Termodinamica - esercizi

B

t = 10 ° C  T = 283,15 K

A A

t = 37 ° C  T = 310,15 K

B B

T = (m *T + m *T ) / (m + m )

A A B B A B

Questa formula vale anche se lasciamo la temperatura in Celsius

T = (1*10 + 5*37) / (1 + 5) = 32,5 °C = 305,65 K

(S -S ) = c *[ m * ln (T / T ) + m * ln (T / T )]

2 1 AB p A A B B

In questa bisogna usare per forza le temperature in kelvin, perché i rapporti tra le due

temperature non sono gli stessi nelle due scale

(S -S ) = 4180 * (1 *ln (305,65/283,15) + 5*ln (305,65/310,15) = 14,2 J/K

2 1 AB

T / T è il termine positivo

A

T / T è il termine negativo

B

Il risultato è strettamente positivo perché il processo è adiabatico irreversibile

(c’è un trasferimento di calore/energia  il processo è irreversibile)

Variazione di entalpia in un processo quasi-statico isobaro (a pressione costante)

Sia A A un processo quasi-statico di un sistema chiuso A, in cui la pressione p

3) 1 2

di A resta costante e il sistema A riceve la quantità di calore Q. Si dimostri che il

risultato è H -H = Q

2 1

Quasi-statico  p costante

Non importa su cosa è fatto il lavoro, basta sapere che è W

U -U = Q – W

2 1

12

W= ∫ pdv = p*(V -V )

2 1

p è costante

Q = U -U + W = U -U + p* (V -V ) = H -H CVD

2 1 2 1 2 1 2 1

La relazione vale anche se il processo di A non è quasi-statico, purché risulti :

W= p* (V -V )

2 1

Commento:

W è il lavoro ricevuto dal dissipatore

ric,d

Se frulliamo, la precisione non c’è più

Spegnendo il frullatore, ritorna come prima

Il sistema A, con p =p =p riceve un W mediante un agitatore e compie lavoro di

2 1 ric

espansione contro l’atmosfera, a pressione p

W è il lavoro di espansione

esp

∫ W = p*s dx = p dV

esp

p*s è la forza per lo spostamento

p è la pressione esterna, che coincide con la pressione iniziale e quella finale di A

W = p*( V -V )

esp 2 1

U -U = W - W = W - p*( V -V )

2 1 ric,d esp ric,d 2 1

W = U -U + p*( V -V ) = H -H

ric,d 2 1 2 1 2 1

Un sistema chiuso monofasico A con massa M si trova inizialmente alla

4) temperatura T e viene mantenuto a volume costante V. Trovare il lavoro

1

massimo che può essere compiuto da un apparato ciclico X operando tra A e un

serbatoio R a temperatura T . È assegnata la capacità termica specifica a

0

volume costante c (che si può considerare costante). Eseguire il calcolo con:

v

M=100kg

T = 363 K ( circa 90°C)

1

T = 300 K ( circa 27°C)

o

c = 3,984 kJ / (kg*K)

v

acqua liquida a p = 1,013 bar e t= 58,5 °C

bisogna trovare il massimo possibile in determinate condizioni

il sistema ARX compie un processo adiabatico (è implicito dal testo).

Non ci sono altri serbatori

Figura:

Qual è il massimo che posso ottenere sottraendo dell’acqua calda ?

Quello rinchiuso è un processo adiabatico ARX

AR è un weight process

A quale stato devo portarlo per avere W massimo?

A 0 K è in stato di minima energia

Lo devo portare in uno stato in cui non è più possibile estrarre lavoro

Nello stato di equilibrio mutuamente stabile con R



Lo stato A di A da considerare è quello di equilibrio mutuamente stabile con R, cioè

2

T = T

2 o

Si fanno sempre con la stessa impostazione:

in questo caso, sul sistema ARX che compie un processo adiabatico

Si esegue un bilancio di energia

- Si esegue un bilancio di entropia (principio di non diminuzione dell’entropia)

- Bilancio di energia



W= (U -U ) + (U -U )

1 2 A 1 2 R

Bilancio di entropia



(S -S ) + (S -S ) ≥ 0 (basta per riscaldare il sistema)

