Teoria, Matematica Generale

UN INSIEME A⊂R SI DICE FINITO SE E' VUOTO O SE ∃ n∈N n>1 TALE CHE GLI ELEMI DI A POSSONO ESSERE MESSI IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA CON I NUMERI 1,2,3... n

UN INSIEME SI DICE INFINITO SE NON E' FINITO

DUE INSIEMI HANNO LA STESSA CARDINALITA' O POTENZA QUANDO E' POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA LORO ELEMENTI.

UN INSIEME A⊂R E' NUMERABILE SE I SUOI ELEMENTI POSSONO ESSERE MESSI IN CORRISPoNDENZA BIUNIVOCA CON N

L'UNIONE DI INSIEMI NUMERABILI E' NUMERABILE. IL PRODOTTO DI INSIEMI E' NUMERABILE.

N, Z, Q SONO NUMERABILI.

R NON E' NUMERABILE, HA LA POTENZA DEL CONTINUO.

UN INSIEME A⊂R HA LA POTENZA DEL CONTINUO SE PUO' ESSERE MESSO IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA CON R.

Rⁿ E' IL PRODOTTO CARTESIANO DI R CON SE STESSO FATTO n VOLTE.

Rⁿ = R . R . R ... R

                           n VOLTE

GLI ELEMENTI DI R_n SONO VETTORI O Rⁿ E SONO PUNTI CON n COMPONENTI CHE SONO NUMERI REALI

X_n = (x₁, x₂, x₃, ...)

UN INSIEME SI DICE SPAZIO VETTORIALE SE E' CHIUSO RISPETTO A SOMMA E PRODOTTO CHE SODDISFANO DET. ASSIOMI.

1. x+y = y+x ∀x,y ∈ ℝⁿ

(x+y)+z = x+(y+z) ∀x,y,z ∈ ℝⁿ

∃ 0: (0,0,0) ∈ ℝⁿ x+0 = x ∀x ∈ ℝⁿ

∀x ∈ ℝⁿ ∃ y ∈ ℝ ⁿ/ ∃ x: x + (-x) = 0

2. α(β⋅x) = (αβ)⋅x ∀α,β ∈ ℝ ∀x ∈ ℝⁿ

Se α=1: 1⋅x = x ∀x ∈ ℝⁿ

x⋅(α+β) = αx+βx ∀x ∈ ℝⁿ ∀α,β ∈ ℝ

α(x+y) = αx+αy ∀x,y ∈ ℝⁿ ∀α ∈ ℝ

Dati m vettori z₁, z₂, z_m e m numeri reali α₁, α₂, α_m si dice che il vettore Rⁿ:

α₁z₁ + α₂z₂ + ... α_mz_m

è combinazione lineare dei vettori z₁, z₂, z_m

Dato uno spazio vettoriale X e un suo sottoinsieme S ⊂ X si dice sottospazio vettoriale se αx+βy ∈ S ∀x,y ∈ S ∀α,β ∈ ℝ

Dati due vettori x = x₁, x₂, ... x_n e y = y₁, y₂, y_n si dice prodotto scalare tra x e y il numero reale:

(x|y) = x₁y₁ + x₂y₂ ... x_ny_n = ∑ _{i = 1} x_i⋅x_i

Due vettori sono ortogonali se (x|y)=0.

Un insieme A ⊂ R non vuoto è:

• superiormente limitato se ha un maggiorante
• inferiormente limitato se ha un minorante
• limitato se ha maggiorante e minorante

Dato un insieme A ⊂ R non vuoto un elemento x̅ di A si dice massimo di A se è il + grande elemento di A x̅ ≥ x ∀ x ∈ A

Si dice minimo di A se è il + piccolo elemento di A x̅ ≤ x ∀ x ∈ A

[0, 1] min 0 max 1

(0, 1) min 0

MAX NO

Dato un insieme non vuoto A ⊂ R si dice estremo superiore di A il minimo dei maggioranti di A, si dice estremo inferiore il massimo dei minoranti di A.

A = (0, 1)

A̅ = (-∞, 0] ∪ [1, +∞)

sup = 1

inf = 0

Dati 2 reali α < b ∃ un razionale q ∈ Q / α < q < b

Un elemento x = (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ Rⁿ è detto vettore

Vettore somma x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ...) ∈ Rⁿ

Prodotto dello scalare α per il vettore x il vettore λx

α x = (αx₁, αx₂, ...)

