Matematica finanziaria

MATEMATICA FINANZIARIA

ARGOMENTI TRATTATI

1. I VETTORI

1.1.Definizione

1.2.Operazioni sui vettori

1.3.Vettori linearmente indipendenti

1.4.Vettori linearmente dipendenti

1.5.Norma di un vettore

2. INTORNI, PUNTI, INSIEMI E FUNZIONI

2.1.Intorno

2.2.Intorno circolare (boccia)

2.3.Punti interni, esterni e di frontiera

2.4.Insieme aperto

2.5.Insieme chiuso

2.6.Tipologie di funzioni

2.7.Funzioni quadratiche

3. CONTINUITÀ, DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ

3.1.Continuità della funzione

3.2.Derivabilità della funzione

3.3.Differenziabilità

4. FORME QUADRATICHE

4.1.Il segno della forma quadratica

5. CONVESSITÀ E CONCAVITÀ

5.1.Definizione

5.2.Concavità e convessità delle funzioni quadratiche

5.3.Concavità e convessità delle funzioni non quadratiche

6. MASSIMI E MINIMI RELATIVI

7. APPLICAZIONI ECONOMICHE

7.1.Massimizzazione del profitto

7.2.Ottimizzazione libera (monopolista)

7.3.Ottimizzazione vincolata

7.4.Funzione lagrangiana

7.5.Caso con vincolo di disuguaglianza 1

1. I VETTORI

1.1.Definizione

“Un vettore è una qualunque ennupla ordinata di numeri reali”.

…, x

x= (x , x , )

1 2 n

Deve essere “ordinata” poiché per diversi ordini reali avremo diversi vettori di diverse dimensioni.

n

Due vettori possono essere confrontati solo se appartenenti allo stesso R e possiamo dire se uno è

maggiore, uguale o minore all’altro solo se tutti gli elementi di un vettore sono maggiori, uguali o

minori di tutti gli elementi dell’altro vettore.

1.2.Operazioni Sui Vettori n

Le operazioni sui vettori possono essere eseguite solo fra vettori appartenenti allo stesso R .

Per quanto riguarda la somma, la moltiplicazione e la combinazione lineare il risultato sarà un

n n

vettore appartenente a R , quindi diremo che sono operazioni chiuse rispetto a R .

Il risultato di un prodotto fra vettori sarà uno scalare.

1) SOMMA FRA VETTORI n

x= (x , x , …, x ) y= (y , y , …, y )

Siano e due vettori appartenenti a R , allora la loro somma

1 2 n 1 2 n

sarà:

x + y= (x +y , x + y …, x + y ).

1 1 2 2, n n

2) MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE

Dato un qualunque scalare λ ϵ n

R è sempre possibile moltiplicare un vettore

x: λx = (λx , λx , …, λx ).

1 2 n

3) COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI

Si definisce combinazione lineare la somma dei vettori moltiplicati per il corrispondente

scalare. ϵ ϵ

n

x , x , …, x λ , λ , …, λ

Prendiamo in considerazione diversi vettori R e altrettanti scalari

1 2 n 1 2 n

n

R , la loro combinazione lineare sarà:

n

λ x + λ x +…+ λ x ϵ R .

1 1 2 2 n n

Possiamo eseguire infinite combinazioni lineari utilizzando infiniti coefficienti.

4) PRODOTTO FRA VETTORI (Prodotto scalare)

Il prodotto fra vettori viene chiamato anche prodotto scalare in quanto il risultato è un

numero e non un vettore.

ϵ n x, y= x y + x y +…+ x y .

Siano x, y R allora il loro prodotto sarà: 1 1 2 2 n n

1.3.Vettori Linearmente Indipendenti ϵ n

x , x , …, x

Prendiamo un insieme di n vettori R e un insieme di altrettanti coefficienti scalari a ,

1 2 n 1

, …, a ϵ n

a R .

2 n a x + a x +…+ a x = 0

Poniamo: 1 1 2 2 n n

I vettori si diranno linearmente indipendenti solo se la relazione è verificata per tutti i coefficienti

a = a = … = a = 0.

nulli 1 2 n

Quindi nessun vettore potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri vettori. 2

1.4.Vettori Linearmente Dipendenti ϵ n

x , x , …, x

Prendiamo un insieme di n vettori R e un insieme di altrettanti coefficienti scalari a ,

1 2 n 1

, …, a ϵ n

a R .

2 n a x + a x +…+ a x = 0

Poniamo: 1 1 2 2 n n

I vettori si diranno linearmente dipendenti solo se almeno un coefficiente a sarà diverso da 0.

k

Quindi almeno un vettore potrà essere scritto come combinazione lineare degli altri.

1.5.Norma Di Un Vettore

un’applicazione che associa un numero reale ad un vettore; cioè è la radice

La norma di un vettore è

quadrata della somma del quadrato delle componenti del vettore.

12 22 n2

√x + x + ⋯ + x

||x||= = √xx all’interno

La radice sarà ben definita perché il suo radicando, essendo tutto elevato alla seconda

della radice, è non negativo.

Il segno della norma ci viene dato da ciò che viene prima della radice.

In input alla norma abbiamo un vettore, ma come output abbiamo uno scalare.

1.6.Distanza Fra Vettori ϵ n

Grazie alla norma possiamo calcolare la distanza fra vettori, infatti dati due vettori x,y R la loro

distanza viene definita come norma di x e y.

2 2 2

) (x ) (x )

− y + − y + ⋯ + − y

(x,y)= ||x-y||=√(x

1 1 2 2 n n

2. INTORNI, PUNTI, INSIEMI E FUNZIONI

2.1.Intorno

L’intorno è un qualunque insieme aperto che contiene quel punto.

ϵ n

Dato il punto x R allora I(x) è un qualunque insieme aperto che contiene x.

2.2.Intorno Circolare (Boccia)

L’intorno circolare, o boccia, è un particolare tipo di intorno.

ϵ r) è l’intorno circolare, ossia l’insieme dei punti x ϵ

* n * n

Dato un vettore x R allora I(x , R di

*

distanza r da x .

2.3.Punti Interni, Esterni E Di Frontiera

Grazie alla boccia possiamo parlare di punti interni, esterni e di frontiera.

ϵ n n

Dato x R e AcR allora x si dirà:

- PUNTO INTERNO di A se è esiste almeno una boccia con centro in x e raggio r che sia

tutto contenuto in A;

- PUNTO ESTERNO di A se esiste almeno una boccia con centro x e raggio r tutto esterno ad

A;

- PUNTO DI FRONTIERA di A se per ogni intorno di centro x e raggio r cadono al suo

interno sia punti di A sia punti di non A.

2.4.Insieme Aperto

Un insieme A si dice aperto se ogni suo punto è formato da punti interni. 3