Equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Trovare una funzione incognita y(t) avendo delle informazioni sulle derivate y'(t), y''(t), ecc.

es. y' = p(t) ?

y''' - 3y \cos(y)' y = y^2 y'''' (difficile da risolvere in modo esatto)

Equazioni Differenziali del 1° Ordine:

(Compaiono solo le derivate prime)

y' = F(t, y(t)) → forma normale

es. trovare una funzione y(t) tale che

t y(t) y'(t) + y(t) = 0

y'(t) = - y(t) / t (forma normale) (t ≠ 0)

Esempi di equazioni differenziali che si riescono a risolvere in modo esatto:

1. Equazioni differenziali a variabili separabili

y'(t) = a(t) b(y) (a(t) e b(y) sono delle funzioni)

Si possono risolvere come segue:

y'(t) / b(y) = a(t)

b(y) ≠ 0

integro ambo membri:

∫ y'(t) / b(y) dt = ∫ a(t) dt

se possibile calcolo gli integrali e alla fine si ottiene la funzione y(t)

es. y'(t) = (2t \cos(t)^2) / (y(t) - 2) , a(t)

y(t) ≠ 2

(y(t) - 2) y'(t) = 2t \cos(t)^2

∫(y(t) - 2) y'(t) dt = ∫ 2t \cos(t)^2 dt

pongo z = y(t)_1/2

∫(y(t) - 2) y'(t) dt = ∫(2z - 2z^1/2) dz

pongo t z, u_1/2

∫(y(t) - 2) y'(t) dt = ∫(2z - 2z^1/2) dz

∫(2t \cos(t)) dt =?

pongo t z, u

du = 2t dt

∫(\cos(u) du = \sin(u) + c₁)

1/2 z + 1/2 = c₂ sin(t) + 1/2 t

equazione di 2° grado in y(t)

1/2 z + 1/2 = c₁ - c₂ = 0

(\ t^2 - 4 ) y(t)

Equazioni Differenziali

Trovare una funzione incognita y(t) avendo delle informazioni sulle derivate y'(t), y''(t), ecc.

es. y^' = f(x)?

y^'' + 3y cos(x)y' - y cot(x)y^''' (difficile da risolvere in modo esatto)

Equazioni Differenziali di 1° Ordine:

(compaiono solo le derivate prime)

y' = f(t, y(t)) → forma normale

es. trovare una funzione y(t) tale che

t y_x(t) + y(t) = 0

y'(t) = -y(t) / t (forma normale) (t ≠ 0)

Esempi di equazioni differenziali che si riescono a risolvere in modo esatto:

1. Equazioni differenziali a variabili separabili

y'(t) = a(t) ⋅ b(y) (a(t) e b(y) sono delle funzioni)

Si possono risolvere come segue:

y'(t) / b(y) = a(t) b(y) ≠ 0

Integro ambo i membri:

∫ y'(t) / b(y) dt = ∫ a(t) dt

se possibile calcolo gli integrali e alla fine si ottiene la funzione y(t)

es. y'(t) (2t cos(t)²) = a(t))

y(t) - 2 = b(y)

pongo t ≡ u allora du = 2' dt

∫y tan y du = sin(u)' + c = sin( t) + c₂

∫z - y(t)' - 2 c'(t)' + c₂ = sin(t) + c₂ = equazione di 2^o grado in y(t)

1 / z y(t)-'2sin(t)t + cc₂ = sin(t) + c₂

1 / z L(t) - 2y(t) + 2sin(t) t + c - c₁=0y(t²) - 4y(y(t)) 2 sin(t^2) + z t'2' + (c₁ - c''₂) = 0

costante K

y(t) = 2±√(±2ln(t±2)) - K soluzione dell'eq. differenziale

esempio di eq. differenziale che non è a variabili separabili

y' - Sin(y+t)

Equazioni Differenziali De I Ordine Lineari:

y'(t) + a(t)y(t) = p(t)

Se p(t) = 0

y'(t) + a(t)y(t) = 0 → eq. omogenea

Teorema: Le soluzioni dell’equazione differenziale non omogenea (ossì con p(t)≠0) si possono ottenere sommmando a una soluzioneparticolare dell’equazione non omogenea tutte le soluzioni dell’equazioneomogenea.

