Fondamenti di Automatica

Fondamenti di automatica

Schemi, definizioni e formule

Facoltà di Ingegneria Elettrica

Politecnico di Milano

Anno Accademico 2020/2021

Riccardo Di Miceli

Controllo sistemi

Controllo dell'andamento al (controllore noto) è anello retroazione chiuso: TEE variabili di controllo controllate (presente e segnale tempo) è Idee P -8 → Ca, controllato il processo dipende da altre variabili ye = n di uscita. L'andamento al controllore nato solo anello è aperto azione diretta disturbi parte dei controllo di segnale etd.

Sistemi tempo dinamici continuo

La possibilità alla legata affrontare problemi di controllo è modellidisponibilità di matematici comportamenti dei sistemi di controllo.

Sistema dinamico tempo continuo

f(t) [stato dimt] equazione (t ← sistema = ingresso, settoriali equazioni dinamico (trasformazione Lt(f) uscita ult) d'gy = ←, del nadine sistema dello stato è iniziali il Lt condizioni marinaio sentono → inoiariabili d'ingresso ult) determinare in alti per istante ogni. Un dinamico sistema ordine algebrico è di zero.

(itdadipende ylt PROPRIO) Sistema non: - (strettamente) dipende da (SISTEMA) STATICO ty: non dipende dal tempo esplicitamente dipende TEMPO invariante: non- f-Ict (ultt - traslata) g (condy iniziali t = zione Tania, >=.

Sistema lineare

-1,13 Altxlt matrici ult Elt GDBlt {+ = , """" "" Bepi ERI? CER) AER Ult (f)) (t (Y +t)t = con, equilibriodistato E serale. Equilibrio è rt: uno per: EltE equilibrio In 0) {= Ot)> = JHt-glx.TKil) ult] =.

Sistemi lineari dinamici

Formula Il Lagrange calcolabile la movimento è con: t( -1¢LT) 1- t - " "- B ult ldt() e × = . Emovimento libero forzato: =D(toult) FORZATO) O LIBERO: = '" " '" è la - { yXilt) xo [ ×= =,,t t "=/ """ =Lla -- BatildeXelt Ye Batilde) Dutti+to :{ (t) It' + linearità effetti -il principi di tale posizione soo nap - stabilità yltl-yi.lt/t Ye HXi a:• raggiungibilità XF AB-:• osservabilità ha Dirac/Yr A 1c- IMPULSO sempre Distribuzione Di: area:• controllo YF { [B-c-a- : T• fortid- lltldt(e) , → =.=°t=/semplifica {) nitide yt.lt →) gltsi t-At() t ALL'(Bt ClG RISPOSTADings) t IMPULSO= La forzata uscita 'l' l'impulso impulso'all' risposta ingresso quando ee un .

Stabilità lineari sistemi dei:/ perturbare sistema di Managing un lineare stabilità studiare la del motivante per. AJXÙXITt.io te /{{ )(t{ .= PERÙ g, No) (f) +xo →× ×==,. / [(a)t)t ult) = o, È I[ motivano in libero tcui ()(ti)(txp = -.

Stabilità dipende

Il sistema stabile V-ts-o.tl/olimita è alti è se: stabile V-II Jxot-J-sllctxltl.lt Sso KE 7- tè < Ese o_O> o :, HÓXline / O/ STABILITÀ (t) ASINTOTICA =: t soo- ètdxo =.

Stabilità della determinazione

Risolvendo Jxltl' differenziale toequazione 0) = con: ==? K è ' K -0 sistema -stabile asintoticamente è il o se stabilità stabilità semplice asintotica >=.

Stabilità della determinazione

Stabilità della determinazione: "t[) DIAGONALEMATRICE A °: gaz -=, è nt-o Un sistema lineare è asintoticamente hanno stabile i autosaloni suoi parte se Se hanno negativa reale sistema nulla il almeno parte vale è uno. semplicemente stabile ha sistema ponte almeno è positiva reale il se uno, instabile.

