Matematica 1 - Argomenti essenziali

F UNZIONI GONIOMETRICHE

Si può sfruttare il Teorema del confronto (per funzioni limitate come seno e coseno):

1. Determinare due funzioni e tali che

Esempio.

2. Studiare il limite delle due funzioni precedentemente determinate

3. Qualora il risultato sia lo stesso, dedurre che il limite della funzione di partenza tende

proprio a quel valore

S TRUMENTI PER IL CALCOLO DEI LIMITI

T EOREMA DEL CONFRONTO

Siano tre funzioni definite in un intorno I di escluso al più il punto stesso, e tali che

Se

T ’H

EOREMA DI DE L OPITAL

Se e sono due funzioni continue in e derivabili in escluso al più il punto con

E se esiste finito allora esiste anche e vale

Il teorema vale per le forme indeterminate del tipo 0/0 oppure ∞/∞ e anche nel caso in cui

NOTA: talvolta è possibile ricondursi alle forme indeterminate che permettono l’applicazione del

teorema, ad esempio:

S T

VILUPPI DI AYLOR

NOTA: è possibile utilizzare gli sviluppi di Taylor se e solo se il limite è per !

D ERIVATE

D ERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI

Queste regole valgono anche se al posto di abbiamo .

R EGOLE DI DERIVAZIONE

P UNTI DI NON DERIVABILITÀ

Condizione di derivabilità in un punto :

1. Se ⟹ punto angoloso

2. Se ⟹ punto di flesso a tangente verticale

3. Se ⟹ cuspide

I

NTEGRALI

I NTEGRALI DEFINITI IMMEDIATI

I NTEGRALI SVILUPPATI

I NTEGRALI INDEFINITI NON IMMEDIATI

I NTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI

Dato l’integrale

dove e sono polinomi in e è di grado .

Se il grado di è , si divide il numeratore per il denominatore, e si ottiene

dove è il risultato della divisione e è il resto. Il calcolo dell’integrale è perciò ricondotto a

Per calcolare il secondo integrale, distinguiamo due casi

1. è un polinomio di primo grado

2. è un polinomio di secondo grado

Se il numeratore è la derivata del denominatore

• ⟹

Se ciò non accade, si distinguono tre sottocasi:

•

i) Delta > 0

ii) Delta = 0

Se il numeratore è la derivata del denominatore oppure se il numeratore è una

• costante ⟹ integrazione immediata (logaritmo naturale)

Se ciò non accade, si prova a ricondursi alle condizioni precedenti.

•

iii) Delta < 0

Se il numeratore è uguale a 1

• Dette le radici complesse coniugate del denominatore, si può scrivere

Se il numeratore è un polinomio di primo grado e non è la derivata del

• denominatore, esso può essere trasformato nella somma di una costante opportuna

e della derivata del denominatore.

I NTEGRAZIONE PER PARTI

P ’

ROPRIETÀ DELL INTEGRALE DEFINITO

T T -B

EOREMA DI ORRICELLI ARROW

Data la funzione continua in , la funzione integrale è derivabile

e risulta e .

R ’

EGOLA PER IL CALCOLO DELL INTEGRALE DEFINITO

D

ERIVATA DI UNA FUNZIONE INTEGRALE COMPOSTA

Data la funzione integrale composta la sua derivata è

I NTEGRALI IMPROPRI

C 1

ASO

a) Data una funzione continua in un intervallo , calcolare il limite per della sua

funzione integrale del tipo .

1. Calcolare l’integrale indefinito della funzione

2. Applicare

3. Calcolare il limite

b) Data una funzione continua in un intervallo , calcolare il limite per della sua

funzione integrale del tipo .

1. Calcolare l’integrale indefinito della funzione

2. Applicare

3. Calcolare il limite

C 2

ASO

a) Data una certa funzione e considerato un certo intervallo in cui sia continua , calcolare

l’integrale

1. Detto un numero tale che , considerare la funzione

2. Applicare

3. Calcolare il limite

b) Data una certa funzione definita e continua almeno in , calcolare l’integrale

1. Detto un numero , considerare la funzione

2. Applicare

3. Calcolare il limite

S TUDIO DI FUNZIONE

E LENCO DEI PASSAGGI

1. Dominio

2. Proprietà particolari

i) Studio di parità e disparità

ii) Periodicità

3. Intersezioni con gli assi

i) Intersezione con l’asse y

ii) Intersezione con l’asse x

4. Studio del segno

5. Limiti agli estremi del dominio

i) Estremi del dominio inclusi

ii) Estremi del dominio esclusi

6. Asintoti

i) Asintoto verticale

ii) Asintoto orizzontale

iii) Asintoto obliquo

7. Derivata I

i) Dominio della derivata I

ii) Studio del segno della derivata I

iii) Punti di massimo e minimo relativo

iv) Punti di flesso (a tangente orizzontale)

8. Derivata II

i) Dominio della derivata II

ii) Studio del segno della derivata II (concavità)

iii) Punti di flesso (a tangente obliqua)