Analisi matematica

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

14. Fornisci la definizione di rotore e di campo vettoriale irrotazionale.

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

15. Fornisci la definizione di potenziale e di campo vettoriale conservativo.

V U

Un campo vettoriale e detto conservativo e esiste un campo scalare caratterizzato dall'essere il gradiente di una funzione, che prende il nome di potenziale scalare, tale

V = ∇ U ∇ U V

che: dove il gradiente e l’operatore che associa ad una funzione il vettore delle derivate parziali e il potenziale e il campo scalare per il campo

rotore di un campo vettoriale

Un campo vettoriale puo avere una rotazione infinitesima lungo il suo asse di rotazione. In tal caso si parla di che ne descrive appunto al

∇ x

sua rotazione ed e indicato con irrotazionale. sempre irrotazionale, campo

Un campo vettoriale il cui rotore e nullo si dice Un campo conservativo, che ammette cioe un potenziale, e mentre un

irrotazionale e conservativo se l'insieme in cui esso e definito e un insieme aperto stellato, o piu in generale un insieme semplicemente connesso, come stabilisce il

lemma di Poincare.

Lezione 077 0≤t≤1,

01. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(y,x) lungo il segmento di equazioni parametriche x(t)=2t , y(t)=1+3t, con vale

16

19/2

02. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(x, y-x) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(1+t, 1+2t), con t in [0,1], vale

3/2

2

4 2 U(π/6,0)

03. Posto F(x,y)=(-6sin x cos x cos y, 3sin x sin y) e indicato con U(x,y) il potenziale di F che si annulla nell'origine, allora vale

2 3

04. L'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y,z)=(yz, xz, xy) lungo la curva di parametrizzazione x=t , y=t+1, z=t , con t in [0,1], vale

5

8

11

05. Un potenziale per il campo vettoriale (x,y) è

2 2

(x +y )/2

2 2

x +y 2

(x+y)

x+y y x y x x

06. Il lavoro del campo vettoriale F(x,y)=(2e -ye , 2xe -e ) lungo la curva di equazione y=2 , con x in [0,3], vale

8 3

6e -8e +1

8 3

6e -8e +4

3 8

8e -6e +4

3 8

8e -6e +1 x x

7. L'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j lungo la curva di equazione parametrica r(t)=2(cos

[0,2π],

t)i+2(sin t)j, con t in vale

4π

2π x x

8. Detto I l'integrale curvilineo del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j lungo la curva di equazione parametrica r(t)=2(cos

[0,π],

t)i+2(sin t)j, con t in allora

3≤I<6

-3<I<0

6≤I<9

0≤I<3 t 2

09. Se l'integrale di linea del campo vettoriale F(x,y)=(x, y) lungo la curva di equazione parametrica r(t)=(2kt,2e ), con t in [0,1], vale 2e +6, allora k vale

k=2

k=-1

k=±2

k=±1 [0,2π],

10. La circuitazione del campo vettoriale F(x,y)=(-y,x) lungo l'ellisse di equazioni parametriche x=3cos t, y=2sin t, con t in vale

0 2 2

01. Indicato con U(x,y,z) il potenziale del campo vettoriale F(x,y,z)=(2xy,x -2yz,-y ) con U(0,0,0)=0, allora U(2,1,1) vale

xy -2y), allora U(1,0) vale

2 xy

02. Se U(x,y) è il potenziale che vale 1 in (0,1) del campo vettoriale F(x,y)=(ye +6x-1,xe

2

-4 2

03. Il campo vettoriale F(x,y)=(2xy,-y ) è

irrotazionale e non conservativo nel semipiano x>0

solenoidale e non conservativo nel semipiano x>0

solenoidale e conservativo nel semipiano x>0

irrotazionale e conservativo nel semipiano x>0 3 2 2 2

04. Se U(x,y,z) è un potenziale del campo vettoriale F(x,y,z)=(z +6xy , 6x y+1, 3xz ), con U(0,0,0)=0, allora U(1,1,1) vale

-3

1

3 2 2

05. Se il campo vettoriale F(x,y)=(2x/y, -x /y ) ha U(x,y) come potenziale nel primo quadrante, con U(1,1)=0, allora U(4,2) vale

4

8

-4 x x U(0,π/2)=1, U(π/2,0)

06. Detto U(x,y) il potenziale del campo vettoriale F(x,y)=e [sin(x+y)+cos(x+y)]i+e cos(x+y)j, con allora vale

o 1

o π/2

e

o e

o π/2 y x y x

07. Il campo vettoriale F(x,y)=(2e -ye , 2xe -e ) ha U(x,y) come potenziale. Sapendo che U(0,1)=3, allora U(2,0) vale

8

-3

Lezione 081 2 2 4

01. Se T è la regione limitata di piano compresa fra la parabola x=y +1 e la retta x=2, allora l'integrale doppio su T di f(x,y)=5xy +3x sin y vale