Diagonalizzabile matrice A

Trasformazione coordinate il t/cambio da di) A xlt sistema) = un: "(E) () t( 2-{ t) TAT = I À diagonale((t TX) t2-=Applicando lo sviluppo serie ottiene di Taylor in si: erit 'À' tetti TAÌ= = con À A autosaloni quelli di di uguali → sono astudiare stabilità può la si → IZZABILENONA DIAGONAL: Bisogna matrice costruire in ad Asimile una forma Jordan di: - | La matrice blocchi Juscomposta sulla può in 1 essere o o, E sulla diagonale aiuti diagonale autovalore ciascuno = un, % della 7 matrice diagonale nella Titti 1 soprae 0, O. ha elementi la Tutti gli Ciascun blocco altri nulli dimensione persona. geometrica molteplicità relatio dell'autosalone: (t |' i" In In 0 = In O°

Stabilità e caratteristico polinomio

:det (""A) "SI di Clos ad(9) an-1p polinomiale + è equazione-1 un'=-= .. .banale la esiste è grado la quale soluzione cui e2n > in per per non non gli Le radici di della formula autosaloni) ptrisentita 4 sono > n per . matrice A . hanno gli stabili è autosaloni Huzwitcilil Reso è sistema polinomio

Routh hurwitz criterio

Se = > se = coefficienti tutti Hurwitz polinomio è i concordi TEOREMA se sono ai e: un nulli non. aol. FI) Reti() si) pls 0s <= -, Si di CRITERIO tabella righe ROUTH HURWITZ costruisce DI nti:- una, alla coefficienti indici di alla coefficienti iriga prima seconda pari riga e Gli di calcolati elementi righe indice delle successive dispari così sono:. d` "Ki Kil -11 La ha elementi gli matrice al numeratore delle due- K, la colonna righe ha elementi gli galla di della prima superiori a, elementi la colonna gli seconda della colonna an 1 aao r. .., le successive a asas a, ... . h ":: halii. _= ⑤ , .. Se elementi della gli colonna prima kr della =/ ksK sono e [ o. ., lite ↳ stesso l' stabile polinomio Hurwitz >= segno as >} . .. LOVGRAFICO CHAEMICRITERIO :-Lia fase della fase baronia zione complesso) disopljw ee numero NE di Hurwitz è[ il-1 polinomio dial da in inse niore + se W 0 =,, grafico l' antiorario il) ptgw di origine se e senso passa per non.

Infatti forma ha polinomio aotllsscrivendo il) in p sipi= :- reale contribuisce positiva E-radice orario; ogni senso in pera. radice contribuisce reale regalità antiorario in ogni • senso per; Rel' il radici grafico solo ci origine oper • se sono passa = con ↳ N è tutte 7 radici radici dq Raso le almeno ><== con >= n Re del polinomio sono < O con CRITERIO POLINOMIKHARITONOV DI INTERVALLATI :- famiglia stabilire di polinomi Permette intervallati Hurwitz è di intera un' se.

Si incerti parametrico coefficienti del plsad) quando esempio i sono usa. forma Si polinomio suite il in: "Ì" (5) dos -1ta an p +=,.. . [ ] ai intervallo natoa i c- io gni 1,2 ai con n =,,,... famiglia La dirigibile è Redi Innsalari in e:) pur) ) ( lplsw ( ( ImRg) Re) ptgw) ) ptwiptswl plgwl-1 ]-= -, . 317135196 15112 18 IO 14 i. . 120, .. ..,..,.. . Si sentircicomplesso ottiene rettangolo nel piano 4: con un Re '1) un maa mot " µ, 'Im2) maestre Min.,.. Imninfe Min t3) 2 ++ + ---- .., . 23-In4) un' Re ttt3 tMaxn --, pe -- .. . ttt4 -t -- .- . . 14 ( coefficienti polinomi tabella lo schema dei) min seguono in+ max -, . → Secondo famiglia il Kharitonov criterio tutti della)

Kharitonov Hurwitz lo siano di solo polinomi di se 4 e se i .

Proprietà stabili asintoticamente

Stabili dei iniziale dallo stato è indipendente t(t)• -; la risposta tende asintoticamente all'impulso; zero a• risposta qualunque la durata limitata ingresso di tende; a zero a•.

