿φ 0 fdI PROPRIETA' DEL GRADIENTEx(¿¿ 0)≠ 0Se allora:∇ ¿f x x¿ 0 , y La direzione è la direzione di massima crescita locale uscente da (¿ ) ¿ 0 , y(¿ )0 0¿¿d=∇ fx¿ 0 , y La direzione è la direzione di massima decrescita locale uscente da(¿ )0 ¿d=-∇ fx ;¿ 0 , y(¿ )0¿PUNTO DI MASSIMO/MINIMO RELATIVO/ASSOLUTOCONDIZIONI DI OTTIMALITA'- TEOREMA (condizione necessaria di ottimalità del I ordine)2f : A → R 1Si consideri una funzione , con aperto, f di classe C . Se∃A R xx ¿ 0 , y(¿ )=(0,0)è punto di massimo o minimo relativo allora¿ 0 , y ∈(¿ ) A 00¿ ∇ ¿fDIMOSTRAZIONE x¿ 0 , y(¿ ) ≠(0,0)Per assurdo (negando l'ipotesi) supponiamo che . In questo caso la0∇ ¿fx¿

0 , y(¿)direzione è una direzione di massima crescita locale per la prima proprietà del0¿u=∇f xgradiente e questo implica che non è un punto di massimo relativo.¿ 0 , y(¿)0¿x¿ 0 , y(¿)Analogamente, la direzione è una direzione di massima decrescita locale per0 ¿d=−∇f xla prima proprietà del gradiente e questo implica che non è un punto di minimo¿ 0 , y(¿)0¿relativo. x¿ 0 , y(¿)=(0,0)La condizione è necessaria, ma non sufficiente.0∇ ¿f x1Se f è di classe C ed è definita su un aperto A, è un punto di massimo o¿ 0 , y(¿)0¿x¿ 0 , y(¿)=(0,0)minimo relativo se ma non viceversa.0∇ ¿f- TEOREMA (condizione sufficiente di ottimalità del II ordine) x2 2f : A → RSi consideri una funzione , con aperto, f di classe C eè ¿A R 0 ,

y(¿) ∈ A0¿.Se: x¿ 0 , y(¿)=(0,0)1) ∇ ¿fx¿ 0 , y(¿)¿ 02) 0'' ¿f xxx¿ 0 , y(¿)∨¿ 03) 0¿ ¿HAllorax è di minimo relativo stretto.¿ 0 , y(¿)0¿- TEOREMA (condizione sufficiente di ottimalità del II ordine) x2f : A → R 2Si consideri una funzione , con aperto, f di classe C e∈ ¿ 0 , yA R (¿)∈ A0¿.Se: x¿ 0 , y(¿)=(0,0)1) ∇ ¿fx¿ 0 , y(¿)¿ 02) 0'' ¿f xxx¿ 0 , y(¿)∨¿ 03) 0¿ ¿HAllorax è di massimo relativo stretto.¿ 0 , y(¿)0¿DEFINITA POSITIVA xx x¿ 0 , y(¿)¿ 0¿ ¿0 , y 0 , y(¿) (¿)∨¿ 0