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ANALISI I
INSIEMI NUMERICI
- N numeri naturali
- C interi
- Q razionali
- R reali
Assiomi:
- della somma
- del prodotto
- d'ordine (relazione d'ordine)
- di completezza o continuità
1.
Caratteristiche:
- commutativa
- elemento neutro: 0
∀a,b ∈ R
∃c t.c. a+b=0 → a+(-a)=0
-a = opposto di a
2.
Caratteristiche:
- commutativa
- elem. neutro: 1
∀a ∈ R a≠0 ∃!b ∈ R t.c. a·b=1
b= 1/a ; a-1 reciproco di a
4.
A, B ≠ ∅
A, B ⊂ R
∀a ∈ A ∀b ∈ B a≤b → se vale questo A e B sono separati
retta reale
ordinamento crescente
{1,2}{2,3}
separati con elemento in comune
Se A e B sono separati ∃ c (almeno 1) ∈ R t.c ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B a ≤ c ≤ b Non vale in ℤ
elemento separatore
INTERVALLI LIMITATI
se a < b [a,b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} —> chiuso
[a,b[ = {x ∈ R | a ≤ x < b}
]a,b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
]a,b[ = {x ∈ R | a < x < b} —> aperto
INTERVALLI ILLIMITATI
[a,+∞[ = {x ∈ R | a ≤ x}
]a,+∞[ = {x ∈ R | a < x}
]−∞,b] = {x ∈ R | x ≤ b}
]−∞,b[ = {x ∈ R | x < b}
ℝ = ]−∞,+∞[
DEFINIZIONI
D⊆ℝ è limitato
∃ a, b ∈ R t.c ∀ d ∈ D a ≤ d ≤ b ovvero D⊆[a,b]
Tesi
inf A = 0 - Max B ⟹ è vero
Dimostri
Supponiamo che la tesi sia falsa, cioè ā = inf A > 0
ā ≤ 1 ∀n ∈ ℕ ⇔ 1 < n ā ∀n ∈ ℕ
n < 0 → ℕ è limitato superiormente
ma ℕ è illimitato superiormente
A = {x ∈ ℝ| x² + 2x - 3 < 0} = ]-3, 1[
Funzioni
Tern: A, B insiemi ≠ Ø + una regola ∀a ∈ A ∃!b ∈ B
dominio
codominio
f, g, h, ...
f: A → B
a ↦ f(a) = b
Esempi
ℕ = A; B = ℕ ∀n ∈ A associo 2n ∈ B
f: ℕ → ℕ
n ↦ f(n) = 2n
ℝ = A B = ℝ
x ↦ x²
f: ℝ → ℝ
x ↦ f(x) = x²
Argomento
elemento del dominio
Immagine
f(a): b ∈ B b: immagine o valore (se insiemi numerici) di a
Immf = B
Funzioni biunivoche o invertibili
Se f: A → B è iniettiva e suriettiva si dice biunivoca
La funzione inversa
f-1: B → A
b → f-1(b) = a ⇔ f(a) = b
Esempio 1:
f: ℝ → ℝ
x → x - 2
- x1 ≠ x2 ⇒ x1 - 2 ≠ x2 - 2 iniettività
- y ∈ ℝ x → x + 2
- f(x) = f(y) ⇒ (y + 2) - 2 = y suriettività
f-1: ℝ → ℝ
f-1(y) = x ⇔ f(x) = y
x - 2 = y ⇔ x = y + 2
f-1(y) = y + 2
f: A → B
f-1: B → A
- a → f(a)
- f-1(f(a)) = a
- (f-1 o f) = identità di a
- (f o f-1) = identità di b
Esempio 2:
Funzione valore assoluto
f: ℝ → ℝ non è suriettiva
- se considero come codomino [0, +∞[ f: ℝ → [0, +∞[ è suriettiva
- se considero come dominio [0, +∞[ f[0, +∞[ → ℝ è iniettiva
Controimmagine di un insieme
f: A → B D ⊆ B
f-1(D) = {a ∈ A | f(a) ⊆ D}, può essere ∅
tra parentesi un insieme
D: [-1, 2]
f-1(D) = {x ∈ R | -1 ≤ |x| ≤ 2}
-2 ≤ x ≤ 2
D: [-2, -1]
f-1(D) = ∅
Risoluzione equazione
f(x) = c (fissato) → equazione c ∈ R
Trovare x t.c f(x) = c
Soluzioni sono f-1({c})
f(x) = x3 + x3 + 1 è biunivoca
f(x) = c ∈ R ha una sola soluzione (è strettam. crescente)
Estensione alle funzioni dei concetti degli insiemi
f: A ⊆ R → R
f(A) se f(A) limitata si dice che che f è limitata se
∃ c1, c2 t.c f(A) ⊆ [c1, c2]
∀ a ∈ A c1 ≤ f(a) ≤ c2
se f(A) è limitato superiormente si dice che f è
Funzione Potenza con Esponente Naturale
Fissato n ∈ ℕ, f(x) = xn
- n è dispari f(x) = xn
- f(x) è dispari
- è suriettiva su ℝ
- è strettamente crescente
Dimost ∀x, y f(x) < f(y)
- se 0 ≤ x < y => xn < yn => yn - xn > 0
Usando un prodotto notevole otteniamo:
(y-x)( yn-1 + xyn-2 + x2yn-3 + xn-1) > 0
V V V V
0 0 0 0
- se x < 0 < y => xn < 0 < yn;
- se x < y < 0 => 0 < -y < -x => (-y)n < (-x)n yn < xn.
