Matematica generale

28.09.2021 I NUMERI REALI

DEI NUMERI reali

REITA

LA )

.

>

io as

co +

- DI

primi

i NATURALI

detti

USATI STORIA

numeri 3,4

nella 1

:

SONO 2 ,

, . . .

È

SUCCESSIVAMENTE NUMERI

ai NATURALI

STATO AGGIUNTO zero 0

LO > 2,3

1

= , . . .

,

i NUMERI È

POI

STATI

dei AGGIUNTI

NUMERI INTERI COMPRENDONO

Al CAMPO -3

SONO 1,2 Ed

0

-2

che - 1

, ,

.

.

. .

, .

.

,

È }

{ / £

£ b

RAZIONALI

i b

AGGIUNTI ;

numeri

VENNERO C- =/

RAPPRESENTATO poi

lettera 0 loro

dalla il

a. con

.

☒ ! )

È ☒

INDICATO ( Quoziente

PER

INSIEME STA

da . § 2)

§

(

a

moltiplicazione

* = =

b. 2.3=6 D

⇐

a. c

: a

⇐

= È =/

PERCHÉ È

?

È impossibile c ①

c. a

denominatore ⇐

= che 0=2

☐

AVERE → Abbiamo QUESTO

ZERO Al E E

IMPOSSIBILE PERCHÉ =/

② a . ¥

¥ si

0.0=0 ① RISULTATO

0 si

10

① = 10 ottiene

qualsiasi

>

i metta

=

j

= ⇐

se reale

. numero come

verifica

la *

. '

' UNITA

unita un

- ° O' ¥1

cs 12

Ó '

' +

L À

I >

%

I > -

☒

- numeri

dei

usando AVERE

POSSO

E concetto

il

2 -

- -

- .

.

. .

.

. .

.

. .

.

. "

312 " 3-

ESEMPIO

) 3=0

= 0

5 333

1 =

. ,

, .

. . ] ?

I irrazionali

numeri

i

RAPPRESENTATI cosi

NUMERI Tutti Questi

NO

REITA E sono

sono

possono ESSERE

della .

V2 PUNTI V2

RADICI

ESEMPIO SI I

le = 1.4142

AD QUADRATE METTONO

NON

1,414283 SE

= -0

. . . N

QUESTI NUMERI TI

1T

TROVIAMO indicato

14

14

3 →

ANCHE 3

i

IN VIENE

= . . .

, , Ria

con

# È

NUMERI CONTINUO

DEI

l' DENSO

DETTO

INSIEME E .

R DVCZCQCIR

IIV 2 ☒

52/2

V4 di

ESEMPIO

PS !

2 PERFETTO

UN QUADRATO

=

=

.

E È ( PIÙ )

APPARTIENE

[ → che

UN INSIEME

INSIEME

ELEMENTO GRANDE

→ AD

SOTTOINSIEME UN

DI .

. }

AEB

¢ B

A

¢ =

=

c-

È → Generico B

→ E A

di SOTTOINSIEME

ELEMENTO APPARTIENE

NON NON

→ UN . . ? ¢

i

! ci

ESISTONO

REALI complessi

numeri FORMATI

NUMERI Gli unici 2

No

che

I PARTE

UNA REALE

SONO DA E

SONO SONO

E

}

:{ beh

/

¢ IR

bi TI

i

immaginaria DEI

Questi

i RAPPRESENTATI

UNA a possono

→ NELLA

+ REITA

; ESSERE

a non

=

, .

,

]

[ DVCZCQCIRC E .

PARI

h FÀ

% : È impossibile -3

SIA

70 che RADICANDO MA

NEGATIVO → A

SE

= FARE

PROVIAMO stesso con

a lo

il .

¥-4 !

otteniamo RISULTATO

NESSUN

non

b)

:(

A →

Al Gli ]

b [

b

COMPRESI nell'

APERTO estremi NON a.

INSIEME

SONO

a E =

,

,

↳ b)

:{ tx /

b)

(

A

b A COMPRENDE a.

✗

< DUNQUE a

<

a ✗ <

<

→ :{ }

[ /

:[ ESTREMI ti

CHIUSO

B compresi Ed

B ] QUESTI

] Min

al al E

Max

anche

CE sono

C → sono E

→ ✗

Gli due

c ,

, , A INTERSEZIONE

UNIONE

FÉ µ ,

:( ) )

B

lo •

+ ( An

:[ I ] [

>

]

B

A A B

U 4 3

1 1

2,4

3 : :

e 2

, , ,

,

TI

:( a) È

R Cs + aperto

- , . TÈ

29.09.2021 PROPRIETÀ R

dei (

È Rispetto di

R CHIUSO OPERAZIONI PRODOTTO Soluzione

SOMMA TROVARE

SEMPRE

alle UNA

IN

SIAMO

E GRADO di

.

