Fondamenti di automatica

GD D

M 1

+ RC

Viloto

condensatore scarico interessa

mi

= la

forzata

risposta

Prendiamo unitario

l'impulso gli

su diamo

u impulso

un

istantaneamente

carica

si

e

M

)

u(t) G( + tolto si

velta

una

RC

= = .

scarica

L"[GISD

Ye(t)

G(s)

Y1(s) =

= : S

Ec te

Yf(t)

Yf(S) str

ri

= =

-

S 1

+ RC

Prendiamo ult gradino unitari

ora

=5)

(71s) G(s)

= ·

"

G(sl = 1

S + RC ATTENZIONE quando le

!

tratti semplici uguali

radici sono

Supponiamo RC 1 i

=

=> L [i] A AzERcostan

, RCEL)

(AitAr]s /perfar

Es

Az che

1 si

= + =

1)

(s S

+ Az 1

=> =

[5]

[s]

↳ ActAz Al -1

=>

0 =

=

= regeld

-[5] [5]

4 dell'esponenziale

~

+

= =

et 1

+

=

= 1 gradino in

unitario ingresso

,

=

+

Yalt e al

il

1 converge

sistema

-

=> = ein-1)

radise

(perché

valore 1 la

> 1

aco

l'uscita caratteristica

arantisce che

g [

=

- Sistema

l'ingresso

Limitata anche

se

e è

10

(TI di

Modello Siso ordine

Ingresso-Uscita n

(D)u(t)

G

y(t)

Modello ingresso-uscita = =

ER uscita

y(t) asservata D

funzione

G (D di ordine

razionale in n

= bagn diERperi

boD"

(D) b(D)

G bn i

nebiER

+

+ con 1 1 in

+... per

= =

= ...., ....

= A1Dn-1

alD) D an

+...

+ +

=

D Sid ζ

D =

ult ingresso pilota u(t)

(D)

b

(D) y(t)

Forma esteso a

= =

DYy(t) b1D"

asD" boDu(t) uH bnu(t)

any(H)

y(t) +

+ +...

+

+... +

=

di

Ipotesi lavoro : Dulot

Etco

u(t) K

au 1

,

0 per 0

=

per ...

· = ,

, devono

Atzo

l'uscita calcolabile implica

questo che

deve e

essere

y

· in-ylot detti

Dylot condizioni

valori ylot

essere i

noti di , ....,

iniziali

Osservazione la

condizioni iniziali sintetizzano

le storia passata

: del di il

permettendoci trascurabile

sistema precedente

il

dell'ingresso

operato quale però costassumend

si

, (casualità

dell'istante attuale tro

nullo prima

Osservazioni ζ

)

Se bl

alle si

polinomi hanno radice allora

que una comune

in

i . ,

verifica cancellazione

una = b(D)

biD-Ibl I

ζ (D)

GID) b

- i

= CD)

(a

ζ

1 D CD) a ,

- . ,

a(D)

=

)

Se bl

al)

tra cancellazioni polinomi dicano

ci due si

,

sono

non i

e .

coprimi

.

Trasformiamo Trastemazione Laplace

usando di

la :

Y

y(t)

pace L[YCt] (s)

=

(s)

, Yes

y(t)

([(54) (d](s) (TD

* Laplace

ζ

ζ (s) integrale

,

= S

([Dycus] (s)Lamace

L/dYH](s) sis-ylo derivata

,

=

Nota x(HE) +

ζ

ζ

Se y)(d D y(t) y(t) D

=> (t)

+

= =

allora LIDx(H](s)

([y(t](s) sL[xCH]

Y(s) (s)-X10

+

= =

= jy)ld

(5 ζ

ζ

ζ ζ

y)(d SX(s)

SX(s) +

= =

-

X(s) (se hon è

in

: asintoto

ha 0

y un

un non

e

ideale)

impulso

YIs)

XIs)

=> = S

Regola di derivazione generalizzata

Per ogni n 1

, in

= ... skyis)-Diylotski

Dy(flapace -

, [i

soyis-[r ...d

...s 20

= Anglot

- --

O -

%

-- ... 410

%

Inn

51]

[s

sY(s) Dycot

...

= .... Daylot

i i

In

0 0

-1

.... . . .

- . .

, .

-

...

- Ylot

1 Dycot

2

a 1

y(t)laplace 51]

alsYis)-[s ......

a(D) , Day10t

... a21 -

an-1 __

- j ↓ I

A +n fRnx

Ex

= 10-1

ris) f(

a(s)Y(s) <(0)

ris)

-

=

M(H)Laplace ([u(t)] (s)

U(s) =

, Alco

per l'ipotesi che

ha

ultl=o ogni

, 1

K

si per in

= ....

Laplace

1) SKUis)

)

u(

+ ,

Dunque Labrace

b(D/uct) Vis

bis)

,

forma

Modello esteso in Laplace

Laplace

b(D)u( als)Y Uls)

a(D(y(t) r(s(x10

(s)

) (s)

+ b

, =

-

=

ovvero AFIS) EGIS)

"ris)"

Y(s) b(s)'

+ U(S) F(s) U(s)

G

10) (0

- (s)

x x +

=

= a(s] als

Osservazioni funzioni

FIS) E ( **, razionali

di

vettore

· ER

10+

X

· VISIEC

· funzione

GISIEC razionale

· ,

funzioni

Det Gls) del

Le Trasferimento

FIs) Funzioni ,

si di

dicono

e modello

condizioni iniziali dall'ingresso

dalle

rispettivamente e

Def Fis)

fls)

denominatore tutti

Il di

di

di gi

als) elementi

polinomio e

a

Polinomio Caratteristico Sistema

del

si dice .

