Matematica generale - Teoria

DERIVATA FUNZIONE COMPOSTA

Proposizione: Sia una funzione definita in e derivabile in x , sia

0

0

una funzione definita in con tale che

= ( ) ( ) ⊆

0 0 0 0 0

e derivabile in 0

Allora la funzione composta è derivabile in x e si ha

◦

0

◦

( )'( ) = '(( ))'( )

0 0 0

PROPRIETA’ LOCALI DEL PRIMO ORDINE

CRESCENZA IN 0

Def: Sia e di accumulazione per A.

: → ∈

0

Si dice che è crescente in se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }

0 0 0 0

< ⇒ () < ( ); > ⇒ () > ( )

0 0 0 0

Si dice che è non crescente in se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }

0 0 0 0

< ⇒ () ≤ ( ); > ⇒ () ≥ ( )

0 0 0 0

Oss:

si parla di crescenza a destra e a sinistra di x quando si

0

+ −

considerano le restrizioni e rispettivamente

0 0

CRESCENZA IN E CRESCENZA

0 0

Crescenza in : si tiene fisso e si confronta il valore con il

( )

0 0 0

valore di (), ∀ ∈ − { }

0 0

Crescenza in : per ogni coppia di punti in vale

0 1 2 0

< ⇒ ( ) < ( )

1 2 1 2

f crescente in f crescente in

⇒

0 0 89

DECRESCENZA IN 0

Def: Sia e di accumulazione per A.

: → ∈

0

Si dice che è decrescente in se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }

0 0 0 0

< ⇒ () > ( ); > ⇒ () < ( )

0 0 0 0

Si dice che è non decrescente in se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }

0 0 0 0

< ⇒ () ≥ ( ); > ⇒ () ≤ ( )

0 0 0 0

Oss:

si parla di crescenza a destra e a sinistra di x quando si

0

+ −

considerano le restrizioni e rispettivamente

0 0

PUNTI DI MASSIMO RELATIVO

Def: Sia si dice che è un:

: → ∈

0

punto di massimo relativo (o locale) se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }, () < ( )

0 0 0 0

punto di minimo relativo (o locale) se

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }, () > ( )

0 0 0 0

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA CRESCENZA IN 0

Teorema: Sia derivabile in interno ad A. Allora

: → 0

è crescente in x

'( ) > 0 ⇒ 0

0

Dim: ()−( )

per ipotesi vale allora, per il teorema

0

'( ) = lim > 0

−

0 → 0

0

della permanenza del segno sui limiti ,

∃ : ∀ ∈ ∩ − { }

0 0 0

()−( ) e quindi per tali deve avere lo stesso

0 > 0 , () − ( )

− 0

0

segno di ossia

− − > 0 ⇒ () − ( ) > 0

0 0 0

− < 0 ⇒ () − ( ) < 0

0 0 90

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA DECRESCENZA IN 0

Teorema: Sia derivabile in interno ad A. Allora

: → 0

è decrescente in x

'( ) < 0 ⇒ 0

0

Oss:

I teoremi valgono anche nel caso di derivata infinita

CONDIZIONE NECESSARIA DEL PRIMO ORDINE

Teorema di Fermat (Corollario)

Siano e un punto di minimo (massimo) relativo e

: ⊆ → 0

interno ad A. Se è derivabile allora

'( ) = 0

0 0

Dim:

Supponiamo per assurdo '( ) > 0

0

I. Per il teorema sulla condizione sufficiente di crescenza in , f

0

è crescente in , punto interno al dominio

0

II. è per ipotesi punto minimo relativo

0

Il primo e secondo punto contemporaneamente è impossibile,

dunque non può che essere '( ) = 0

0

Def: I punti in cui si annulla la derivata prima sono detti punti

stazionari

TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO

TEOREMA DI ROLLE

Teorema:

Sia : [, ] →

continua in [, ]

derivabile in ], [

() = () tale che

⇒ ∃ ∈], [ '( ) = 0

0 0 91

Dim:

f continua sull’intervallo chiuso e limitato [, ]

f assume un valore minimo m ed un valore massimo M (W.)

