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Moltiplicazione per uno scalare
Dato un qualunque scalare λ ϵ nR è sempre possibile moltiplicare un vettore x: λx = (λx , λx , …, λx ).
Combinazione lineare di vettori
Si definisce combinazione lineare la somma dei vettori moltiplicati per il corrispondente scalare.
ϵ ϵn
x , x , …, x λ , λ , …, λ
Prendiamo in considerazione diversi vettori R e altrettanti scalari
1 2 n 1 2 n
R , la loro combinazione lineare sarà:
nλ x + λ x +…+ λ x ϵ R .
1 1 2 2 n n
Possiamo eseguire infinite combinazioni lineari utilizzando infiniti coefficienti.
Prodotto fra vettori (Prodotto scalare)
Il prodotto fra vettori viene chiamato anche prodotto scalare in quanto il risultato è un numero e non un vettore.
ϵ n x, y= x y + x y +…+ x y .
Siano x, y R allora il loro prodotto sarà:
1 1 2 2 n n
Vettori Linearmente Indipendenti
Prendiamo un insieme ϵ nx , x , …, x
di n vettori R e un insieme di altrettanti coefficienti scalari a ,1 2 n 1, …, a ϵ na R .2 n a x + a x +…+ a x = 0Poniamo: 1 1 2 2 n nI vettori si diranno linearmente indipendenti solo se la relazione è verificata per tutti i coefficientia = a = … = a = 0.nulli 1 2 nQuindi nessun vettore potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori. 21.4.Vettori Linearmente Dipendenti ϵ nx , x , …, xPrendiamo un insieme di n vettori R e un insieme di altrettanti coefficienti scalari a ,1 2 n 1, …, a ϵ na R .2 n a x + a x +…+ a x = 0Poniamo: 1 1 2 2 n nI vettori si diranno linearmente dipendenti solo se almeno un coefficiente a sarà diverso da 0.kQuindi almeno un vettore potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri.1.5.Norma Di Un Vettoreun’applicazione che associa un numero reale ad un vettore; cioè è la radiceLa norma di un vettore èquadrata della somma del quadrato
delle componenti del vettore.12 22 n2√x + x + ⋯ + x||x||= = √xx all’internoLa radice sarà ben definita perché il suo radicando, essendo tutto elevato alla secondadella radice, è non negativo.Il segno della norma ci viene dato da ciò che viene prima della radice.In input alla norma abbiamo un vettore, ma come output abbiamo uno scalare.1.6.Distanza Fra Vettori ϵ nGrazie alla norma possiamo calcolare la distanza fra vettori, infatti dati due vettori x,y R la lorodistanza viene definita come norma di x e y.2 2 2) (x ) (x )− y + − y + ⋯ + − y(x,y)= ||x-y||=√(x1 1 2 2 n n2. INTORNI, PUNTI, INSIEMI E FUNZIONI2.1.IntornoL’intorno è un qualunque insieme aperto che contiene quel punto.ϵ nDato il punto x R allora I(x) è un qualunque insieme aperto che contiene x.2.2.Intorno Circolare (Boccia)L’intorno circolare, o boccia, è un particolare tipo di intorno.ϵ r) è l’intorno circolare,
ossia l'insieme dei punti x ϵ* n * nDato un vettore x R allora I(x , R di distanza r da x .
Punti Interni, Esterni E Di Frontiera
Grazie alla boccia possiamo parlare di punti interni, esterni e di frontiera. ϵ n nDato x R e AcR allora x si dirà:
- PUNTO INTERNO di A se è esiste almeno una boccia con centro in x e raggio r che sia tutto contenuto in A;
- PUNTO ESTERNO di A se esiste almeno una boccia con centro x e raggio r tutto esterno ad A;
- PUNTO DI FRONTIERA di A se per ogni intorno di centro x e raggio r cadono al suo interno sia punti di A sia punti di non A.
Insieme Aperto
Un insieme A si dice aperto se ogni suo punto è formato da punti interni.
Insieme Chiuso
Un insieme A si dice chiuso se il complementare di A è un insieme aperto.
Tipologie Di Funzioni
- FUNZIONE SCALARE di n variabili: È una legge che ad ogni elemento del dominio associa una sola legge del codominio. L'input è un vettore mentre l'output è
Uno scalare.
In R è definita come f(x) = ax + b; con a ∈ R e b ∈ R
2) FUNZIONE VETTORIALE di n variabili: è una legge che ad ogni elemento del dominio associa una sola legge del codominio. L'input è un vettore di n variabili e mentre l'output è un vettore di m variabili.
2.7. Funzioni Quadratiche
In R una funzione quadratica è data da f(x) = xQx + bx + c; con c ∈ R e b ∈ R
Il primo x viene scritto come riga e il secondo come colonna, poiché dovranno moltiplicarsi con le righe e le colonne di Q.
Una particolare funzione quadratica è f(x) = xQx dove b è un vettore nullo, c = 0 e siccome Q è simmetrica la sua trasposta Q' sarà comunque uguale a Q.
3. CONTINUITÀ, DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ
3.1. Continuità Della Funzione → R ϵ Anf: AcR x dove x è un punto di accumulazione
Perché la funzione sia continua deve esistere ed essere finito il limite di x = (x, y) che tende
lim f(x,y) = f(x*,y*)(x,y)→(x*,y*)
Dobbiamo verificare come si comporta la funzione da diverse direzioni.