)

OPERAZIONI

PER due

queste . TR

soluzioni

PUÒ ESEMPIO

divisione

OPERAZIONI PERCHÉ

di CHIUSO

PER Ad

SEMPRE

le TROVA

ESSERE NON

NON in .

% [ AEIR

a

0

ci ]

=/

=

consideriamo a

SE con o

,

↳ R

soluzioni

NON HA in .

% ① INDETERMINATO CER

ti

① RISULTATO

si

di ① PERCHÉ

NEL c- 0

= ①

c.

ottiene :

=

CASO un = .

%

ab %

23=8

EQUIVALENTE

SE Esempio

SCRIVERE

POSSO a

=

CONSIDERIAMO 2

C Ad

= IN MODO a → =

.

d

le ESTRAZIONE

Elevamento DI

POTENZA

A RADICE

b

10gal LOGARITMO ( dell' 10g

)

ESPONENTE 8=3

calcolo

= → ,

}

/ !

QUESTE FRA

CORRELATE

SONO

3 loro

È possibile di di

pari

Radice NEGATIVO

di

OPERAZIONI ESTRAZIONE indice

NON Effettuare UN NUMERO

con .

¥1

f- ¢ IR DZ

C-

IR C-

QUESTA 1)

B2 C- C-

infatti )

1)

E

ESEMPIO

soluzioni -1

>

Ad 1

NON = =

HA in ma s

. .

È PARI

indice

BISOGNA sia

Radicando l'

70

SEMPRE IMPORRE che ?

QUANDO fam

il . )

pg a

=

1=7--1 ESEMPIO

AD

VOGLIAMO 2

DIMOSTRARE che

che

SE -1=+1 scriviamo -

, fa

[ %

}

{ a

=

1^3

= - ↳ può anche

ESSERE scritto

% %

% ÈÈ I

= 1)

( 1

= - = =

=

-

DIMOSTRATO

ABBIAMO PER ASSURDO

(

=/ questi

=D -1 procedimenti

+ 1 sbagliati )

sono

IMPORTANTE

È b

Loga Qualsiasi

DEV' sia

ARGOMENTO SEMPRE BASE

O

C >

(

DEL ESSERE la a

sua

= .

" >

)

"

( 26

)

) (

( 23

REGOLE POTENZA

a (

2.

)

ES 2) 2.2.2)

2.

= =

↳ m

an -

= 23.22

"

" 23+2=25

am

ah ) prodotto

Es

a

se =

ho =

• . 2%22

" m

n

È -

-2

?

am ☐

" 1am 23 =

2 a

) divisione

ES

a : =

Hoo

se :

= %

è "

an è

?

PERCHÉ " -

si

PER 1 =D

=D

→

1 che = 1 1

citate

= le regole sopra HA =

=

IR

PROPRIETÀ OPERAZIONI IN

delle

1) )

(

)

(

Y Y Ytz

-2

Y ✗ ✗

-1

+

-1 2)

✗ ✗ +

+ =

= PROPRIETÀ

PROPRIETÀ commutativa (

Y Y )

) ASSOCIATIVA

X Y

✗ X

Y Z

(

DELLA SOMMA prodotto ✗ Z

del

= E -

. . -

=

. . DISTRIBUTIVA

PROPRIETÀ

ESISTENZA TERMINE 4)

3) DEL NEUTRO

& 4)

✗ ×

+0 ✗ al

1 ✗ ay

✗

✗ + a +

=

= =

. BX

b)

la al

✗

+ +

=

FRAZIONI

PROPRIETÀ delle ÷

G- §

b. b

e alte

d

a. a.

c

a

Addizione - =

.

2)

+ Prodotto

+ =

è =

5 b.

1) b.

b. al al

a

SOTTRAZIONE a-

DENOMINATORE al

È

è a.

% %

comune .

: =

=

divisione b-

3) c

}

}

[ ]

OPERAZIONI

ORDINE 1) )

PARENTESI (

L' delle : ,

,

RADICE log DA SX DX

VS

2) POTENZA ,

, DIVISIONI

MOLTIPLICAZIONI

3) VS

SX DX

DA

E

4) SOTTRAZIONE

ADDIZIONE E

|

EQUAZIONI ^5

Egli ) 5C

* ) )

2=5 (

-13 ✗ +3 ☒

* 2 +3

=

- * -

È G.

§ I 2=5×+95

5 +

-2 ✗

= -

+

✗

=D Ig

13 1=5×+15

5

1- X

+ 2

✗ = -

=p §

§ 1 -115

JX

× =

X -

1=5

-

=p G.

