Appunti Analisi matematica 2 completi

-R

f aperto continue

TEO : exoem in

esistono

con sono

: e

,

e

f

allora continua

Xo ,

LIMITE

DEF CONTINUItà

Di

RTIRE

PER f 1 Irm

FUNZIONI

PER E

X-XO Def

Dare

CON

:

. .

*

f definita di LEIRm

Sia intorno

in XoEIR

un e (fi(x) -IRM

dice ma f(x)

11

lim limIf(x) *

fm(x))

5) + fi

che (x) 1 se : R i

0 con 1

.....

= per

= m

= - =

...

X X0

X0 X +

+ (limf(x)

(fe(x) fm x

quindi fm(x)) ....m

deve lim

essere =

...

X0

X + fi

funzione f R-1Ra continue

componenti

continua tutte

La è le sono

se

: SPAZIO

in

- diff (Xo f(x0)

xoEl equazione

ha

+(x0)) < Vf(xo)

TANGENTE Xo)

z

a X

+

= -

. , . ,

direzione

(xo) crescita massima dif

ortogonali

crescita

di lungo

(minima) nulla

o

- Af IR-IR

DIM :

. 11 f(xo)IIII VII COSO

f(x0)

<# Uc

↓ =

r ,

f(x)

=

v 0

· 0

= =

f(xd)

-

v 0

+

· π

=

= =

& VETTORIALi f

FUNZIONI VALORI I

I- continua

R +

aperto

A con e

: >

: -RN limtoth-f(tovettore e

DERIVABILE

+ in to di R

finito

I esiste

DEF se

. ↓

lim oth-fistol VETTORE

le

finite derivate

esistono

# fm(t)

in quanto f(t) (filt)

= .....

fi I-I

con :

TEO f

Siano 1EIR" IR"

IR gli)e

to e

quindi ben

IER

. [

1 aperto

aperto

con con

e g

: +

+ : ,

definita fog

h I-RR

:

= e f

to

definita supponendo

to in

ben diff

elen(t) sia sia der

in

se goel

che eg .

.

,

heder to

in allora

to in

.

, ,

(Vf(g(tol)

h'(t)

=> =

f "aperto

TEO +R

/ definita

121 allora n ben

gof

[eIR f(1)-I

con / aperto

I

eg =

: con =

e

: ,

. in fixo)

der. diff

allora

diff in h

Set in

to eg No

.

. ,

g'(f(xd)[f(x0)

Uh(x0)

=> = se

DIFFERENZIABILE

IRM e

f IR" diff

DEF in Vi

No

-

: .

↓

componente dif

i-esima fi IR

1

: +

JACOBIANA Txolf) matrice na

che righe (xo)

Vfi

per

: se

/m e

Me è continua

aperto

M

f diff in in Vi

TEO e

con

: > IR" IR" R"

Siano 1 /R

+ 1.

aperto Se

1 f(11)

aperto

con 12

con

- =

e g

+

: e

+

:

.

IR" definita

è

got ben

11 .

-

: Tx0

Texo (f)

(9)

(gof)

Txo

e

ge got

diff diff

in diff

f(xo) allora in

sete in xo e

do e = ·

.

.

. ,

m

f

Se I- flIl

to

et diff

I aperto IR

1 aperto

con 1

=

g

: +

:

.

n(t) g(f(t))

(t)

gof P

= = =

considero

ph) , )

[g)f(t)

ma n'(t) <

hilt) 0 0

=

=

=

DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE =

Melan

fils/Rh esiste

supponiamo Gif

aperto che su

Vi

con , 1 n

= ..... pone(pxi

[1 n)

fissato in

derivate

ammette

dif rispetto

se si

punto

je per

un

x

a i

...., , [fec"(1 IR")]

Classe è

fé di Gif continua

esiste i

DEF per

ed

se

. ,

esiste

tec continue

fij

se sono

e risultato sia

stesso

devivo prima

che per

↑

TEO SCHWARZ sia y

per

X

. itj (p) =

la differenziabili in

> xi(P)

fe(l prime

derivate

IR)

aperto Per

1 - r 1.

, con

con

- .

.

& funzioni vettoriali

vale valori

anche per a IR"

DIFFERENZIALE -IR

df(x0)

SECONDO :

= [5

hr forma quadratica

(thin; - e

(t(xd)

MESSIANA-matrice 1)

dif(x) M(n

Hf(x) i

associata matrice simmetrica

a -

: per

= , il Schwarz

di

teo

ver" d'f(x0)(w) (v Hf(x0x) .

· >

- = ,

* 1)

f-("(1 IR")

#fe('(1 3xo (Vf)

allora Vale Hf(xo)

che =

, ·

,

,

DIM ↳

. ...

:

&f

Hf(X0) =

DI fec"(1) [xo

helRn

FORMULA REIR"

TAYLOR Xoth]ER

Sia Siano +

aperto .

Xo

e c

: ,

,

,

f(xo f(x0)

78eJ0 h) [f(x0) <Hf(xo

Allora <

1[tc Sh)(h)

h) h) (h)

+ 0

+

+

+ = + .

,

,

.