Teoremi della continuità
- La somma di funzioni continue dà una funzione continua (f+g) = continua
- La composizione di funzioni continue dà una funzione continua [f(g(x)] = continua
- Il prodotto di funzioni continue dà una funzione continua (f*g) = continua
- continua se g≠0Il rapporto di funzioni continue dà una funzione continua (f/g) =3.2.
Derivabilità Della Funzione
DERIVATE PARZIALI 2
Sia una funzione appartenente ad un sottoinsieme A di R , preso un punto x*ϵA di componentix* = (x*, y*) esso deve appartenere ad A ed essere punto di accumulazione.
Se è finito esisteranno le derivate parziali rispetto alle due variabili:
Derivata parziale rispetto a x: lim f(x,y*) - f(x*,y*)x→x* x-x* 4
Derivata parziale rispetto a y: lim f(x*, y) - f(x*,y*)y→y* y-y* n
In generale la formula della
derivabilità parziale di una funzione in R è:lim f(x +h, y ) - f(x ,y0)0 0 0h→0 h
DERIVATE DIREZIONALI
Le derivate direzionali sono delle particolari derivate parziali che hanno una base canonica
Per calcolare una derivata direzionale occorrono i versori, ossia la direzione verso la quale calcolarela derivata della funzione.
Un VERSORE è un vettore di modulo unitario.
lim g(h) – g(0) = lim f(x*+hu)-f(x*)h→0 h h→0 h
GRADIENTE
Il gradiente è l’insieme delle derivate parziali di una funzione:…;∇f(x)=[f (x); f (x); f (x)]x1 x2 xn
Il gradiente esiste solo se la funzione è derivabile rispetto a tutte le sue n variabili.
3.3.Differenziabilità→R2 2
In R , sia f: AcR e sia dato x =(x ,y )ϵA ,allora diremo che la funzione f è differenziabile in x0 0 0 0–se esiste un vettore a=(a ,a ) tale che f(x,y) f(x ,y ) sia uguale a a (x-x ) + a (y-y ) +1 2 0 0 1 0 2 02 2) (y )− x + − yσ(√(x
(0 0) Se esiste il vettore a allora: 2 2) (y )− x + − yf(x,y) – f(x ,y ) = a (x-x ) + a (y-y ) + σ(√(x ) = a(x-x ) + σ(||x-x ||)0 0 1 0 2 0 0 00 0σ
Il simbolo σ indica un infinitesimo quando x tende a x .0σ, Quanto più siamo vicini al punto, quindi sarà piccola tanto più sarà trascurabile.
Quando una funzione è differenziabile allora per calcolare le derivate direzionali in maniera più rapida conviene utilizzare la seguente formuletta: ∇f(x )*V0
Teoremi della differenziabilità:
Se una funzione è differenziabile in un punto allora:
- la funzione è sicuramente continua in quel punto.
- esistono tutte le derivate parziali in quel punto, quindi esiste il vettore gradiente.
- qualunque sia la direzione V, in quel punto, esiste la derivata direzionale.
Quindi la differenziabilità in un punto garantisce la continuità, l’esistenza di tutte le derivate parziali e la derivata direzionale.
derivateparziali e l'esistenza delle derivate direzionali in quel punto, ma non vale viceversa.Se una delle 3 condizioni non è rispettata allora la funzione non è differenziabile.Per dimostrare se una funzione è differenziabile occorre che:
- la funzione sia continua in un punto 5
- esistano tutte le derivate parziali in quel punto, quindi che esiste il vettore gradiente;
- tutte le derivate parziali siano continue nel punto considerato.
Se queste 3 condizioni sussistono contemporaneamente allora la funzione è differenziabile.
4. FORME QUADRATICHE
4.1.Il Segno Della Forma Quadratica
Una forma quadratica in n variabili q(x) è definita come xQx.nxϵR Tq(x)= xQx dove Q = Q è una matrice quadrata simmetricanxnSe ho una forma quadratica posso costruire la matrice Q ad essa associata.Data una forma quadratica quella forma definisce la matrice che sarà quadrata e simmetrica.Data una matrice quadrata e simmetrica quella matrice
definisce una forma quadratica.
Data una forma quadratica q(x) con xϵR è interessante conoscere il suo segno:
- Se q(x)>0 x≠0 allora la forma quadratica si dice DEFINITA POSITIVA
- Se q(x)<0 x≠0 allora la forma quadratica si dice DEFINITA NEGATIVA
- Se q(x)≥0 x≠ϵR allora la forma quadratica si dice SEMIDEFINITA POSITIVA
- Se q(x)≤0 x≠ϵR allora la forma quadratica si dice SEMIDEFINITA NEGATIVA
Quando la funzione quadratica è indefinita possiamo verificarlo per definizione prendendo due vettori che forniscono 2 risultati di segno opposto.
Criterio per conoscere il segno:
Abbiamo diversi criteri per conoscere il segno delle definite e delle semi definite.
- PER LE DEFINITE: Devono essere considerati solo i minori principali di nord-ovest. Tutti i minori principali di nord-ovest sono positivi se, e soltanto se, la matrice quadrata Q e quindi la forma quadratica q(x) ad essa associata è definita.
positiva. → TUTTI I MINORI PRINCIPALI N-O>0 Q[q(x)] è DEFINITO POSITIVO
Se i minori principali di nord-ovest di ordine pari sono positivi e i minori principali di nord-ovest di ordine dispari sono negativi se e soltanto se la matrice Q e quindi la forma quadratica q(x) adessa associata è definita negativa.
TUTTI I MINORI PRINCIPALI PARI N-O>0 → TUTTI I MINORI PRINCIPALI DI
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