Iniziamo da un’eq. omogenea:

y'(t) + a(t)y(t) = 0

A(t) = ∫a(t)dt

moltiplico tutto per e^A(t)

e^A(t)y'(t) + e^A(t)a(t)y(t) = 0

D( e^A(t)y(t) )

D(e^A(t)y(t)) = 0

Quindi e^A(t)y(t) = c (costante)

=> y(t) = _c/^eA(t)

c ∈ ℝ e^A(t) Soluzioni dell'eq. omogenea

es. y'(t) = _con(t)/^sin(t)y(t) = 0

a(t) = _con(t)/^sin(t) e A(t) = ln|sin(t)|

Se y'(t) + _c/^eln|sin(t)|

(∀c)

Condizione iniziale: per t = 0 y(0) = 5

y(t) = _c/^esin(t)

y(0) = _c/^eln|sin(0)| = 5 → c = 5

La soluzione è y(t) = 5e^sin(t)

Come risolvere l'eq. non omogenea

y(t) + a(t) · y(t) = f(t)

y(t) = ?

y(t) = c e^-A(t) (soluz. dell'eq. omogenea)

Immaginiamo che c non sia costante, ma sia c = c(t).

Metodo della variazione della costante

y(t) = c(t) e^-A(t)

d

dove essere una soluzione dell'eq. non omogenea.

Calcolo:

y'(t) = c'(t)e^-A(t) + c(t) · e^-A(t) (-^A'/_a(t))

Sostituisca nell'equazione non omogenea:

c'(t)e^-A(t) + c(t) · a(t) e^-A(t) + a(t) c(t) · e^-A(t) = f(t)

c'(t) e^-A(t) = f(t)

Moltiplico per e^A(t):

c'(t) = f(t) e^A(t)

Integro:

c(t) = ∫ f(t)e^A(t) dt

A(t) = ∫ a(t) dt

es. y'(t) + 2/_t y(t) = t^t/3 (t ≠ 0)

y(-t) = 3 (condizione iniziale)

Riduca l'equazione omogenea.

y'(t) + 2/_t y(t) = 0

A(t) = ∫ 2/_t dt = 2 log |t| + c

Sol y(t) = _c/^{e2 ln |t| + c}

Soluzione dell'eq. omogenea:

y'(t) + 2/_t y(t) = _{a(t) y(t)}

Metodo della variazione delle constant:

y(t) = c(t)/_t²

Voglio trovare c(t):

c'(t) = ∫ 1/_t²

c(t) = ∫ (1/_t²) e^{2 ln |t| + 1} dt = ¹/_t² t²

y(t) = c₁(t) = ^t/_t² + ¹/_t è una soluzione dell’eq. non omogenea

Sommiando i risultati trovati

y(t) = ¹/_t + ^c/_t² (∀ c)

Voglio che y(1) = 2¹/₁ + ^c/_1² = 2c = 2 -1 = 2c = 1Sce: y(t) = ¹/_t + ¹/_t²

Verifico sostituisco la soluzione trovata nell’equazione iniziale

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 2° ORDINE LINEARI

A(t) y′′(t) + B(t) y′(t) + C(t) y(t) = ρ(t)

Se a(t) ≠ 0 divido per a(t)

y′′(t) + ^b(t)/_a(t) y′(t) + ^c(t)/_a(t) y(t) = ^ρ(t)/_a(t)

Queste equazioni si possono risolvere se a(t), b(t), c(t) sono COSTANTI

A y′′(t) + B y′(t) + C y(t) = ρ(t) con a,b,c ∈ ℝ(Coefficienti costanti)

Equazione omogenea ρ(t) = 0

A y′′(t) + B y′(t) + C y(t) = 0

Si considera l’equazione di secondo grado associata

ax² + bx + c = 0 (x incognita)

^{1° caso: D > 0} (b² - 4ac > 0)due soluzioni reali distinte x₁, x₂x₁, x₂ = ^{-b ± √(b² - 4ac)}/_2a

In questo caso le soluzioni dell’eq. differenziale sono del tipo:

y(t) = a₁ e^x₁t + a₂ e^x₂t (∀ a₁, a₂ ∈ ℝ)