⇒

si possono verificare i seguenti due casi:

a) e sono raggiunti agli estremi dell’intervallo , quindi

[, ]

, perché per ipotesi , f risulta costante e

= () = ()

quindi si ha

∀ ∈ [, ] '() = 0

b) almeno uno tra e è raggiunto all’interno di , ossia

[, ]

, è punto di minimo (massimo)

∃ ∈], [: ( ) = ()

0 0 0

relativo interno ad quindi, per il teorema di Fermata si ha

[, ]

'( )

0

TEOREMA DI CAUCHY

Teorema

Siano , : [, ] →

continue in [, ]

derivabili in ], [

Allora ∃ ∈], [ : [() − ()]'( ) = [() − ()]'( )

0 0 0

Dim:

Consideriamo la funzione ausiliaria continua in e

() = [() − ()]() − [() − ()]() [, ]

derivabile ], [

Vale ,

() = () → () = ()() − ()() = ()

applichiamo il teorema di Rolle a tale che

: ∃ ∈], [ '( ) = 0

0 0

ossia '( ) = [() − ()]'( ) − [() − ()]'( ) = 0

0 0 0

UN’ALTRA VERSIONE DI CAUCHY

Teorema degli incrementi finiti:

Siano , continue in , derivabili in . Sia

, : [, ] → [, ] ], [

'( ) ()−()

inoltre per ogni tale che 0

'() ≠ 0 ∈], [ =

'( ) ()−()

0 92

Oss: garantisce anche che

'() ≠ 0 () − () ≠ 0

Dim:

Se per assurdo allora, per il teorema di Rolle,

() − () = 0

esisterebbe per cui e ciò è impossibile per

∈], [ '( ) = 0

0 0

l’ipotesi aggiuntiva

TEOREMA DI LAGRANGE

Teorema

Sia : [, ] →

continua in [, ]

derivabile in ], [ ()−()

Allora tale che

∃ ∈], [ '( ) = −

0 0

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Retta secante passante per i punti e

(, ()) (, ())

()−()

= + '

−

in la tangente al grafico nel punto

∃ ], [: (, ())//

0

Oss:

In generale, i punti in un intervallo che soddisfano

[, ]

()−()

all’equazione :

'( ) = −

0

possono essere più di uno 93

possono essere esterni all’intervallo e quindi devono essere esclusi

()−()

i punti per cui nel teorema di

⇒ ∈], [ '( ) = −

0 0

Lagrange sono detti punti di Lagrange

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE

Condizione sufficiente per la monotonia su intervalli

Siano un intervallo e . Se f è derivabile in e

: →

per ogni allora f è crescente

'( ) > 0('() < 0) ∈

0

(decrescente) in

Dim:

Dobbiamo provare che .

∀ , ∈ , < ⇒ ( ) < ( )

1 2 1 2 1 2

Considerando l’intervallo in cui applichiamo il teorema di

[ , ]

1 2 ( )−( )

Lagrange tale che . Quindi

2 1

∃ ∈] , [ = '( ) > 0

−

0 1 2 0

2 1

avendo (denominatore positivo) dovrà essere anche

<

1 2

(numeratore positivo)

( ) < ( )

1 2

CARATTERIZZAZIONE DEI PUNTI DI OTTIMO RELATIVO

MEDIANTE IL SEGNO DELLA DERIVATA

Siano un intervallo e una funzione continua in e

: →

derivabile in se si ha

− { }

0 −

per ogni

'() > 0('() < 0) ∈ = ∩] − ∞, [

0

+

per ogni

'() < 0('() > 0) ∈ = ∩] , + ∞[

0

allora è un punto di massimo (minimo) relativo

0

Dim:

Dimostriamo che è un punto di massimo relativo. Per ipotesi

0

− −

in , quindi f è crescente su , ossia

'() > 0

. Per il teorema sul limite delle funzioni

< ⇒ ( ) < ( )

1 2 1 2

monotone e per la continuità di f in si ha pure

0 94

− . Combinando queste condizioni

lim () = ( ) = ( )

0

−

→

0 − +

otteniamo che . Un ragionamento analogo su

() < ( )∀ ∈

0 +

ci porta a concludere pure che e quindi è un

() < ( )∀ ∈

0 0

punto di massimo relativo per f in .

CONDIZIONE SUFFICIENTE PER FUNZIONI COSTANTI SU

INTERVALLI

Dim:

Vogliamo provare la seguente formulazione equivalente di funzione

costante . Per ogni

∀ , ∈ , ≠ ⇒ ( ) = ( ) , ∈