2 1 A 2 1 R

È uguale a zero solo nei processi reversibili

Ma aggiungiamo

(S -S ) + (S -S ) = S

2 1 A 2 1 R irr

S è la produzione di entropia per irreversibilità

irr

Moltiplichiamo l’equazione per T 0

T *(S -S ) + T * (S -S ) = T * S

0 2 1 A 0 2 1 R 0 irr

Sommiamo membro a membro con l’equazione di bilancio di energia

(U -U ) + (U -U ) + T *(S -S ) + T * (S -S ) = T * S + W

1 2 A 1 2 R 0 2 1 A 0 2 1 R 0 irr

Non conosco i dati iniziali e finali di R (conosco solo quelli di A)

Uso l’equazione di Gibbs per il serbatoio R

dU = T ds

0

la temperatura non può cambiare

(U -U ) = T * (S -S )

2 1 R 0 1 2 R

Quindi il primo termine è l’opposto del primo, quindi si eliminano

W = (U -U ) + T *(S -S ) - T * S

1 2 A 0 2 1 A 0 irr

W = (U -U ) - T *(S -S ) - T * S

1 2 A 0 1 2 A 0 irr

In tutti e solo i processi reversibili  W = (U -U ) - T *(S -S )

1 2 A 0 1 2 A

La funzione U - T S è detta energia disponibile, ed è indicata con Ω

0

Quindi W = Ω - Ω

max 1 2

In generale, il lavoro che io perdo è T * S (e non è più recuperabile)

0 irr

L’equazione di Gibbs serve per legare l’energia interna con l’entropia

A non ha una temperatura fissata quindi

(U -U ) ≠ T *(S -S )

1 2 A 0 1 2 A

W = (U -U ) - T *(S -S )

max 1 2 A 0 1 2 A

du = c dt

v

u -u = c (T -T )

2 1 v 2 1

cambiamo segno

u -u = c (T -T )

1 2 v 1 2

moltiplichiamo per la massa del sistema

(U -U )= m* c (T -T )

1 2 v 1 0

Adesso calcoliamo la diminuzione di entropia

du = T ds – p dv

lo applico al sistema A

il volume è fissato  du = T ds

usiamo l’equazione di Gibbs

ds = du / T = c dt/T

v

s -s = c ln (T /T )

1 2 v 1 2

lo vado applicare al sistema A

(S -S ) = m* c ln (T /T )

1 2 A v 1 0

T è la temperatura finale

0

W = m* c [T - T - T *ln (T /T )]

max v 1 0 0 1 0

Non ci resta che inserire i numeri

m* c =100* 3,984= 398,4 kJ/K

v

T - T = 363 – 300 = 63 K

1 0

T - T - T *ln (T /T ) = 63 – 57,2 = 5,8 K

1 0 0 1 0

W =398,4 * 5,8 = 2311 kJ

max

Osservazione

Quanta parte sottratta ad A si trasforma in lavoro?

Lavoro massimo / diminuzione di energia di A

Verrà meno del 50%

W /(U -U ) = [T - T - T *ln (T /T )] / (T - T ) = 5,8/63 = 0,092

max 1 2 A 1 0 0 1 0 1 0

9,2 %



solo una piccolissima parte può essere trasformata in lavoro, perché la temperatura di

A è molto vicina alla temperatura del serbatoio

la rimanente energia viene buttata nel serbatoio

Due sistemi semplici chiusi monocomponenti monofasici identici A e B, di

5) massa m, sono mantenuti a volume costante V e sono inizialmente nello stesso

stato di equilibrio con T=T . Calcolare il lavoro minimo che è necessario fornire

1

a una macchina frigorifera ciclica X che faccia scendere la temperatura di uno

dei due sistemi al valore prefissato T <T cedendo energia (calore) al secondo,

2 1

se gli stati finali di A e di B sono stati di equilibrio stabile e il processo di ABX

è adiabatico. È assegnata c costante nel processo.

v

Figura:

W = - W

ric fornito

A questo punto calcoliamo direttamente W ric

Cerchiamo il W minimo (trovare il lavoro massimo dell’opposto è lo stesso

max

problema)