ESTREMANTI min

maxe

=

Sia 1EIR"

f aperto

DEF er

:1 .

con XoE1

e

. XxeR1Bz(xo) è relativo

f(xd

f(x)

7230+c

se Xo

· = max

e

VXE assoluto

- to

=> max

f(x) + è

(X0) forte

=>

< xo max

+ f(x) relativo

720 Fxel1Bs(Xo) è

f(x) min

se c >

· xo

= è

l

Vx assoluto

min

=>

= xo è forte

f(x)) min

f(x) => xo

1ER" aperto

TEO .

f

FERMAT Sia estremante

+IR relativo

xoel

con e per f

: :

. direzione

auf

la

esiste lungo

derivata la ueIR"

se Guf(x0)

deve che

valere 0

=

f VuER"

Guf(xo)

in

è allora

diff

se 0

xo =

. ,

Dim Suppongo f

relativo

massimo

. Xo per f(x)

Bg(xo)ER f(x)

tc ExeBs(Xo)

780

1 aperto vale

che

Dato e <

buf

FuEtc duf

mostriamo

Suppongo esista che

che e o

=

t8 E

Iltullc8

Se allora Bs(Xo)

Xo + f(xo)]

[F(0)

tu)

f(xo

F(t)

Definiamo + =

= F(t)-F(0) otu-fiud

-lim Luf esiste

Cuf

lim

t

Fder in ipotes

=> i

o e per

= =

. t

t + 0

tu) f(x)

f(xo Dom(F)

F(0) VtE

(t) -)

F =

= -

& F(0)

Dom(F) è

quindi vel F

0 0

e o per

max - =

.

F'(0)

Guf

=> 0

= =

è Vf(xo)

CriTico

DEF Xo PUNTO O

Se =

. fe("(1 1R) 1 R"

TE aperto

con Xotl

e

. , Hf(xo)

MiN vale Ff(x)

RELATIVO che O

Xo

· >

e

0

: =

. Hf(x0)

vale Of(x)

che

RELATIVO

· MAX e

Xo 0 -0

: =

. FORTE"]

[se dice

/ "

si

DiM f(x) (Hf(x0)h

f(xo h)

h)

+ =

-

. , f(xd)

f(xoth) massimo

SeHf(x) Hf(x)n

< h) <

=

do

do =>

= Xo

,

Di Vf(x)

PUNTO

XO definito

SELLA

DEF Hf(xo)

Se 0 e non

=

. 13]

Gtx -t(y(t

&IVé [0

(1

INSIEME

DEF [x y)

che

1 Ex yel

CONVESSO vale -> 1

se = +

. , .

f(tx tf(x)

f (1-t)

(1-t(y) Vte[0

f(y)

< 1] exyER

1 eR CONVESSA se

DEF +

+

:

. ,

- e e

-f

concava convessa

Se

MEIR" Hf(x0)

efec'(l IR) + Exe

TEO allora &

convessa se

convesso 0

. ,

Se fe f(x) f(x0)

allora VX

<Vf(x) X-X0)

convessa yel

+ .

,

f(x0)

formula (Vf(xd)

f(x)

Taylor +(x0)

di

Dim <Hf(xo h)

Sh)h

xo) <[f(x0)

+ x0

=

: x + X

+ +

- -

. , ,

, 7 0

,

- Hf(x) Exel

concava =

se 0 f

1 ["aperto punto critico

PROP f.

diff

. . l e

1-1R sia

el

Su

convesso

e xo per

:

f in min globale

1 xo

convessa

· +

in

- globale

1 xo

concava

· max

-

DiM min

No

.

mu minimo

+(x0)

f(x) !

maVf(x) f(x)

(Vf(x0) f(x0)

x0) =

0 >

x

+ =

-

,

INVERTIBILITA' LOCALE IR"

IR"

In IR" fec"(e)

aperto

f 1

l

Sia

con con

2

> = e

+

:

,

yelR" ?

-IR" f(x)

(x xn)

Dato +c

esiste X y

= =

... (f1(X è

H fn) quindi ?

f xn)

fi (ye soddisfatto

yn)

-R

con e y

y ... = +

e : =

... ...

= In xn)

(x1 yn

=

...

poniamo 1-1Rm

f

tipo

Ci funzioni

il nem

problema del con

per : xn)

IR" (ain

IR lineare

f EIR" fi(x

to

ain) <(ain ain) Xnk

quindi (x1

vettore

Vi esiste

e 1 un

- n = ,

= ,

: , ... ...,

...., ..., ....

[ in incognite

lineare di

quindi sistema

Y1

dinXn

anX1 +... n

+ n eg

-

= .

-- -

Catan

A matrice sistema

al

associata

= J(f)

lineare

Se A

=

, ammette

Il sistema soluzione det(a)

Ax=y una

una 0

sse

sola

e

Ay

è invertibile

A

Qui ex = IR"

Se f: re

quindi

fosse inv in man

A generale con

non ., EIRM

Samix1

anx1 annXn y

+

+... =

amnxn ym

+

+... = =(

ExerAxey]

Se Ax soluzioni

ha Scrivo

y e w

= =

Se ci indipendenti

a ha colonne

In

vango sono m

x() x) y = xyve

+ =

+ xnvn y

+

+... = y-bivi

Fisso we fissato

bi bam valori

X1 reali Un-mat Un

Xn-m +X

Xn-ma1 =

:

= = ... =

...,

, Cn)EIR" -m)

W (b

tC

Li ICG

quindi bn

Un-m GUn-man

Un CnUn

Sono +

+... =

1 ...,

...

+ ... , ver

/Ram-IR" brum) (n)

re(G sistema

del

to (b1 sol

é

te

costruito

Abbiamo (8 g())

e con

g : , ..., ...., ,

IMPLICITAMENTE

è Definita

FUNZIONE

DEF Soddisfano

la individua del

punti grafico equazione

g che 4)

F (x

- 0

=

. ,

I zeri

di

luogo

come yEIRm

Per Ax

determiniamo Xn)

fissati allora

(x

to

Xn-m Xn

X1 Sex

Xn-m 1 =

= 1,

... + ..., ...,

, ()

(In-mo) allora

-MXIRm

EIR" e i -

ym) matrice

è

(x1

i associata

=R

Pongo y1 =

Xn-m =

= , ....

: , dell'