Equazioni differenziali

AMMETE

PROBLEMA ALMENO

DI SOLUZIONI

IL CAUCHY :

(3

y(x)

y(x) =

0

= =

E

SOLUZIONE

TERZA

UNA :

S Ex

10

X

3(x1 = - - - - - h(y)

E' 32

3 A SEPARABILI g(XI

VARIABILI CON 44

ESERCIZIO 1 = =

= -

E

S y2(x)

y2(x)

y'(x) y'(x) 4y(x)

4y(x)

= -

=

-

(Pz) IP2)

y(0) 1

y(0)

4 =

= M

- I

% y(x) 4

= - 2

-

(IR)

C VALGONO

g(x) S IPOTESI

1 TEOREMA

E

= Esistenza UNICITA

e

f(y) 43E((R)

2 -

y

= => (P1) (P2) Ammettono un'unica Soluzione

=

h(Cl C-4c

SOWZIONI COSTANTI < 4

(

0 C C

Oppure

0

0

) ) =

=

=

= =

=

E

3(x) 4 SOLUZIONI COSTANT

0 =

= ↓

L'UNICA 1

P

Soluzione B

È DEL .

. DIMOSTRARE

2 CALCOLARNE

Per PROBLEMA SOLUZIONE

PRIMA CHE

Di La

Il ,

, è

.

- La soluzione Limitata

è

solzione

2

. strettamente decrescente

la

E y'(x) y2(x) 49/x)

= -

(P2) y(0) 1

= M

No y(x) 4

=

& & - -

- ...

No &

y(x)

& 0

=

&

(PC)

5/X)

Sia Momento

soluzione

.

1 valgono

la di dal che

(gixi coliri

esistenza

Ipotesi e

le unicità

del di

Teorema e e

(II)

h y può

(4) soluzione Non Intersecare y(x)

la 0 =

E =

,

(X1

Y QUINDI ESSERE

4 = DELE

= : dom15)

Fx

05(X14

↑ = #

5 LIMITATA

↑ NOTA TEOREMA

DEL

QUANDO UNICITA

ESISTENZA

VALGONO IPOTESI Di

Le e

: SOLUZIONI PERCHE ALTRIMENTI

POSSONO INTERSECARSI QUEL

IN

NON

DUE 2

PROBLEMA SOLUZIONI

DI

PUNTO UN CON

CI CAUCHY

SAREBBE

N Y2

30 ----- y S

Xo

2 OVVIAMENTE

SOLUZIONE SODDISFA

OSSERVO OGNI

CE

. SOLO

y'(x)

y'(x) -

43(1

= - #

Y"-GY10 (

D'ALTRA OCY14

PARTE CHE )

HO = !

DECRESCENTE

y2 y/00938

4930 )

=

DETERMIN NON

ESPLICITAMENTE SOLUZIONI COSTANTI

L :

y2(X)

Y GY(x)

(x1 = -

y

=

PER +

y 0

+

Y 4

= =

ex

-fedy f

+ d =

Ilog(y) 1log(y 4) +

+ x c

=

- -

1

Elog eh(x c)

+ 24x

?

1y -4)

= e

= =

191 e

=e

3 e

4 k

pongo

- = =

Y keaxy

kex

4

+

y y +

) 4

= - =

=

- Y y(kex 1) 4

+

c ) =

= 4

) y(x)

2 = = kyax 1

+

& Keidob)

4

INTEGRALE Yu(X1

y(X1 4

Y(x1 0 : =

=

= ; keax

GENERALE 1

+

IP2

RISOLV : 4 1

y(0) 3

>4 +1

1 k

k >

= = =

= = = =

Ke 1

+

(P) 4

Y/X1

SOLUZIONE

UNIGA : = 3eX 1

+

I ORDINE

LINARI

EQUAZIONI DEL

EQUAZIONI

SONO DEL TIPO : y b(x) XIER

(x) a(x)y(x)

+ =

b(xi funzioni

alxi continue

e bixi l'equazione omogenea

se o

· si dice

=

bixi fo Completa

se l'equazione dice

si

· È SEPARABILI

VARIABILI

OMOGENEA

L'EQUAZIONE

OSSERVAZIONE A

: Y'(x) a(x)y(x) 0

+ =

I'1 = 3

=

fu()

SOLUZIONI COSTANT y(x)

0 < =

2 0

c

> 0

= =

= =

= -a(X

2 PONGU

yo(4y f a(x)dx A(x) a(x)

= =

- A

GUE Di

PRIMITA A

log(y) A(x) c

+

-

= jA(x)

A(x) c

+ ec

-

(y) e

= = .

