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Mo et Men
con : Muso
e
so
- (M tM
+ + MEN
pot per MS1
:
- = MEN
tM+ +Met
est Lut
(lH MSo
consso :
in
e e
cos
- etM-potsin(wt)
tr-cos(WH
tM+ eot th-sincust MEN
cos(WH Ms1
per :
- = =
Quando di
concetti risposta
risposta transitoria regime sono
i a
e definizioni alternative
dell'analisi
nel
calati contesto modale si usano
,
che della
precedenti nel
ricollegano alle quadro
si successiva analisi
della stabilità
.
Def (T1411)
se trasformata
ammette
sistema come
la risposta un
di Ys)
di funzione
Laplace la razionale allora :
, formata
lt)
la transitoria
risposta la sua
e
· componente
y ,
dai soli convergenti
modi
la è
yplt)
risposta formata
la
regime componente
· sua
a
daimodi convergenti
sono
non
che formata
la
Inoltre ypH
quando soli
e da
risposta regime
, a
modi di
umitati il risposta
prende permanente
nome
, LTI
stabilità sistemi SiSo
dei
Def qualche stato
sistema che preso
Un del
comportamento via
,
. riferimento
come certa
ad
stabile
dice
si rispetto una
, effetti
perturbazione riassorbiti
quest'ultima
di
gli
se solo
, ad
nel il sistend assumere
se tende
ovvero nuovamente
,
tempo
I riferimento forma
mostrando di
comportamento
· di una
i
insensibilità rispetto perturbazione
alla riferimento lo "stato
perturbazioni
sono di
al
rispetto comportamento
riposo") di
di gli
tutti :
esogeno
interventi ovvero
tipo ,
forzante il
l'ingresso pilota
ulti sistend
che
. effetti
degli
condizioni manifestazione
iniziali quanto
le in
,
· (tc)
aliattività
dovuti passata
esogena
Se ci limitiamo delle
perturbazioni condi
considerare solo
a 2
Localizza
del
zidi iniziali sulla
stabilità risposta
,
ristra la si
libera .
Def Stabile
Un LTI
sistema dice se
si asintoticamente la
. zero
converge
risposta libera qualunque
a per
sua iniziale
condizione . ferzata
Per è
tra
separazione algebrica risposta libera risposta
e
la rispetto
stabilità
evidure perturbazioni riguardano
la
che che
a affrontata
può
entrambe singolarmente .
essere separatamente
ma
consideriamo libera
sola
la risposta
Yu(s) =
()((0)
-)
F(s) (0
+ =
= a(s)
Proposizione dials)
Y(15)
Tutti sono zeri
ipoli di ovvero dulto
, anché
A tutti glizeri
di
valori als)
di
ma non sono
,
poli YLIS
!
di x0)
infatti
In il
variare
generale iniziali
delle
al condizioni
,
, Si
i
mi suoi
anche
cambia
pisi
polinomio .
Zeni possono
co
e
verificare delle concellazioni : (s)
dols) p ,
4x(s) =
PS
(s)
do(s)di
generale convergere
id
In risposta sistema però
un
di
,
asintonicamente addizioni
zero partendo alcule
a da
iniziali altre
da
non .
ma
,
esempio A B
TITO2][u
[21][]
y(H = C [01]()
y(s) cadj)sI A)
=(s) 1
10
+ -
= =
- = 52
(3)
a S 2
+ -
[25][x I
+
(0
, x2(0) s
x2(os
2x (ot
x2(0) -1
x2(0
=
+
,
= = 15-1) (S
Su 2)
S2
S S
2 + +
2
+ - -
10) YLIS)
x210-1 =
=> e
x divergen
: modo
sol
un
, Tris)
Xlot 2xi(0) convergente
modo
=
=- solo
un
Proposizione Il e asintoticamente stabile solo
sistena e
se
se autovalori
di gli
als)
radici ,
le di
ovvero A
,
tulti reale negativa
porte
hanno
A necessaria
la
modo e
risposta
questo libera
da modi
monke esclusivamente
composta conver
indipendentemente
genti condizioni iniziali
dalle perturbazioni
se considerazione le
prendiamo indotte
in
dall ferzata
l'attenzione
spostiamo risposta
,
ingresso sulla .
funzione
Poiché e generalizzata
ovvero
l'ingresso segnale ,
una
un ,
di corrisponde
ad di
concetto
perturbazione
tipologia
ogni un
stabilità diverso
.
Def sistend dice BiBo habile
ingresso-uscita
stabile
Il si e
,
IBounded -Inpult-Borned-output Stabile) risposta
la
se send
,
forzata è segnale limitato ingresso unitato
.
un ogni
per
Per limitiono agri
semplicità trattazione au
la
la ingressi
razionale
è
di Strettamente
funzione
Lablace
trasformata una
assumiamo che :
propria s ovvero
di , ((u(t) U(s)
(s) n(s)
= = d(5)
rolinari grade
qualche dis)
di coprimi nisl
per coppia con
, denominatore
di quello del
denominatore maggiore
al .