13 16

JX

✗

1+5 =

✗ -

= . ..

÷ .

g. . .

.

→ .

.

.

. .

= . . 3 :&

"

¥ SI 16

18 ✗ -3

16 =

☒

✗

→ -

= = 48

14 ✗

S =

- -1¥ "

? ¥

✗

-48 ✗ =

=

s =

14 ✗

s = .

È DI

NEGATIVO RECIPROCO POSITIVO

QUEL

ESPONENTE ESPONENTE

NUMERO

UN CON

CON AL NUMERO MA

=

%

¥4 2%3

% '

"

1 •

Di 2

7-

a- =3

= =

=

04.10 2021

. FUNZIONI

È di di

che unico)

ciascun (

) un

Funzione ASSEGNA elemento

REGOLA un Elemento

insieme

un insieme

una ALTRO

A .

È

dominio funzione Ammissibili

dei indipendente

l' valori

Il INSIEME

della variabile

della .

↳ ? PUÒ NEGATIVA

classica !

A )

la

D: GEOMETRIA

( Secondo

r

I. 0

p > ESSERE

> il non

r

= %

Y V-XEIR.to

D: ) ( a)

+

(

=/ 0

u

✗ ✗ =/

0

> -0,0

0

= ,

,

,

2

Y R

the / )

D C

✗ + co

co

>

= : - ,

,

"

TX / Rtc [ a)

Y E

D: ✗ 70

✗

Io

✗

s 0 +

= , ,

,

↳ h pari

numero

=

4=7 KXEIR

> D:

Lo dispari

m numero

=

toga Rtc

/

✗ ti

D: a)

0 IO

× E

>

× ✗ +

> ✗ so

= ,

, ,

↳ a > O PUÒ

È

CODOMINIO valori

valori variabile

dei

che Funzione

possibili

dei

L' INSIEME

IL A

ASSUMERE seconda

LA della

)

RISULTATI

INDIPENDENTE (

. Y

n distanza

ordinata RISPETTO

LA

: ]

a

µ

" "

asse "

au de "

. ⇐ { )

corrispondenza

{

Piani CARTESIANI Biunivoca

;)

±

f- , .

- -

- -

-

_ -

. .

-

-

. ÷

t-fyyaggggaga.gg ig-anzaaigp.gg

, , ,

g. ☐ VERTICALE

All' ASSE

ma

, ,

, '

✗ , i

OQ = ×

7- ORDINATE

ASSE

2

ESEMPIO

) Y ✗

= ?

ti

:

¢ q

- -

- - - -

-

- -

l

Y

X '

0 O Ì

d' ^ / "

¢

z TÈ

+ . ;

- -

- - '

^

a 4

2 ^

^

^

I 1 I

i ; È Ì

I

÷ :; .

. .

. .

l

l ' |

( '

I

I ⑥

I } e

]

, È È

È grafico

GRAFICO di

di GRAFICO

un

non un

un

di funzione funzione

una funzione

una

una

PROPRIETÀ Assi

DEGLI cartesiani AIX )

Y Y

, dist '

✗ il DAU

☒ .

DIST dall' ASSE ×

.

ASSE Y

»

Esca

'

" → .

→ ]

9)

( 2 ,

| ' , ④ [

0

Y 4=0

ES

= ✗ 1

=

. , 4=0

7

✗ = , ]

:

✗

K Ty

- [ (

K )

K

-5

Es

= -

- ,

( ]

7 )

K

-

, . .

IR

9

4=9 QUALSIARI

E RAPPRESENTAZIONE All'

di

→ Analitica X

PARALLELA

REITA ASSE .

, di

È RAPPRESENTAZIONE

KER Analitica

QUESTA all' Y

REITA

K

PER ✗ una

STESSO parallela

VALE LO LA ASSE

= .

.

,

il NY

" '

!

I quad .

.

☒ quad /

. × o

>

o

<

✗ y Y

✗

>o 45°

Y 0

> ] 1

1

45°

'

-

sx '

'

i ✗

i 2

' 2

È

!

quad

QUAD . . b - - -

-

-

- - -

-

-

✗ o

< × >o ,

g -

-

Yeo Yeo :

:

' '

, :

Y ×

=

BISETRICE °

°

TRA I # QUAD

E .

' i ^ Y

✗ -9

9 -2

2

^ > I

| 1g

_ 2

!

1- .

- _ .

- . ANALITICA

LA FORMULA

' , Y X ° #

e #

TRA e

= quad

- , .

✓

05 10.2021

. LINEARE

Funzione r

% -

Y -

.

✗ 1

I QZPZ

QIPI 03ps

Ip COSTANTE

i =

=

} =

'

l ' OPI OPZ OPS

1 ,

• !