A(x)

? é

Y(X) 1 e

= General

INTEGRAL

E &

KA) Keir

Y(X1 dell'omogenea

Dol

=

(FORMULA RISOLDIVA)

TOREMA bIxi IR

SIANO Continue I

aXI Su

e .

Y'(XI XEI

DIXI

L'INTEGRALE a(X(Y(X)

GENERALE DI + = A(x)

A(x)

ke -

B(x)e

- y(x) KER

+

E = ICIOE a)

A(x A PRIMITIVA

a(x)

DOLE Di

= A() bell

/Cioè

B b(x)

(x1 B PRIMITIVA Di

= XoEI)

(CON

Y/X01

CAUCHY

PROBLEMA

INOLTRE Yo Ammette

OGNI DI =

I

UNICA SU

SOLUZIONE DEFINITA TUTTO COST

1 POSSIAMO RISOLUTIVA

FORMULA

OSSERVAZIONE LEGGERE La

: :

A(x)

E

-

Y(x1 KER

=

Yo(XI È dell'omogenea

Generale

L'Integrale

· e'

YpIXI Particolare

Integrale Completa

Un

· della

I INFAN S PER DEFINIZIONE

yp(x) Xx]

b(x)

a(x)yp(x) A(x) a(x)

+ = = eA(x)

B'(x) b(x ,

=

DIMOSTRIAMOLO : A(x)

B(x)e

p(x)

Y = A(x)

A(x) A(x))) e

B'(x)e B(x))

Yp(x) +

= -

eA(x A(x)

A(x !

-

b(x) -

B(x)a(x)

g

= e

- A(x)

b(x) B(x)a(x) e

= - A(x)

A(x)

Yp'(x) a(x)B(x)e

b(x)

a(x)yp(x) B(x)a(x)e +

+ = -

b(x)

= FxI

yp(x) b(x)

a(x/yp(x)

=> + =

PUÒ

OSSERVAZIONE 2 DIMOSTRARE DELL'

SI Ce SOLUZIONE

In Effet OGNI

:

IFACOLTATIVA) Yo(X1

EQUAZIONE Yp(X)

SCRIVE +

SI Allora

è

Se

Infat YIXI Soddisfa

solzone

Una ,

y'(x) b(x)

a(x/y(x)

+ = !

D'ALTRA YPIXI

PARTE SODDISFA :

Yp(x) b(x)

a(x)Yp(x)

+ =

Se HO

EQUAZIONI

DE

SOTTRAGGO le : (b(x)

(yp(x) b(x)

a(x(yp(x))

y (x) a(x(y(x)

+ 0

=

+ =

- -

Yp(XI)'

(y(x) Yp(x))

(3(x1

=> a(x)

+ 0

=

- -

CIUE Y-YP RISOLLE L'OMOGENEA MA ALLORA :

,

y(x) yo(x)- y(x) yp(x)

yo(x)

Yp(x) +

=

=

-

I

ESEMPIO

y'(x) 2 y(x) Sim(x) =(0 I

0)

+ X

= + =

;

X2 A(x)

A() B(x)e

ke

b(x)y(x)

y'(x) a(x(y(x)

+ +

=

= (zdx

(a(x)dx logx

2logx

2 - A(x)

a(xi =

=

= =

= (simax

(bxxleAdx elog

b(x) Sim(x) >

- B(x) =

=

= Xz SSimkx) X dx

= . CER

Jsim(x)dx cos(x) c

+

-

= = 4

log

Keloga" 1

È Y/X1= e

L'INTEGRALE 144)

GENERALE Cos

: -

-C

= KER PR

,

ESEMPIO 2

E

·

Sin se GENERALE

I INTEGRALE :

x2 ↑ CS)

:

y(x1 KER

X2 2S(4)

1(S(4)

Y (1) k k 0

> =

= =

=

-

È

DILPI COSKX

2

SOLZIONE Y/x1

L'UNICA : = - X2

ESEMPIO 3

y'(x1 XEI

Xy(x) + X

= - A'(x) ax

= A(x)

1/y(x) =

3'(x) bx bx2

B'(x1

+ =

a(x)

= 1

A(x)

a(xi >

-

x

= = 2

- +

SbieAd *

Se d

=?