È un problema di W (quello per cui l’opposto è il minimo)

max

Facciamo il bilancio di energia e di entropia sul sistema ABX (processo adiabatico)

Il lavoro ricevuto sarà la somma delle due variazioni interne

W = (U -U ) + (U -U )

ric 2 1 A 2 1 B

Adesso la rielaboro per far apparire la differenza di temperatura

A e B sono mantenute a volume costante

du = c dT

v

u -u = c (T -T )

2 1 v 2 1

dobbiamo applicarlo sia al sistema A sia al sistema B

W = m*c (T -T ) + m*c (T -T ) = m*c (T -2*T + T )

ric v 3 1 v 2 1 v 3 1 2

W è minimo quando T è minimo

ric 3

Meno energia butto dentro, meno si scalda

Faccio il bilancio di entropia

(S -S ) + (S -S ) ≥ 0

2 1 A 2 1 B

du = T ds – pdv

volume costante  du = T ds

ds = du/T = c dT/T

v

scegliamo un’ideale linea quasi-statica sia per A sia per B

s -s = c * ln (T /T )

2 1 v 2 1

m* c * ln (T /T ) + m* c * ln (T /T ) ≥ 0

v 3 1 v 2 1

sono positivi e quindi si può eliminare m* c v

ln (T /T ) + ln (T /T ) ≥ 0

3 1 2 1

12

ln [(T *T ) / (T )] ≥ 0

3 2 12

(T *T ) / (T ) ≥ 1

3 2 12

T ≥ (T ) / T

3 2

Quindi, il lavoro minimo con T minimo è:

3

12

W = m*c *[(T ) / T -2*T + T ]

ric, min v 2 1 2

In un fiume è presente una cascata in cui l’acqua ha una diminuzione di quota

6) di 200 metri. Si calcoli l’aumento di temperatura dell’acqua supponendo che

siano trascurabili: gli effetti dell’evaporazione, il calore scambiato con l’esterno

e la variazione di energia cinetica per unità di massa. Si assuma: c =4,18 kJ/

v

(kg*K) = 4180 J/ (kg*K)

Figura:

z - z = 200 m

2 1

non c’è shaft work

applichiamo l’equazione di bilancio di energia per un volume di controllo

22 12

(W - W ) /2 + g* (z - z ) + h - h = q – w

2 1 2 1 u

g* (z - z ) + h - h = 0

2 1 2 1

h - h = g* (z - z ) = g* h

 2 1 1 2

p = p  dh = c dT  h - h = c * (T - T )

1 2 p 2 1 p 2 1

c * (T - T ) = g*h

p 2 1

T - T = g*h / c = 9,81 * 200 / 4180 = 0,47 K

2 1 p

Un riscaldatore elettrico riscalda un flusso d’acqua a pressione costante, in

7) regime stazionario (il volume di controllo è in uno stato di controllo) da T =

1

288 K (circa 15°C) a T = 318 K (circa 45°C) senza dispersioni termiche (è

2

completamente isolato). Calcolare il rapporto tra il lavoro utile minimo che

sarebbe necessario impiegare per riscaldare ciascun kg di acqua in un processo

in cui il riscaldatore può scambiare calore con un serbatoio termico a

temperatura T = T , e il lavoro utile fornito alla resistenza elettrica. Tale

0 1

rapporto è detto rendimento termodinamico del riscaldatore.

Figura:

Non ci sono dispersioni termiche, quindi il rendimento è del 100%

22 12

(W - W ) /2 + g* (z - z ) + h - h = q – w

2 1 2 1 u

h - h = – w

2 1 u

a noi interessa il lavoro ricevuto, quindi cambiamo segno e ci ritroviamo un + w ric

invece di un - w u

w = h - h = c *(T - T )

2 2 1 p 2 1

w = X - X = h - h – T * (S - S )

u min 2 1 2 1 0 2 1

ῃ = [h - h – T * (S - S )] / (h - h ) = 1 – [T * (S - S )] / (h - h )

T 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1

dh = T ds + v dp

gli stati hanno la stessa pressione  dh = T ds

ds = dh / T = c dT / T

p

(S - S ) = c *ln (T /T ) T