(Combinazione lineare delle funzioni e^x₁t e e^x₂t)

Idea alla base di questo risultato:

provo con una funzione del tipo y(t) = k e^λt

Sì, P.Q.

y(t) = k e^λt

y'(t) = λ k e^λt

y''(t) = λ² k e^λt

Sostituisco nell'equ. differenziale:

ak e^λt + bλ k e^λt + cλ² k e^λt = 0

k e^λt(aλ² + bλ + c) = 0

2^o caso: Δ < 0

(r₁,r₂ = -β ± i√(b²-4ac))

z₀ - i (numero immaginario)

Se r₁ e r₂ saranno numeri complessi del tipo α ± iβ

• e^αt
• e^iβt
• e^αt (cos(βt) + i sin(βt))

e^αt(cos(βt) + i sin(βt))

Le soluzioni sono del tipo:

y(t) = a₁ e^r₁t + a₂ e^r₂t (∀ a₁, a₂ ∈ ℝ)

3^o caso: Δ = 0

r₁ = r₂

Le soluzioni sono del tipo:

y(t) = a₁e^r₁t + ta₂e^r₂t (∀ a₁, a₂ ∈ ℝ)

e), risolvere il seguente problema:

y''(t) + 2y'(t) + 3y(t) = 0

y(0) = 1

y'(0) = 2

Soluzione: t² + 2t + x b ≤ 0

r₁, r₂ = -1 ± i√2t

r₁ = -1 + i √2

r₂ = -1 - i √2

e^t = e^{-1 + i√2t}

= e^-t (cos√(t) + i sin√(t))

= e^-t ((cos√(2t) + i sin√(2t)))

= e^-te^t (cos√(2t) - i sin√(2t))

La soluzione generale:

y(t) = a₁ e^-t + a₂ e^kt = a₁ e⁺(cos(√(2t)) + i sin(√(2t))) + a₂ e⁺(cos(√(2t)) + i sin(√(2t)))

Bisogna trovare A₁ e A₂ in modo da soddisfare le condizioni iniziali.

γ(t) = (A₁ + A₂) e^-t cos(√2 t) + i (A₁ - A₂) e^-t sin(√2 t)

γ(0) = 1

(A₁ + A₂) e⁰ cos(0) + i (A₁ - A₂) e⁰ sin(0) = 1

A₁ + A₂ = 1

γ'(0) = 2

γ'(t) = e^-t [(A₁ + A₂) cos(√2 t) + i (A₁ - A₂) sin(√2 t)]

- e^-t(cos(√2 t) + i sin(√2 t)) + e^-t [- sin(√2 t)] √2 + i (A₁ - A₂) cos(√2 t) √2]

= [-1 + i (A₁ - A₂)] - [0 + i (A₁ - A₂) √2]

= [-1 - i √2 (A₁ - A₂)] = 2

i (A₁ - A₂) √2 = 3

i (A₁ - A₂) = 3

A₁ - A₂ = -i √2

A₁ + A₂ = 1

2A₂ = 1 + 3i √2/2

A₂ = 1/2 + 3i √2/2

A₁ = 1 - 1/2 + 3i √2/2

Equazione non omogenea

A γ''(t) + b γ'(t) + c γ(t) = ρ(t)

Metodo della variazione della costanti:

Prendo le soluzioni dell'equazione differenziale omogenea:

γ₁(t) = a e^{λ₁ t} + A₂ e^{λ₂ t} (a_i ∈ ℝ)

Suppongo che A₁(t) e A₂(t) non sono costanti:

γ'(t) = A₁(t) γ₁(t) + A₂(t) e^{λ₂ t}

Calcolo γ'(t) e γ''(t) e sostituisco nell'equazione differenziale

Infine, devo trovare A₁(t) e A₂(t)

Metodo della somiglianza

Idea: è possibile che la soluzione "assomigli" alla funzione ρ(t)

Varie casistiche:

1) Se ρ(t) è un polinomio di grado n₁,

allora una soluzione dell'equazione differenziale è di questo tipo:

γ(t) = q(t)

q(t) polinomio di grado n₂

solo se c ≠ 0