Det stato (A) uscita=/ di equilibrio generati) 0 (unici da • , riletti scatti; stabile limitato è limitato produce BIBO a teo YF ogni w-• per un, . LINEARIZZAZIONE: Consiste comportamento sistema descrivere lineare il di nel con una un non lineare equilibrio sistema attorno all'approssimazione di un . [(f-) stato equilibrio ult ) ) (I di =., dritti=L Sylt) int (le) ult)(rispetto) ianiazioni.

Ty sono a,,, J è te,, . Jutt {Ult Il))+= ctxctl equilibrio Il seguente la E sistema tale) è int + se = Sylt implicazione yltl g - ) +=: dx to f- t ft) 0Et Ult Te (vi)> e = === = io,, da stato perturbato tra Taniazione stato è nominale: ed Di Sviluppando f- Tayloe (Ì tramite (ordine) E) al alti Lt) E- × =-, . linearizza lo sistema il ottiene si ETÉ-13£: di ridurti/// irriti {i. & # 9746; Jjiti-i%71.in/xlt I+II/, i, u Ju-uLe dentate le Bmatrici AJonie c D sono, ,,. Queste Jacobiane matrici funzioni delle le settoriali rispetto en sono a che settore sono.

LE. gg/--FEt-, n-; µ% Esempio: --., a ÈE... La stabilità stabilità sistema dalla di dipende del sistema generico un lineari zzato: Hurwitz stato stabile equilibrio A è di asintoticamente è se uno; • instabile Retti ha 7 A stato è equilibrio di) è o uno se con > •; dire può altrimenti se nulla,→.

Raggiungibilità e scomposizione osservabilità canonica

Osservabilità

: uscita dell'al liberorelativa è ueooimeuto proprietà una. indistinguibile Uno osservabile stato dallo stato è è xo xo 0 se non =, libero uscita -1 = 0 dell' motivante (ossia Y 0 se t) genera un =., , L'A ecosservabilità motivante dipende matrici riguarda dalle libero il., osservabili L' degli stati sottospazio dello spazio settoriale insieme 'mai e un nodo degli stati. I |ca { C'è txo "} " ER E Xo Mò OSSERVABILITÀ? MATRICE 0 DI: = caho =:, 1 an-(Se completamente osreutabill rank sistema) Mo arteron > ==:, Mo Xo = D • Keefe) () uscita sola pnx n = una no . g Se detto osseria bill sistema caratteristico A) (A) di polinomio # p O,

Raggiungibilità

: dello stato forzato dipende proprietà del è motivetto dalle una, matrici A B,. raggiungibile dalla stato Uno è iniziale condizione quando I O = E ) ult) E =: °e, raggiungibili l' stati degli il' insieme ed della è è materia immaginer raggiungibilità di matrice detta Mr,."À È B) IB Un Mr AB sistema completamente è =. .. raggiungibile romana) se n =, se ( Xr Im = D " raggiungibile detratto Mn ) attico ⇐ mai > -, in solo ingresso un.

Trasformata di Laplace

Sia f- funzione ¢del tempo nel t( ) dominio sia ese otjw una una, complessa sauiabile. + - è stdt=/ f- trasformata 'f- f-( Laplace la) di (f) Itdi) es. -O "/(=Lflt) Si = L f-F-) Fist) indica anche) (t( ) e come s: f- deoiessere te f- definita (f)) (pentot almeno si assume per, . trasformata La l'esiste integrale converge se.

Proprietà

• Linearità: (L) XFCSafltltpgltha¢ paisXp) ¢ )ec- + si) a =: , trasformazione Laplace la lineare un' di è operazione.
• Traslazione nel tempo dominio del: fitti f- (funzioneti traslando) tconsideri ottenuta late sio -=> f- ( ) t É FLS. / Lui (f-=L) (TItlti)-=
• Traslazione sin: f- ( )(¢ t) consideri tc- si = . è tflt) LLÌLTI /=L) FCS) a)-=
• Derivazione nel dominio tempo del: È f-f- SF(5)((() ) consideri) (t) t ó si - DERIVAZIONE S