L"[UcsI](t)
Proposizione Se è
u(H limitato
segnale
un ,
= costituito
allora modi convergenti
solo da
e
esso dis)
umitati radici di
modi possono
ovvero le
e ,
soltanto reale
parte parte
avene oppure
negativa ,
molteplicità
nulla
reale unitoria
con
forzata e
risposta
La del sistema : 1mis) I
bisb
Y 0(s)Ucs)
(s) =
F = = = q(s)
Proposizione Yf(s)
La forzata elimitata
risposta esoo se
se
tutti suoi individuano convergenti
modi
i poli o
limitati radici als)
di
ovvero le
se hanno
, reale
reale nulla
negativa
parte parte
oppure con
uniteria
molteplicità
Proposizione YfIs)
Tutti di dis)
poli radici
di sono di
dis)
i o
il viciversa
vale .
ma non
Infatti verificarsi delle cancellazioni
, possono :
(s)nics)
dolslais)ba(s) ad
'n(s)'
1
Yf(s) b(S) (s)nics)
b m(s)
=
,
=
= S d(s) a2(s)dals)g(s)
(S)
a
S I S ,
dols)dils)
dols(a (s)
,
Nota cancellazioni tra
Se bis) sono coprimi vero
alsi ci
e sono
non ,
, visibili
nascosti
modi risposta
alcuni
ovvero sono nella
ma
e
forzata dall'ingresso
.
indipendentemente
Ai tiri di YFls)
limitatezza
della valgono seguenti
le osserva
Zioni : formulazione
Yf(s)
di del
provenienti
I poli vesl
da proble
per
· divergenti
solo
non
ma Gls)
I provenienti
Yas) da diver
poli devono
di essere
· non
genzi
Yf(s) modi
creditare Gis) associati umitati
da ,
però poli a
· soltanto creditati contemporaneamente
questi anche da
se sono
non
UIS) condizione aumenterebbe molteplicità
che generando
ne la
, Questa
divergenti
modi situazione di
il
così . nome
prende risonanza.
e
Proposizione forzata YfIs)
La costituita
risposta soltanto
vimitati convergenti
da modi gls)
soltanto
se e na
o
radici parte reale oppure
negativa
a parte
solo , a
molteplicità i
ovvero se
unitaria
reale nulle e ,
cancellati
poli provenienti disl
da als) hanno
non e
reale
reale molteplicità
negativa
parte nulla
o parte e
unitaria nulla
reale
lo stesto
se parte
e polo non
a
creditato
(risonanzal als)
da
e cheda
sia dis)
contemporaneamente
esempio
b(s) n(s) stul
VISI
f(S) 1 =
= = -
dis
als) ist
(s 2)
(s-1) +
YF (S)
allora 1
= 3)(s u)
2)(s
(s +
+
+ et est eut perché
contiene il
solo convergenti
i modi mode
,
, ,
è
et
divergente stato .
cancellato
esempio
GIsl bis vis) h
151)
= =
YF(S)
allora 1
= sa(s 1)(s 2)
+
+ t est
modi - il modo
contiene i che
convergenti e divergento
sia e
t
72-1e0 · i
Gls)
t che visi
ne in
presente in
era che
ne ma
non
= , ,
da
dalla risonanza
interazione , ovvero una
loro
nato
Osservazione ferzata YFIS)
risposta da
La als)
ereditare poli
solo
può
modi
associati che nascosti
mon sono
a .
Osservazione Yfs)
terzata
Se als)
risposta da
credita pelo
la parte
un a
ingressi
di
nulla esiste
reale unitati
necessariamente classe
una
,
che risonanza
induco
Proposizione Il stabile
sistema i Bliso solo modi
de i
e se non
fls) tutti
nascosti di convergenti
.
sono
,
Se
corollario il è allora
stabile
asintoticamento
sistema i
,
Biso Stabile Se
anche stabile
BIBO invece è
. non
e , ,
stabile perché potrebbe
asintonicamente
necessariamente ,
avere divergenti
limitati
nascosti
dei ,
modi che sono
o
attivabili iniziali
condizioni
opportune
un
di
Nel modelli di il
stato
caso concelto
estendere
possiamo del
stabilità di
di singola
alle vettore stato
componenti diventa
il
La
Nel
(t) di
dominio place suo andamento
. ISI-Al"
(SI-Al" BUls)
Visi +(0) +
= & w(S)
Ev(s) ad5(sI A)B'n(s)
adj(SI +
A) x(0
- -
= = =
a(s)
als
als Xcs) XF(S)
w(S) nis)
VIS) +
+
= =
a(s)
a(S) d(S) ,
I
- EX (s) fIRn
IX((s)E(Rhx F
XIs) XFS) libera
rispettivamente la
dove e risposta
sono e
forlata
risposta nello stato
la
Osservazione
Poiché polinomi
VISI WisI che
vettori ordine
di più
hanno al
sono
e fatte
le
als) valgono
dove ordine stesse considerazioni
ha
n-1 n , alle single<
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