Ì

" ! sia Poi

P

DEVE P

P2

)

( anche

P y r

CORRENTE PER

punto PER

VALERE

su DETTO

un

× }

, ,

,

.

• .

|

È I

i "

QP

! M

° S

) =

ESSERE

deve COSTANTE

COSTANTE =

! ×

: =

! ×

>

io

. oq

Q1 Q

Q2 Q3 ↳ EQUAZIONE

Y (

MX FORMULA DELLA

STANDARD REITA

=

. .

. che

. di )

nell' Origine

PASSA

RETTA

una

a

i Coefficiente MEIR

M

^ ^

^ →

angolare

= retta

PENDENZA della

0 .

Mio

M M=o 9 O

se >

SE

> O S D

S . .

9<0

9=0/1

Y MX →

= 9=0

Me -1 ^

r M

M gy ✗

> >

1 1

=

= =

^ 4=-2/1 > M 2

=

ES =

.

OEMT 1

→ ^

il

2 . - -

- ,

D ;

!

0

IEM <

-

o I sx

M j

✗ -1

=

y = -

•

che

RETE ORIGINE

L'

passano

non PER

SIA coefficiente

che Q

Q

Y

l' punto

REITA =/

INTERSECA

una

r un

ASSE 0 ANGOLARE M

con

in con

E

, .

,

EQUAZIONE STANDARD REITA

della

9=4+0

"* y

, M ✗ q

+

=

4 -

a : )

FORMA

( ESPLICITA

-

. Y mx

→

. =

qa

. ist 9 IR

! bx b. a

CE

AY O

0

-1C #

+ a. e

=

ist

☐ 0 ↳

' EQUAZIONE

× IMPLICITA)

( FORMA

RETTA

DELLA in

Nay bi m

c COEFF Angolare

= =

-

- .

§ E

y All'

X q ORDINATA ORIGINE

- =

= - A assi

DEGLI .

& di

m q RETTE MI

parallele ma

* =

9

? I

I perpendicolari =D

RETTE MI

A -

-9 =

}

- (

pz

-

- x2

- yz

-

- ,

, M2

I

Ì ↳ EMPIO

42 41 Dl

)

ALTEZZA 1) PERPENDICOLARE A

2

-

- ,

"

:iièiàÌ-↳ m.is?--- "

È

-

- -

→ 1 14

'

44 f-

Base ✗

1-

1 ✗

✗

I ✗ 2- y

✗

a. × , =

→

=

,

! ! )

MIX

Y

Y Yo C-

mix 27

a) -1

✗ → =

=

- -

-

!

! ]

%

[

Y ( 2) RECIPROCO

→ 1 m

+

M ✗ + =

= -

×

> Y 2) 4×+8+1

( SY

4 1

✗ + + =

=

PIL

ESEMPIO ( Y

) 9

CHE 4kt

3)

REITA Pa

1)

PER

PASSA -2 E 2 =

,

, .

?

m = (3-1) {

¥

DI = y ma

= q

s +

=

=

m = ))

( (

2

DX -2

-

CERCHIAMO

ORA PZ

(

l' )

Equazione USIAMO

che

rette

delle PER punto

passano dato

un .

(2)

y +

m tq

✗ 3 9

m

s

= =

( q)

ma

mxtq

y 3 +

= -

- |

%

( 2) +9/-91 SOSTITUIAMO

m M con

3 X

=

y -

- % %

2)

( X +3

1

y

X

y

=D >

3 = -

=

= -

- " '

y 2

+

×

= 2

?⃝ Pala

PIC ) 3)

-2,1 e ,

^ Il " < IMPORTA ORDINE

' L' DEI

non

2

m = =

✗

☐ punti RISULTATO

Il

.

i È

punti

INVERTENDO STESSO

lo .

. . 2

3

DY 1- " È

- = sy

= =

DI mxtq

m =

- a) -4

(

_ +

s Pg

REITA CHE PASSA

* in * 2)

MI 9

MX -19

y 1 +

s

= = - )

1)

( (

+

y MX

=p -19 -2Mt 9

=

- - 9/-91

MI 2) +

✗

1

y +

- =

% 2) 1

(

y +

✗ +

= " %

SY

y 1 -11 × +2

✗ +

2

= =

DATO PCXO Yo) P

Fascio RETE PER

EQ di

.

, Yo

mxtq

y mio

s -19

= =

( )

S Yo MCX

Y

)

y Yo mxtq mxotq XO

= =

-

-

- -

PIC 1)

ESEMPIO) )

MI

Y 1 ✗

s +2

2 =

- -

,

(

P2 Y 2)

3) MCX

s

2 3 = -

-

, È

TROVARE p(

) CHE

ESERCIZIO 3,1) PARALLELA