Equazioni differenziali

DI

S y p(x y)

= ,

y(x) Yo

=

Ammette un'unica solutione f(x) intorno del punto

y en Xo

un

=

y' f(x)

FORMA

· = /f(x)(x

Integrale generale y

: =

EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI

· y h(y)

g(x)

= - /Ey)

1) (((x)dx

h(y) h(y)

* gx

0

+ g(x) =

.

= =

h(y)

Intuture

3) (integrale singolve)

un'ulteriore

O solutione

indurdua

se =

4) l'integrale

Scavere quelli

generale anche singoli

considerando .

EQUAZIONI LINEARI

· y' (x)

p(x) OMOLENEA

0

9

f(x)

y =

+ =

. completa/ Non

9(x) orogenea

+ 0

ERUAZIONI LINEARI OMOGENEE

- y' p(x) 0

y =

+ .

= p(x)ex k e

ke 1

y =

=

ERVAZIONI LINEARI OMOGENEE

NON

- y p(x) f(x)

y

+ =

.

-P e (P)+x4x

+ [/f(x) c

e

y +

= -

EQUAZIONI DEL SECONDO ORDINE

· GENERALI

NOTAZIONI E TEOREMA CAUCHY

DI

· y"

F(x y") p(x y)

y' 0 y

y = = ,

,

, , ,

FORMA" NORMALE

Integrale f(x

generale <2)

: c

, ,

Integrale particolare che della

el comportamento

due conditioniintrali

mondo

: asse esprimono

I

- · in

funzione P(punto

f

PROBLEMA CAUCHY

DI :

S

y" p(x y")

y

= , ,

y(x) Yo

=

y'(x) Y

= , y" f(x)

EQUAZIONI FORMA

DALLA

· =

y" f(x) doppia

Si integratione

esegue una

=

ERUAZIONI Coefficienti

Lineari COSTANTI

a

· y" py r(x)

py

+ + =

M(x) & oroGENEA

=

↓ omogenea/ Completa

(x) Non

0

OMOGENEA

y" py 0

gy =

+

+

TEREMA y Y

C CzYz

: +

= , ,

EQUAZIONE CARATTERISTICA :

, px *

0

g y e

+ =

+ = XX

I solutioni

le

fanno

X solutime

che che

valri prtectle

di sono

la una

y

si e

=

dell'equatime (3 lucammente)

caratteratica del

seconda

casi

e

. È

DISCRIMINANTE Distinte

REALI

I Sono

E

Caso positivo SOLUZIONI E

Le

:

X soluzioni caratteristica

X2 la dell'ep

due

, .

ex

↑, x

X -

y

y e

= = x2X

X Y

, Ge

c

INTEGRALE y e

GENERALE +

=

: ,

È

DISCRIMINANTE Coincidenti

Reali

Il NULLO Sono

E

Caso Soluzioni

Le

:

X Gratteristica

solutione ep

, .

X exx

X

,

y y

e =

= ** (c (2x)

INTEGRALE y

GENERALE e +

=

: ,

È COMPLESSE CONIUGATE

III SONO

DISCRIMINANTE E SOLUZIONI

Caso Negativo Le

:

X ipxz

2 ip

a

= =

+ -

, *

e senBx

y (3x y e

= = * *

e "cosBX (empx)

(c

INTEGRALE CENERALE <y

Ce sempx capx

e

Y C

: + = +

= ,

,

OMOGENEE

NON

y" py r(x)

fy

+ =

+

TEOREMA : integrale particolare

y dell'eg

y yo

Y

,

= + zon omogener

: .

dell'eg

integrale generale

Y amogenee-esociato

=

1

trovare

Per presentano 3

Yo casi

si :

e

caso polinomio

I mix) un grado

di

: m

- che ha

poliamo

è grado

yo :

7 0

9

M

· 1

n 0

+ =

· E e polinomio

Il funzione

CASO 1(x) grado

Tipo si

Del Con di

S(x)

una me

:

- d

. COSTANTE REALE

poliamo

t(x) S(x)

grald ex

Yot(x)

solutione associata

dell'ep caratteristica

è :

a

· son .

solutioni

soluzione assocerta le distinte

contentica

dell'ep

a è reali

Sono

· e :

e

.

↓ X

t(x)

Yo X e

= -

. solutioni Coincidenti

soluzione assoarta le

contentica

dell'ep

a è reali

sono

· e e :

.

↓ X

Xt(x)

Yo e

= - e (hempx

E

III FUNZIONE kcolBx)

TIPO

CASO DEL h k

M(x) Una B

2

:

- + , ,

,

COSTANTI

Caratteristica

dell'ep associato

è sol

2 ip

· non

+ . .

** b((x)

(

eseBx

yo e

= + Caratteristica Modata

so

è dell'ep

a

· ep

+ .

.

** b(d(x)

(2smpx

yo Xe +

= (SALVO)

NON OMOGENEE

y" f(x)

py fy =

+ +

1)

f(x) (x) * 2)e

3e(gx *

3)e

polmamale

funtare 2 0

=

x

- + -

e

2)p(x) * 1)e

(x

= +

. 3e2x

7

- 3) p(x) SenBx

2 &

to BX

(x) C

+ +

· .

↓ .

2 SenSx Termine fantasma

0Cs5x

+ <

Xce3x

3xSx S(sSx

+

h)p(x)e 2Y

" &(x)eseBx

(apX +

Es 2

gal

y" Palmanuale

2x2

3y1 2y 1

=

+

+ -

cy

= x questo

metolo

E può

questo si

y(x)

y(x) c cre

e usare

+ un

= +

, paché di

valori &

i l sono

-ex

y(x) bx -gend 2

c

+

= +

y(x) b

2nx

= +

y"(x) 2a ⑭

= 2x

Saimann 22x

3b 1

"2a Gax

y" bx 0x

2

y + +

+ =

+

r +

+ -

y

y'a

y Y (2a(x2 (2a

(6a 2)

2b) 2x

3b 0x 1

+ +

=

+

+

+ x

+ -

S S

2n 1

2 a =

=

Ge b 3

2b & =

=

+ -

3b 3

2c

2a C

1

=

+ =

+ -