Esercizi svolti di Termodinamica

DATI:

T = 25°C =298.15K

int

T =35°C=308K

ext →

Q = 100 W/pers Q =500W

persona p

2

Q =50 W/m

in Q̇

Applico il 1 principio della termodinamica per un sistema chiuso: - Ẇ=ΔU=0

Q̇ = Q + Q = 500+ Q (2·(L·H)+2·(H·W)+2·(L·W))=10000W=10kW

frigo p in tot in ̇

Calcolo η = COP = =3.33

II ̇ ̇

298.5

= =

COP = 29.85

max − 35−25

η = 0.11 =11%

per cui II 10·3·5

V̇= 3

In 3h =10800s il volume dell’aria viene completamente sostituito per cui =0.013 m /s

=

10800

̇

V

3

→ →

In kg/s→ eq.gas perfetti: Pv=RT con P=100kPa v=0.85 m /kg ṁ = =0.015 kg/s

v

Q = Q + Q = 10kW + ṁ(h – h )=10kW + ṁc (T – T )=10.15kW

frigo2 frigo aria out in p out in

Es.5

Un cilindro metallico a pareti sottili ha un diametro di 10 cm e contiene 1 litro d’acqua. Nel cilindro

scorre, senza attrito e a perfetta tenuta, un pistone di massa trascurabile. Sulla faccia superiore del

pistone agisce la pressione atmosferica. Inizialmente il pistone è a contatto con l’acqua liquida, che

si trova in equilibrio termico con l’ambiente esterno. L’ambiente esterno è a 1 bar e 30°C.

Il pistone viene lentamente sollevato di 10 centimetri. Calcolare il lavoro e il calore scambiati e lo

stato finale del sistema.

SOLUZIONE

PUNTO 1 PUNTO 2

Situazione iniziale:

L’intero volume è occupato da 1l acqua per cui la massa m=1kg.

3 3

→

L’acqua è incomprimibile per cui V = 0.001 m volume specifico v =0.001 m /kg

1 1

PUNTO 1:

Condizioni da tabella a T =30°C

1

u =125.73 kJ/kg

1

s =0.437 kJ/kgK

1

P = P =1 bar

1 atm

PUNTO 2: 2 -3 3

V =V + π r h = 1.78 10 m

2 1 -3 3

La massa di acqua è sempre la stessa ma cambia il volume specifico v = V /m= 1.78 10 m

2 2

Essendo v < v < v siamo in condizioni di saturazione per cui P =P =0.0425 bar.

vapore 2 liquido 2 sat

− -5

2

Calcolo il titolo x = = 2.3 10

2

s = s + x (s – s ) = 0.437 kJ/kg

2 L 2 g L

u = u + x (u – u ) = 125.78 kJ/kg

2 L 2 g L

ΔU = m(u – u ) = 54.3 J

2 1

Dato che P <<P il pistone non può muoversi da solo, perché la pressione interna non è sufficiente

2 atm

a vincere la pressione atmosferica agente sul pistone.

È quindi necessaria una P che agisca sul sistema in modo tale da vincere la differenza di pressione:

P = P - P

vap atm Patm

P

2

L= = P(V – V ) = -74.68 J

∫ 2 1 Pvap

1

Lavoro negativo poiché fatto SUL sistema.

Nel bilancio del primo principio per sistemi chiusi abbiamo Q-L=ΔU

2

Dove L= lavoro che il sistema fa sull’ambiente ovvero L = = P (V – V ) = 3.3 J

∫

vap v 2 1

1

Per cui il calore scambiato Q= ΔU +L =56.6 J

Es. 6

Il dispositivo descritto in figura, costituito da compressore,

scambiatore di calore, motore elettrico e turbina, provvede

al ricambio dell’aria e al riscaldamento di un ambiente.

Si tratti l’aria come gas perfetto a proprietà costanti.