& X( Bu(t)

Ax(t)

)

+ +

= Du(t)

Cx(t)

y(t) +

=

ER

YIt) uscita osservata

:

· ER

ult) pilota

ingresso

:

· x(t)f(Rnx del

sistema

stato

:

· CERAN

BERU

EIRMAN

A DER

· , , ,

Trasformiamo Laplace

usando : ([Ax(

([Dx (t))(s) Bu(t)](s)

)

(t) A ) Bu(t)

(+

x + +

+ =

x

= = LID BL[uCt1]

ALIx(t]

(t)] (s) Is

(s)

= +

= = AXIsi BUls)

SX(s) )

x(0

= +

=

- L[(

([y(t)(s) Du(t](S)

(x(

y(H 1 Du(H)

+ (t

+ +

= =

=

= Y(s) (XIs) DUIS

: +

=

L[x(t](s)E **

* il

XIS) vettore

è ha

che elementi

dove le

per

funzioni

trasformate .

vettore

del

elementi

delle che (t)

qui

sono

-A)

sXIsl-AXIsI (sI BUls)

X 10 1

(s) < +

-

=

=

st (sI-A)

Per tutte invertibile scrivere

cui

ascisse è può

si

per

le

che : " A)

(SI

A) +

(s x(0

I - BUis)

X(s) +

= - -

V (sl-Al

Y (SI-Al"

" BUls]

C DUls)

xlot C

(s) +

+

= D/U(s)

(CISI-Al"

fot

CISI-Alt B +

+

= p p V C

= G(s)

1 n

(1

E

FIS) = G(s) Uis)

F(s) =(0 -1 +

=

funzione funzione

Nota dall'ingresso

trasferimento

GIS) è di

proprio

La la

nel modello ingresso-uscita

vista

funzione

Nota trasferimento

La FIs) dipende

iniziali

condizioni

dalle

di

dalla scelta FIS) erindipendente

+10-1

stato

di

del modello ne

ma

,

ed è modello

quella

uguale ingresso-uscita

del

sempre .

a (sl-A)

Per invertibile

tutti e

: valori cu

dis per adj(sI-A)

EIsIE(sl-A)" = A)

(SI

det -

(sI-A)

(sI-A) matrice

adj aggiunta di

:

· (SI-A)

(SI-A)

det della

determinato matrice

· : Edet(sl-Als" a1s""

E als) an-S an

che

noto +

+

+ +... Xn)

(S

Is-xz) .. ... -

=

coefficienti

opportuni opportuni

an valori

per as per

e

....,

EC distinti

,

..., necessariamente .

Xi non

n

,

Def Le valori

alsio

radici auto della

dette

Xi i di

1 sono

n -in

= ...

,

. ,

A

matrice (sl-A)

Proposizione invertibile

La di

è i sper

solo valori

matrice per

non

alsiso

cui ↳

Ciò invertibile

implica qualche

che è ascisse

per

sempre

ammissibile

di s

convergenza .

della

Il calcolo fatto direttamente

matrice può

aggiunta Usando

essere

definizione

la sua flh-1x-1)

MER

Def Data Mji

quadrata solt

matrice

una , a

sia

, =

matrice i-esima

rinnovando

attenuta la colonna

j-esima .

la

riga e

definisco

Si adj(M)ERTh

M matrice

matrice il

di cui

la

aggiunta

elemento nel

colonna

sulla i-esima calcolato

è

Jesima

riga e

modo

seguento : its (Mji)

(1) det

Mij =

esempio

1 ad MI

I

M = (SI-H)

La

Proposizione è della

matrice matriciale

di

aggiunta perinario

un

forma : Azgh-2

+

Ass"

adj(sI-Al An

- +

+...

= Antic

As

opportuna matrici

per , -..,

Note del pelinomio in-1

il matriciale

grado massimo

· adjIsI-Al

gli elementi di grado

di polinomi massimo

ins

sono n-1

·

esempio

[2] [2]

ISI-Al

A =

= [(-) 1

us) -det(5-23)

*

detts

(SE A) ( 11

ads = -

-

- 2

+

3]) 13

(-1)

+

2 ([S

(-1) (5

det det

- -

[5] i)

E

=

modello

Il forma

La place

di

nel può riscrivere nella

si

dominio :

Y(sl Cadj(sI-A) (adj/sI-AlB aIsID) VIs

x10) +

: +

als als)

ovvero : E unvettore

(adj(sI-A) 1

#(s) i

= funzioni

als)

(sl-A)B aISID

Gls) Cad- +

= a(s) funzio

Nota funzione FIS)

elementi

Gls) di

etutti gli

La sono

: condividono als)

della tutti

razionali variabile come

s e

denominatore .

comune

Nota i è

L'ordine tutti ris)

polinomi in di

di minore

sempre

: bls) -

quello di al

ordine di minore

als) mentre mas

e o

,

uguale

sino = ti

La funzione

proposizione dice

razionale R(s) :

: strettamente di n/s)

il è

grado

propria minore

se

. , dis

quello

di di di

n(s)

di

il uguale

è minore

propria grado

se

· o

, dis

quello di

grado

bipropria il di ns) des)

quello

e di

uguale

, se

. a ze

Def =

R(s)

funzione valore

Data dice

il

razione

una un

si

. radice il

RIS) Invece valore

e