Se n dispari f: ℝ ➝ ℝ x ➝ xn è biettiva:
La funzione inversa si chiama Radice n-esima
√n: ℝ ➝ ℝ
- è strett. crescente
- è dispari
Composizione
- √nxn = x
- (√nx)n = x
Es
b = √2
f(x) = x√2 si definisce f(0) = 0
b = 1 su 11
g(x) = x1/11
h(x) = x-√2 su x√2
dominio ]0,+∞[
Funzioni Esponenziali
∀x ∈ ℝ ∀y ∈ ℝ
➔ ax è definito per a > 0 fissato
Si può anche indicare con expa
- ax+y = ax ⋅ ay proprietà
- (ax)y = axy
Immagine che consideriamo codominio ℝ ➔ ℝ |(0,+∞[)
- se a ≠ 1, perchè a0 = 1
- se a = 1
Gruppo:
Insieme in cui l'operazione che è definita (in questo caso in ℝ la somma e in ℝ+ il prodotto) ha le rispettive proprietà fondamentali
ℝ ➔ ]0;+∞[
- f(x+y) = f(x) ⋅ f(y)
- f(0) = 1
- elemento neutro somma
- elemento neutro prodotto
omomorfismo di gruppi continuo tra gruppo additivo e moltiplicativo
a > 1 ➔ ax strettam. crescente
x ∈ [0, 2π]
cosx: decresce in [0, π] e cresce in [π, 2π]
cos(0) = 1
cos(π/2) = 0
cos(π) = -1
cos(3π/2) = 0
cos(2π) = 1
senx cresce in [0, π/2], decresce in [π/2, 3π/2] e cresce in [3π/2, 2π]
sen(0) = 0
sen(π/2) = 1
sen(π) = 0
sen(3π/2) = -1
sen(2π) = 0
1 è il massimo di seno e coseno
-1 è il minimo di seno e coseno
2kπ, k ∈ ℤ punti di massimo di cos (multipli pari di π)
π + 2kπ, k ∈ ℤ punti di minimo di cos (multipli dispari di π)
π/2 + 2kπ, k ∈ ℤ punti di massimo di sen
3π/2 + 2kπ, k ∈ ℤ punti di minimo di sen
Hanno i grafici uguali, traslati di π/2
Es senx > 1/3 arcsen 1/3 1 2kπ+2kπ+ π-arcsen 1/3⎤ ⎦
⎡ ⎣ senx= 1/3 x = arcsen 1/3 x = π-arcsen 1/3
sen (π-arcsen f) = sen (-arcsen f) = sen (arcsen f) =1/3
cos| [0,π]/[0,1] → [-1,1]
[0,π] → [-1,1]
∼strett. decr.
ARCOSENO
arcos: [-1,1] → [0,π]
cos a-b ↔ a-arccos b
aε[0,π], bε[-1,1]
arcos(cosa)=a aε[0,π]
cos(arccos b)= b bε [-1,1]
E5 cosx= -1/5
±arccos ( 1/5)+2kπ kεℤ
-arccos ( 1/5)+2kπ kεℤ
ANGOL NOT1
1/5
1. arccos 1=0
2. arccos(-1)=π
3. arccos 1/2
4. arccos (- 1/√2)= 3π/4
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