Si trascurino gli effetti dell’umidità nonché le perdite di

carico e gli scambi termici nelle tubazioni. Si trascurino

anche le perdite di carico nello scambiatore di calore.

Compressore e turbina sono macchine adiabatiche e

prive di irreversibilità.

DATI:

Temperatura ambiente esterno T 0°C

0

Temperatura ambiente interno T 20°C

1

Pressione ambiente P =P 1 bar

0 1 3

Portata entrante in 0 V 150 m /h

Potenza termica da fornire Q 1 kW

Efficienza di Keys ε 0.8

Costante per l’aria R 0.287 kJ/(kgK)

Rapporto calori specifici k 1.4

Calcolare:

- Temperature incognite in tutti i punti del sistema

- Pressione nei punti 2 e 3

- COP

- Exergia distrutta nello scambiatore

SOLUZIONE:

punto 0 1 2 3 4 5

T (K) 273.15 293.15 324.07 283.33 256.32 313.89

P(kPa) 100 100 142 142 100 100

Appluco il bilancio energetico alla stanza:

Q = h – h = ṁ c (T – T ) = 1 kW

5 1 p 5 1

Considerando l’aria un gas ideale:

Da equazione di Mayer: c = 1.0045 kJ/kgK e c = 0.717 kJ/kgK

p v

PV̇ V̇=0.041 3

→ →

PV=mRT = ṁRT con m /s ṁ = 0.048 kg/s

da cui T = 40°C = 313.89 K

5 ( − ) −

5 0

=

L’efficienza lato freddo è: ε = = 0.8

( ) ( − ) −

2 0

→

Da cui T = T + (T – T )/ε T = 324.07 K =50°C

2 0 5 0 2

Il compressore è isoentropico e l’aria è un gas perfetto, per cui:

−1

−1

2 2 2

=( ) ( )

→ P =P P =142 kPa

→

2 1 2

1 1 1

Usiamo l’efficienza per il lato caldo:

( − ) −

2 3 →

= →

ε = T = T - ε (T – T ) T = 283.33 K

3 2 2 0 3

( ) ( − ) −

2 0

mentre la pressione resta costante: P =142 kPa

3

La turbina è isentropica per cui:

−1 −1

4 4 4

=( ) ( )

T = T T = 256.32 K

→ →

4 3 4

3 3 3

La turbina ha il compito di espandere il fluido in modo tale da riportarlo in ambiente alla P=P 0

̇ ̇

→

=

COP = COP=5.30

=

̇

̇ ||−||

[( − )− − )]

2 1 3 4

Exergia distrutta: ΔE = Δe – Δe

d in out → →

e=h – T s con punto di rif= punto triplo h = 0 kJ/kg e T = 273.15 K Δe =T Δs

0 0 0 0 0

s-s + c ln (T/T )

ricordando che l’aria è considerata gas perfetto: 0= p 0

Δe = T (s – s ) =T c ln (T /T )=38.14 kJ/kg

in 0 5 0 0 p 5 0

Δe = T (s – s ) =T c ln (T /T )= 36.86 kJ/kg

out 0 2 3 0 p 2 3

Δe = Δe Δe = 1.28 kJ/kg

distrutta out - out

Es.7

Un cilindro è chiuso superiormente da un pistone scorrevole senza attrito e a perfetta tenuta.

Sopra il pistone vige la pressione atmosferica.

All’interno del cilindro è presente acqua in condizioni di saturazione.

Un’elica azionata da un albero rotante trasferisce lavoro al fluido.

Il sistema è sostanzialmente adiabatico.

In una prima fase il pistone è libero di muoversi.

Nella seconda fase invece è bloccato.