BIXI Cer

e

= =

*

/2

B(x) e

=

- A(x)

A(x)

ke B(x)e -

Y(x) +

= x3 -x2

ke e - = ke= KEIR

e 2

+

= +

= - un

Yo(x) yp(x)

È

NOTA VARIABILI

L'EQUAZIONE ANCHE SEPARABILI

A

: x( 2)

3'(x) xy(x) y(x) +

+ x

= -

=

- h(cl

2 1

SOLUZIONE < y(x)

COSTANTE 1

0 > c 1

<

0 ) (

=

=

= =

= =

-

C Separo VARIABILI

E (xdx

Sa = -Sxd

Sid =

logly-11 1

=> +

= - K

-

e x2

+ c -

ez

e

-(y 1

3

= +

1) =

= - .

- x2

kei

=> y(x) 1

+

=

RITRON SOLLIONE DETERMINATA

L

SOPRA

COSTANTI

(A

EQUAZIONI LINEARI ORDINE

DEL I COEFFICIENTI

SONO TIPO

EQUAZION DEL : Y"(x1 by(x) XIER

g(x)

ay(x1 +

+ =

è

gecor)

beir forzante

deta

a :

, (g(1) 0

OMOGENEA

EQUAZIONE ASSOCIATA =

"(x) by(x) XEIR

(0) ay(x) 0

y +

+ = I

SITUAZIONE ANALOGA ORDINE

NEL

by(x) XER

y'(x) 0

+ = Y

Sollore Costante 0

=

- fbd

Say

dY -by

VARIABILI

SePARO l =

- =

dX log(y1 Dx + c

= -

e bx egbx

+c

(y) =

= bx

y(x) keR

ke

=> =

ANALOGIA

1 QUANTO OSSERVATO I

CON

OSSERVAZIONE ORDINE

IN CERCO

NEL

: e

DI/O) XER

Per

DEL

SOLUZIONI TIPO Y(XI .

:

e /O Ovvero

IMPONGO Y(X1 valga

Soluzione di

Sia :

= be70

* "talety'

le xeI

+

axe" be

(2e XXI

< > 0

= + + =

[x

** b)

ax XXEI

0

c = + =

+

e + b

+a

( X e Equazione

= caratteristica

o

+ =

"FUNZIONA" 1 DOVERO =CIB

PROCEDIMENTO

Il Anche Se E ,

CEBER INTAL CASO HO : e( ip)x

. iBx

+

+ gax et

r

y(x) e =

= =

ed[cos (BX))

(BX11i sim

=

(PRINCIPIO

2 SOVRAPPOSIZION

PROPOSIZIONE

OSSERVAZIONE DI

: (0)

l

Ya(x)

Se Allora ogni

Yz(X) Soluzioni Loro

sono di

= ,

LINARE

COMBINAZIONE :

= CER

(sYf(x)

(x) CY2(x) C

+

= ,

((2 (4)

,

È (0)

Soluzione di

DIMOSTRAZIONE TESI

IPOTESI -"

ayj ay by

y2

1) by 0

+ + +

+ 0 =

=

ay

2) y2 byz

+ 0

+ =

1) 2) Ce

Ca Sommo

MOLTIPLICO Per Per e

e :

by2)

((32 by2)

ayz ((y2 ay 0

+ + + +

+ =

aleCeyal'

(2Yal"

Leccet b

.

+

+

5

y" by

ay

)

( 0

+ +

= = (NON PROGRAMMA

PRINCIPIO SOURAPPOSIZIONE

APPLICAZIONE DI In

AURO

COMPLESSE

S RADICI

(C) HA :

+ 12

iß BER

i

-

c X

=

+

=

z ,

-

Y

etY/coSBX isimBx) >

- (0)

y2(x) Soluzione

+ di

= /COSX-isimby lo

Di

YzX1 e soluzione

= Il SOVRAPPOSIZIONE

PRINCIPIO DI

ecosBX (0)

132(x)

232(X1 di

sanzione

e

+ = e simb l

& 192(X1 soluzione

Y1(x) di

e

+ : SOLO)

LE

COMBINANDO SOPRA

OSSERVAZIONI DIMOSTRA

E NON SI

TEOREMA

A CARATTERISTICA

DELL'EQUAZIONE

SIA DISCRIMINANTE

IL :

ax

(C)( b 0

+ + = by(x)

y"(1 ay'(

(0)

L'INTEGRAT Generale scriv

Di Si

+ + 0 :

: =

12 Er

10

1) de

dilci

se Son