Esami ed esercitazioni svolte di Sistemi di controllo

Calcolare l'insieme dei Controllori Stabilizzanti:

_(CPI):

• Fattorizzo P(s):

_{(parte restante num. e den.)}

B_+EA_- → zeri/poli a P.Reale < 0

B₊A₊ → zeri/poli a P.Reale > 0

⇒ B_+(s) = B_+1(s) = 1

A_-(s) = s² + 5 + 1

A_+(s) = 5

N^-E = 0 ← zeri...

E = 3 ← eccesso poli/zeri

Calcolo F_s(s) di grado N^F - 1:

N^F - 1 = 1 - 1 = 0 ⇒ F_s(s) = k₀ + k_ns + k_ns² + ...

N_u = N^P + N² + E - 1 = 1 + 0 + 3 - 1 = 3

⇒ W_u(s) = \(\frac{B_{+}(s) \cdot F_{s}(s)}{(s+1)^{N}}\) = \(\frac{k_{0}}{(s+1)^{3}}\)

k₀ t.c. rispetti le condizioni di intersezione:

W_i(0) = 1

polo con P.Reale > 0

W_P(P=0) = 1

W_P(P=1) = 0

⇓

D_W(P=0) = 0

D^n-1W_P(P=1) = 0

W(0) = 1   ⇒   W(s) = _₀/₁ = 1   ⇒   ₀ = 1

H(s):   E-ᵢ GRADO   N⁺ᴱ⁻¹ = 0+3-1 = 2

H(s) = ^{(5+1)³ - F(s)}/_A₁(s) = ^{(5+1)³ - 1}/s =

=^{³ + 3² + 3 + 1}/₅   = ² + 3 + 3

X(s) Y(s) N(s) M(s) :

X(s) = ^{A₁(s) F₁(s)}/_{B₁(s) (5+1)ᴺ⁺ⁱ⁻¹} = ^{² + 5 + 1}/((5+1)²)

γ(s) = ^H(s)/_{(5+1)ᴺ⁺ⁱ⁻¹} = ^{² + 3 + 3}/((5+1)²)

N₁(s) = ^{B₊(s) B₋(s)}/_{A₁(s) (5+1)ᴺᵖ} = ¹/_{² + + 1)(5+1)}

η₁(s) = ^A₊(s)/_(5+1)ᴺᵖ = /₍₅₊₁₎

^CLASSSE CONTROZONI STAB. I.L.IZZANTI:

C(p) = {^{X(s) + η₁(s) Q(s)}/Y(s) - N(s)Q(s) , Q ∈ S}

= { ^{² + 3 + 3}/_(5+1)² - ¹/_{² + + 1)(5+1)} Q(s)

X(s)N(s) = W(s) →t₊₊₊1

Y(s)M(s) = 1 - W(s)

H(s) =

= ^{s2 + 2.5s + 1 + 1⁄₂s - 1}⁄₅

- X(s) = ^{A_X(s) F(s)}⁄_{BX(s) (s+1)⁴e^-t} = ^{-1⁄₂ (s+2)}⁄_3(s+1)⁷ = -¹⁄₆ (s+3)⁄(s+1)

Y(s) = ^H(s)⁄_(s+1)² = ^{(5 + 5⁄₂)}⁄_(s+1)

N(s) = ^{B₊(s) B_s(s)}⁄_{A-(s) (s+1)N-} = ^{3 (5-z)}⁄_(s+3)(s+1)

M(s) = ^A₊(s)⁄_(s+1)N- = ^S⁄_(s+1)

C(P) = C(s) = ^{X(s) + H(s) Q(s)}⁄_{Y(s) - N(s) Q(s)}, q ∈ S^f =

C(s) = = ^{-1⁄₂ (s+2) + S⁄_(s+4) Q(s)}⁄_{(s + 5)⁄(s + 1) - ^{3 (5 -z)}⁄(s+3)(s+1) Q(s)},

Q(s) ∈ S^f

Calcolare il sottoinsieme dei controllori stabilizzanti che soddisfano le specifiche:

1. L'errore a regime di inseguimento ad ingresso costante (y(t)=A, t≥0) sia nullo.
2. Errore a regime prodotto da un disturbo d_ia a rampa unitaria (d(t)=t) sia nullo.

Calcolare il nuovo sottoinsieme in presenza anche del nuovo vincolo.

Calcolare il regime di inseguimento Y_r(s) = e^t sia nullo.

E(s) = ¹/_1+C P . Y_r(s) = ¹/_{1 +} Q/P . ¹/_{1 -} = ¹/_{s - 1} = (1 - P(s)Q(s)) ¹/_{s - 1}

Deve avere uno zero in s=1 per eliminare.

1 - Q(1) P(1) = 0 → 1 - ^{2 + 1 - 1}/_(1+1)² . ¹/₁₊₁ = 1 si 1 non si può avere uno zero

Con tale ingresso non è possibile avere errore nullo.

4

P(s) = ¹/_{s² + 1}

• Inside controllori stabilizzanti;

C(P) = {C(s) = ^X(s)1P(s)/ Q(s) Q(s) ∈ S}

= {^{Y(s) - N(s) Q(s)}/}

= {^{25 - 2}/_s+1 + ^{s2 + 1}/_(s+1)² Q(s) , Q ∈ S}

= {⁵⁺³/_s+1 - ¹/_{(s+1) Q(s)}}

• Determinare W(s);

W(s) = ^B(s)/_(s+1)^N = ^F(s)/_(s+1)^A = ^{1 -} _F(s)/_(s+1)³

Metodo T e Vm:

Questa condizione (3) e' soddisfatta per ξ = 0,98

Scelgo il minore ξ = 0,98

Guardo quindi Bs.com = ξ⋅0,98

ξ = 0,98 → ωm = Bω⁰ = 1,25 = 3,66 rad/s

Metodo

τ = Tm.ωm−2.1 (1−ξ) = 1,1 (0,98−1) = 1,63

Determinare W11:

W11(s) = W1(s) = 1+1,0.s 1+0.s

C(2)= 1 W11(s)

P(s)= 1−W11 (s)

P(s)= 1 (s+3)(s+19)

E.m comp= B3= 25 mrad/a

Verifico Tmin: Zmin > 0,9 → passo conta

Verifico Tmax: kL > 1

Concludo 0,98 < ξ < 0,98, quindi esce penda 0,25

B3 con= KL(0,249) → ωm= B3 (0,949) = 25 rad/s

Progettare C(s) t. c. l’usura a disturbo d(t)=A sia nulla.

d(t)=A → D(s)=_A/^s

E(s)=(1-W(s))P(s)_∆/^w

→ 200

P(s) non ha poli in s=0

→ 1-W(s) deve avere un polo in s=0

W(1)=0=1

W(s)=_as+b/^(s+1) → W(0)=b=1

W(1)=_a+b/² = _a+b/⁸ = _a+1/⁸ = 1 → a=7

→ W(s)=_7s+1/^(5M)2

C(s)=_{1 W(s)}/^{P(s) 1-W(s)}

Esame 13/01/17

P(s)=_s^-2/^(5+2)(5+2) = _s^-2/⁽⁵⁺²⁾³

F .Is. recdt. E(C)>0 → E(W) = E(1)=2. → E(W)+2

• dir(t)=A sin2t sia nullo

→ D_dir(s)=_A/⁵²⁺⁵²

Y(s)=(1-W(s))D_m(s)=40volco con tutti i poli a P.R