DATI:

P 101 kPa

atm

m 5kg

pistone

D 0.1m Calcolare:

pistone

H pistone 0.1m - H pistone nella prima fase

0 2

M 0.2 kg - T raggiunta nella seconda fase

acqua

L fase 1 5 kJ

elica

L fase2 20 kJ

elica

Usare la seguente tabella:

SOLUZIONE:

Fase 1: il pistone si muove da condizione 0 a condizione 1 2 2

Sul sistema agiscono una P e una P = (m ·g)/A = 6.288 kPa dove A = π(d/2) =0.0078 m

atm pistone p p p

Allora la pressione iniziale del sistema è P =P + P = 107.28 kPa

0 atm p

L’acqua è in condizioni di saturazione per cui da tabella a P trovo la T interpolando:

0 0

T = 374.55 K = 101.4°C

0 -4 3 3

→

V = A ·H = 7.8·10 m v = V /m = 0.0039 m /kg

0 p 0 0 0 acqua Liquido vapore

-3 3 3

→

v = v + x ·v x = 1.7 10 con 0.001044 m /kg 1.607 m /kg

0 L 0 Lg 0

→

h = h + x ·h h = 428.91 kJ/kg 425.09 kJ/kg 2677.7 kJ/kg

0 L 0 Lg 0

→

u = u + x ·u u = 428.52 kJ/kg 424.99 kJ/kg 2507.03 kJ/kg

0 L 0 Lg 0

→

s = s + x ·s s = 1.3328 kJ/kgK 1.3226 kJ/kgK 7.337 kJ/kgK

0 L 0 Lg 0

I principio della termodinamica per sistemi aperti (con ΔE =ΔE = Q= 0):

cinetica pot

L=Δh = h – h

1 0

Da cui ricavo h = h + L/m = 453.9 kJ/kg

1 0

Ricavo il titolo x (siamo sempre alla P ):

1 0

→

h = h + x ·h x =0.0127

1 L 1 Lg 1 3

Ricavo v = v + x ·v =0.02158 m /kg

1 L 1 Lg

Quindi l’altezza raggiunta nella fase finale è data da:

-3 3 →

V = v ·m = 4.3 10 m H =V /A = 0.55 m

1 1 acqua 1 1 p

→

Fase 2: il pistone si blocca sistema chiuso con V = V

1 2

→

I principio per sistemi chiusi: Q-L=ΔU L=u -u

2 1

u = u + x ·u = 451.43 kJ/kg

1 L 1 Lg

u = u – L = 551.43 kJ/kg

2 1

Dato che siamo in una miscela bifase, la temperatura dipende dalla pressione di saturazione, che a

sua volta è funzione della temperatura.

Per determinare la temperatura serve quindi conoscere la pressione di saturazione e il titolo x .

2

Non essendo noti né il titolo x né la P dobbiamo iterare valori di x che soddisfino le condizioni

2 sat2 2

3

note di u =551.43 kJ/kg e v =0.02158 m /kg.

2 2

Per cui iteriamo fino a convergenza:

1- ipotizzo una T’ calcolo x nota u = u + x ·u calcolo x ’ con v = v + x ·v

→ →

2 2 L 2 Lg 2 2 L 2 Lg

2- se x = x ’ allora T =T’

2 2 2

3- altrimenti ipotizzo una T’’ e ripeto il passaggio 1 fino a convergenza di x

Es. 8

Un impianto frigorifero opera con ammoniaca fredda e una portata d’aria. Sono dati:

Temperatura di evaporazione T -10 °C

eva

Surriscaldamento uscita evaporatore ΔT 5°C

Temperatura di condensazione T 35 °C

cond

Portata di ammoniaca ṁ 36.5 kg/h

amm

Calore specifico aria c 1 kJ/kgK

p aria

Temperatura ingresso dell’aria all’eva T 0°C

5

Efficienza di Keys dell’evaporatore ε 0.8

Il fluido esce in condizioni di liquido saturo dal condensatore. La valvola di laminazione è

rappresentabile come una trasformazione isoentalpica. Si trascurino le perdite di carico negli

scambiatori di calore. L’evaporatore opera in controcorrente.

Calcolare:

4- La potenza termica che l’ammoniaca può sottrarre all’aria

5- Il COP