Differenziali di primo ordine

EDO DI PRIMO ORDINE

y' + a(t)y = f(t)

• a: I → R continua
• f: I → R continua

Notazione

y' + a(t)y = f(t) in forma normale

se f ≡ 0 si parla di "eq. omogenea"

L_a = d/dt - a(t)

L_a(y) = y' + a(t)y

• L₁(y₁, y₂) = d/dt (y₁ + y₂) + a(t)(y₁ + y₂)
• = y'₁ + y'₂ + a(t)y₁ + a(t)y₂
• = L₁(y₁) + L₁(y₂)

L₁(ky) = d/dt (ky) + a(t)(ky)

= ky' + ka(t)y

= k L₁(y)

Linearità

perché L₁(y₁, y₂) e L₁(ky) è lineare

es: F' = f(t)

L'insieme delle soluzioni è dato da ∫f(t)dt

Soluzione

def y ∈ C¹(I) è soluzione di y' + a(t)y = f(t) se

y'(t) + a(t)y(t) = f(t)   ∀ t ∈ I

y'¹ + a(t)y = 0

n’ = -pn

decadimento radioattivo

• n: I → ℝ è incognita
• a(t) = p ∈ ℝ⁺

n(t) ∈ ℝ da trovare

la mettiamo nell'equazione

λ e^λt - p e^λt <=> λ = -p

una soluzione è data da n(t) = e^-pt

se io prendo c e^-pt

(c e^-pt)' = (-p) e^-pt

anche c e^-pt c ∈ ℝ è sol

RIASSUNTO

1. UN E.D.O. LINEARE DI 1 ORDINE OMOGENEA HA COME INTEGRALE GENERALE (SOLUZIONE)

_y' + a(t) y = 0 (soluzioni)  c e^-A(t)

2. LEMMA: LA DIFFERENZA DI DUE SOLUZIONI DI UNA E.D.O. LINEARE DI 1 ORDINE NON OMOGENEA MI DÀ UNA SOLUZIONE DELL'OMOGENEA ASSOCIATA (quando f(t)=0)

y' + a(t) y = f(t) _{sol1 - sol2} (t) = c e^-A(t)

3. LA SOLUZIONE DELL'OMOGENEA È c e^-A(t)

QUINDI _v1(t) - _v2(t) = c e^-A(t)

L’INTEGRALE GENERALE DELLA NON OMOGENEA (=tutte le soluzioni)

SI OTTENGONO SOMMANDO UNA SOLA SUA SOLUZIONE CON L'INTEGRALE DEFINITO (soluzione) DELLA OMOGENEA

_v1(t) - _v2(t) + c e^-A(t)

     Questo contiene tutte le altre soluzioni perchè C è variabile su tutto R

4. "L'unica cosa che mi serve per trovare tutte le soluzioni della NON omogenea, oltre alla soluzione dell’omogenea è UNA SOLA SOLUZIONE DELLA NON OMOGENEA"

UNA SOLUZIONE DELLA NON OMOGENEA SI OTTIENE CON IL METODO DI VARIAZIONE DELLE COSTANTI

 PARTENDO DA UNA SOLUZIONE DELLA NON OMOGENEA w(t) = c(t) e^-A(t)

   SI TROVA CHE C DEVE ESSERE

c(t) = ∫₀^t e^A(t)f(t) dt

E QUINDI w(t) = e^-A(t) (∫₀^t e^A(s) f(s) ds)

_{Una soluzione della NON OMOGENEA}

TEOREMA "GENERALE" = L'INSIEME DI TUTTE LE SOLUZIONI DI UNA EQ. DIFFERENZIALE NON OMOGENEA È:

{t + c e^-A(t), ∫₀^t e^A(s) f(s) ds , c e R}

_{integrale generale le soluzioni rappresentavate da}