16/3

16/7

8/7

8/3 4

∫∫

02. Se D è il cerchio di centro l'origine e raggio 1, allora l'integrale doppio [xsin(x +y)+1] dx dy vale

D

π+1

π

2π-1

1 2

∫∫

03. Se D è il triangolo avente i vertici nell'origine e nei punti (1,0) e (1,1), allora l'integrale doppio xy dx dy vale

D

1/10

1/6

1/3

1/15 2 <y<√x

04. L'integrale di f(x,y)=x-y sul dominio x vale

0

9/10

14/15

4/5 2

05. L'integrale doppio di f(x,y)=xy esteso al triangolo di vertici (-3,0), (3,0), (0,3) vale

27/4

9/2 2

06. L'area della regione finita di piano compresa fra la parabola y=x e la retta y=x+2 vale

9

9/4 2x 0<y<√x

07. L'integrale doppio di f(x,y)=8ye sul dominio 0<x<1, vale

2

2e +1

2

e -1

2

2e -1

2

e +1 3

08. L'area della regione limitata di piano compresa fra la retta y=x e il grafico di y=x vale

3/8

3/16

1/8 doppio ∫∫

09. Se D è la regione piana finita delimitata dagli assi coordinati e dalla retta y=-x+1, allora l'integrale x dx dy vale

D

1/6

-1/2

1/2

-1/6

2 sia f(x,y)=2x-y+3. Allora l'integrale doppio di f su D vale

,e

10. Sia D la regione finita di piano compresa fra la retta y=x e la parabola y=x

3/5

2

-1

7/2 2 2

11. Sia D la regione di piano delimitata dall'ellisse di equazione x +y /4=1, dagli assi cartesiani, e contenuta nel primo quadrante. Allora l'integrale di xy su D

vale

3/4

3/2

1/4 2 2 x 3

12. Detta T la regione limitata di piano compresa fra la parabola x=y +1 e la retta x=2, l'integrale doppio su T di f(x,y)=35xy +7e y vale

16

20

10 2

13. L'integrale doppio di f(x,y)=2x cos y sulla parte di piano formata dai punti (x,y) con 0<x<1 e 0<y<1-x vale

1-2cos 1

1-cos 1

2(1-cos 1)

2-cos 1 y=π, y=x

14. L'integrale doppio di f(x,y)=(sin y)/y sul triangolo T i cui lati giacciono sulle rette x=0, vale

-2

1

-1

Lezione 082 2 2 2 2

1. (θ

La regione D del piano compresa fra le curve di equazioni x +y =1 e x +y =4, e contenuta nel secondo quadrante, può essere espressa in coordinate polari

,r), di centro l'origine, come

-π/2<θ<0, 1<r<4

π/2<θ<π, 1<r<2

π/2<θ<π, 1<r<4

-π/2<θ<0, 1<r<2

02. Lo jacobiano del cambio di coordinate x=ar cos t, y=br sin t è

ab

abr sin t

abr(sin t +cos t) 2 2

π/2<θ<π,

03. Sia D la regione piana espressa in coordinate polari da 1<r<2, e sia exp(t)=t. Allora l'integrale doppio su D della funzione f(x,y)=4 exp(1-x -y ) vale

-3

π(1-e )

-3

π(e -1)

-15

π(e -1)

-15

π(1-e ) 2 2 2 2 2

04. L'integrale di f(x,y)=18xy /(x +y ) sulla regione piana data da y>x e 1<x +y <4 vale

-13√2

-7√2

13√2

7√2

2 2 2 2 t

5. Sia D la regione di piano contenuta nel secondo quadrante e+cyom= presa +frya =le circonferenze x .

1 e x 16, e sia exp(t)=e Allora

exp[1-(x +y ) ] vale

-1 2 2 1/2

f(x,y)=2π

egrale doppio su D di

l'int -15

1-e -3

2-5e

-3

5-2e

-3

1-e 2 2

6. π/2,

Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 1 situato nel semipiano y>0 e l'integrale doppio su D di f(x,y)=k exp(x +y ) vale dove

t

exp(t)=e , allora k è uguale a

-1) -1 2

f(x,y)=π

07. Se D è il semicerchio di centro l'origine e raggio 2 contenuto nel semipiano y>0, allora l'integrale doppio su D di x vale

8

1

2

Lezione 083

01. Enuncia il teorema di Green.

Lezione 084

01. L'integrale triplo di f(x,y,z)=24(x+z) sul dominio 0<x<1, 0<y<1-x, 0<z<1-x-y vale

1/2 5 3

02. Sia T il solido formato dai punti (x,y,z) dello spazio tali che 0<x<1, 0<y<x, 0<z<xy. Allora l'integrale triplo su T del campo scalare f(x,y,z)=x y z vale

1/84

1/42

1/168

1/21

03. L'integrale triplo di f(x,y,z)=x sul dominio compreso fra i piani coordinati e i piani x=2, y=3, z=1 vale

2

3

04. L'integrale triplo di (x-y-z) sul dominio espresso da -1<x<0, 0<y<1, 0<z<1 vale

-3/2

5/2

-5/2

3/2

Lezione 087

01. Spiega come è definito l'integrale di un campo scalare su una superficie regolare.

L’integrale di superficie e un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che puo essere pensato come un integrale doppio analogo ad un

integrale di linea. Come per le curve, anche sulle superfici si definiscono due tipi diversi di integrali, ovvero:

a) Integrale di superficie di prima specie o semplicemente integrale di superficie per il cal