Equazioni differenziali

Equazioni differenziali lineari (I ordine)

a₂(t) y'_(t) + a₀(t) y(t) = f(t)

a₂(t) ≠ 0   ∀ t ∈ I

a₂(t) (dividendo per a₂(t))

y'(t) + a(t) y(t) = b(t)

Soluzione

y(t) = z(t) + y_p(t)   (Teorema di Struttura)

• Integrale generale dell'equazione omogenea
• Soluzione particolare dell'equazione completa

1. Integrale generale dell'equazione omogenea

z' + a(t) z = 0   a ∈ C(I)

z' = - a(t) z   (variabili separabili)

Esplicito i passaggi   z = 0   soluzione costante

dz/dt = - a(t) z

∫ dz/z = - ∫ a(t) dt   ( = -A(t))

log |z| = -A(t) + c → |z| = e^-A(t) e^c →

→ z(t) = (± e^c) e^-A(t) → z(t) = c e^-A(t)

c∈ ℝ \ {0}

2) Soluzione particolare dell'equazione completa

γ' + a(t)γ = b(t)

Usando il "metodo di variazione delle costanti" abbiamo:

γ̅(t) = c(t)e^A(t) con c(t) funzione incognita

Derivo a destra e a sinistra

γ̅'(t)= c'(t)e^A(t) + c(t)e^A(t) (-A'(t))

Dal momento che A'(t) = a(t):

γ̅'(t) = c'(t)e^A(t) - a(t)c(t)e^A(t)

Sostituisco γ = γ̅ nell'eq. iniziale

c'(t)e^-A(t) - a(t)c(t)e^-A(t) + a(t)c(t)e^-A(t) = b(t)

c'(t) = b(t)e^A(t) → c(t) = ∫ b(t)e^A(t) dt

e quindi:

γ̅(t) = e^-A(t) ∫ b(t)e^A(t) dt

Per il Teorema di Struttura, abbiamo detto che l'integrale generale dell'eq. completa è della forma: γ(t) = z(t) + γ̅(t), quindi:

γ(t) = e^-A(t) { c₁ + ∫ b(t)e^A(t)dt }

Tabella Riassuntiva

Metodo di Somiglianza

a ≠ 0ay'' + by' + cy = f(t) forzante

Integrale generale:

y = C₁y₁(t) + C₂y₂(t) + y_p(t)

• Integrale generale dell’eq. omogenea
• Soluzione particolare

c₁, c₂ ∈ ℝ

Per calcolare y_p(t) si usa il metodo di somiglianza

⟶ ℓy = ay'' + by' + cy

ℓy = f(t)

Es. Y(t) = Ce^αt

ℓy = ℓ Ce^αt = [a(α²Ce^αt) + b(αCe^αt) + cCe^αt] = (aα² + bα + c) Ce^αt

costante

cʹ₁(t)cos(t) + cʹ₂(t)sin(t) = 0

-cʹ₁(t)sin(t) + cʹ₂(t)cos(t) = ¹/_sin(t)

W(t) = cos²(t) + sin²(t) = 1

Kramer ➝ c₁(t) = -¹/_sin(t)

cʹ₂(t) = ^cos(t)/_sin(t)

c₁(t) = ln(sin(t)) + c

γ_p(t) = -t cos(t) + ln(sin(t)) sin(t)

Forzate esponenziale-trigonometrico

f(t) = e^αt(c₁ cos(√νt) + c₂ sin(√νt))

γ_p(t) = e^αt(c₁ cos(√νt) + c₂ sin(√νt))

Calcolando yʹ_p e yʺ_p e sostituendoli avremo:

sistema lineare di 2 incognite c₁, c₂ ➝ γ_p(t)

Se la forzante è soluzione dell'equazione omogenea associato, il metodo non funziona

Se α + iν è soluzione di a z² + b z + c = 0 si procede con:

γ_p(t) = t e^αt(c₁ cos(√νt) + c₂ sin(√νt))

Es

yʺ - 2yʹ - 3y = 4e^-t cos(2ξt)

-4c₁ - 8c₂ = 4

8c₁ - 4c₂ = 0

c₁ = ¹/₅

c₂ = ²/₅

yʹ_p(t) = e^-t(c₁ cos(2ξt) + c₂ sin(2ξt))

yʹ_p(t) = ...

yʺ_p(t) = ...

γ_p(t) = e^-t(-¹/₅ cos(2ξt) + ²/₅ sin(2ξt))

Oscillazioni forzate e risonanza

y'' + ω²y = α cos(vt) _forzante

y'' + ω²y = 0 → y(t) = c₁ sin(ωt) + c₂ cos(ωt)

v / 2π _frequenza

w / 2π _{frequenza propria}

y(t) = b cos(vt) + c sin(vt)

1. 1
2. 0
3. α / ω² - v² cos(vt)

y(t) = A cos(ωt + φ) + α / (ω² - v²) cos(vt)

v=ω (Risonanza)

y'' + ω²y = α cos(ωt)

y_p(t) = b t cos(ωt) + c t sin(ωt)

a = α / ω

b = 0

y(t) = A cos(ωt + φ) + α / 2ω t sin(ωt)

Oscillazioni smorzate e forzate

y'' + 2δy' + ω²y = α cos(vt) (δ > 0)

δ > ω: (c₁ e^{δt - ω2t} + c₂ e^{-√(δ2 - ω2)t}) e^-δt

δ = ω: (c₁ + c₂ t) e^-δt

δ < ω: c₁ sin(√(ω² - δ²)t) + c₂ cos(√(ω² - δ²)t) e^-δt

Soluzione particolare:

y_p(t) = b cos(vt) + c sin(vt)

= α / √((ω₂ - v₂)² + 4 δ²v²) cos(vt + θ)

θ = - arctg(2 δv / (ω² - v²))