Siano C₁, C₂ chiusi in Rⁿ ⇒ C₁ ∪ C₂ e C₁ ∩ C₂ sono chiusi.

Dimostrazione

• Leggi di De Morgan

(C₁ ∪ C₂)^c = (C₁)^c ∩ (C₂)^c =

Se C₁^c ≝ A₁ C₂^c ≝ A₂ ⇒ (A₁ ∩ A₂)^c

Quindi A₁ ∩ A₂ è aperto Poiché A₁ e A₂ sono aperti. Quindi C₁ ∪ C₂ è chiuso.

C₁ ∩ C₂ = (A₁)^c ∪ (A₂)^c = (A₁ ∪ A₂)^c

= A prima

Unioni e intersez. finite di aperti (chiusi) sono sempre aperti (chiusi).

L'unione infinita di chiusi non è necess. un ins. chiuso. L'intersez infin. di aperti non è '' '' ins. aperto

Ogni intorno sferico di punti di Rⁿ B_r(x) è aperto.

Sia f:ℝ → ℝ si ha

lim_{x → +∞} f(x) = L

con L ∈ ℝ se ∀ε > 0 ∃ V > 0 / ∀x > V ⇒ |f(x) - L| < ε

lim_{x → -∞} f(x) = L

con L ∈ ℝ se ∀ε > 0 ∃ V > 0 / ∀x < -V ⇒ |f(x) - L| < ε

lim_{x → +∞} f(x) = +∞

∀M > 0 ∃ V > 0 / ∀x > V ⇒ f(x) > M

lim_{x → +∞} f(x) = -∞

∀M > 0 ∃ V > 0 / ∀x < -V ⇒ f(x) < -M

lim_{x → -∞} f(x) = +∞

∀M > 0 ∃ V > 0 / ∀x < -V ⇒ f(x) > M

lim_{x → -∞} f(x) = -∞

∀M > 0 ∃ V > 0 / ∀x < -V ⇒ f(x) < -M

Generale

Sia f:ℝ → ℝ x_e ∈ ℝ e L ∈ ℝ

lim_{x → xo} f(x) = L

se ∀ I(L) di I ∃ un intorno U(x_o) di x_o /

∀x ∈ U_{x ≠ xo} ⇒ f(x) ∈ I(L)

f di Dirichlet

f(x) = {1, x ∈ Q0, x ∈ R \ Q

Non continua in nessun punto

Data f: [a,b] → R si dice che f è continua su [a,b] se è continua in ogni punto x ∈ (a,b) e inoltre è continua in a e in b, cioè

lim_x→a⁺ f(x) = f(a)

lim_x→b^- f(x) = f(b)

Teorema Permanenza Segno

Sia f:[a,b] → R continua. Sia c ∈ (a,b) | f(c) ≠ 0 ⇒ ∃ δ / f(x) > 0 ∀ x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b)

se f(c) < 0 ⇒ ∃ δ / f(x) < 0 ∀ x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b)

Se c ≠ 0 esiste un intorno di c (c-δ, c+δ) dove f assume ω stesso segno di f(c)

Dimostrazione

Sia f(c) > 0. f continua quindi lim_x→c f(x) = f(c) > 0

Per il teorema di permanenza del segno dei limiti si sa che ⇒ ∃ δ > 0 (c-δ, c+δ) / f(x) > 0 ∀ x ∈ (c-δ, c+δ) ∩ (a,b), x ≠ c

Siccome f(c) > 0 Th confermata.

Sia f: A ⊂ ℝ → ℝ

x₀∈A pto interno ad A, f è differenziabile in x₀ se e solo se f è derivabile in x₀.

a = f'(x₀)

Dimostrazione

→

∃a ∈ ℝ / _{h → 0} lim ½

f(x₀+h) - f(x₀) - ah

h

= 0

0 = _{h → 0} lim (f(x₀+h) - f(x₀))

h

_{h → 0} lim ah

h = 0

0 = _{h → 0} lim (f(x₀+h) - f(x₀)) - a

h

_{h → 0} lim ... = a

f derivabile

f'(x) = a

←

f derivabile

0 = _{h → 0} lim f(x₀+h) - f(x₀)

h = f'(x₀)

(_{h → 0} lim f'(x₀))

h

_{h → 0} lim (f(x₀+h) - f(x₀) - f'(x₀)h

h) = 0

Quindi _{h → 0} lim f(x₀+h) - f(x₀) - ah

h = 0

f differenziabile