Teoria, Matematica Generale

Insiemi, cardinalità e spazi vettoriali

Un insieme A ⊆ R si dice finito se è vuoto o se &Exist; n ≥ 1 tale che gli elem di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1, 2, 3, ... n}. Un insieme si dice infinito se non è finito. Due insiemi hanno la stessa cardinalità o potenza quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi.

Un insieme A ⊆ R è numerabile se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con N. L’unione di insiemi numerabili è numerabile. Il prodotto di insiemi numerabili è numerabile. N, Z, Q sono numerabili. R non è numerabile, ha la potenza del continuo.

Un insieme A ⊆ R ha la potenza del continuo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con R. Rⁿ è il prodotto cartesiano di R con se stesso fatto n volte. Rⁿ = R × R × R ... R n volte.

Gli elementi di Rⁿ sono vettori o Rⁿ e sono punti con n componenti che sono numeri reali x_i = (x₁, x₂, x₃, ...).

Un insieme si dice spazio vettoriale se è chiuso rispetto a somma e prodotto che soddisfano det. assiomi.

Un insieme A⊂R si dice finito se è vuoto o se ∃n∈N₀ tale che gli elem di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri 1, 2, 3, ...n. Un insieme si dice infinito se non è finito. Due insiemi hanno la stessa cardinalità o potenza quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi.

Un insieme A⊂R è numerabile se i suoi elementi possono essere messi in corrisp. biunivoca con N. L'unione di insiemi numerabili è numerabile. Il prodotto di insiemi " " è numerabile. N, ℤ, ℚ sono numerabili. ℝ non è numerabile, ha la potenza del continuo.

Un insieme A⊂ℝ ha la potenza del continuo se può essere messo in corrisp. biunivoca con ℝ. ℝⁿ è il prodotto cartesiano di ℝ con se stesso fatto n volte. ℝⁿ = ℝ . ℝ . ℝ ... ℝ n volte.

Gli elementi di ℝⁿ sono vettori oppure punti con n componenti che sono numeri reali x = (x₁, x₂, x₃, ...). Un insieme si dice spazio vettoriale se è chiuso rispetto a somma e prodotto che soddisfano det. assiomi.

Assiomi dello spazio vettoriale

1) x + y = y + x ∀ x, y ∈ ℝⁿ

(x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ ℝⁿ

∃ 0: (0, 0, ..., 0) ∈ ℝⁿ / x + 0 = x ∀ x ∈ ℝⁿ

∀ x ∈ ℝⁿ ∃ y = -x ∈ ℝⁿ / ∃ t x = x + (-x) = 0

2) α (β ∙ x) = (α ∙ β) ∙ x ∀ α ∈ ℝ ∀ x ∈ ℝⁿ

Se α = 1: 1 ∙ x = x ∀ x ∈ ℝⁿ

x ∙ (α + β) = α x + β x ∀ x ∈ ℝⁿ ∀ α, β ∈ ℝ

α (x + y) = α x + α y ∀ x, y ∈ ℝⁿ ∀ α ∈ ℝ

Combinazione lineare e sottospazio vettoriale

Dati m vettori z₁, z₂, ..., z_m e m numeri reali α₁, α₂, ..., α_m si dice che il vettore in ℝⁿ: α₁ z₁ + α₂ z₂ + ... + α_m z_m è combinazione lineare dei vettori z₁, z₂, ..., z_m.

Dato uno spazio vettoriale X e un suo sottoinsieme S ⊆ X si dice sottospazio vettoriale se α x + β y ∈ S ∀ x, y ∈ S ∀ α, β ∈ ℝ.

Prodotto scalare e ortogonalità

Dati due vettori x = x₁, x₂, ..., x_n e y = y₁, y₂, ..., y_n si dice prodotto scalare tra x e y il numero reale: (x | y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_ny_n = ∑_i=1ⁿ x_iy_i.

Due vettori sono ortogonali se (x | y) = 0.

La norma di un vettore

\[\mathbb{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\] e \[\mathbb{R^n}\] {\grave{e}}:

\[\|\mathbb{x}\| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}\]

Proprietà della norma

\[\|\mathbb{x}\| = 0 \iff \mathbb{x} = 0\]

\[\| \alpha \mathbb{x} \| = |\alpha| \|\mathbb{x}\|\]

\[\|\mathbb{x} + \mathbb{y}\| \leq \|\mathbb{x}\| + \|\mathbb{y}\|\]

\[(\|