Prove svolte esami di Geometria e algebra T

Esercitazione del 13 ottobre

Geometria e Algebra T

Sia S il seguente sistema a coefficienti reali nelle variabili x, y, z

3x + y + z = 14x + z = 1y + z = -17x + y + 2z = λ

1. Discutere il sistema lineare al variare di λ ∈ ℝ (ossia determinare per quali valori di λ il sistema risulta impossibile, per quali determinato e per quali indeterminato).

2. Scelto un valore di λ per cui il sistema risulti risolubile, trovare le soluzioni.

Siano dati in ℝ³ i seguenti vettori

v₁ = (-1, -1, 1)   v₂ = (1, 1, -1)   v₃ = (-1, λ, 0),con λ ∈ ℝ.

1. Determinare per quali valori di λ i vettori sono linearmente indipendenti.

2. Determinare per quali valori di λ il vettore w = (1, 1, 1) appartiene a span(v₁, v₂, v₃).

3. Fissato un valore di λ tale che w ∈ span(v₁, v₂, v₃), scriverlo come combinazione lineare di v₁, v₂, v₃. I coefficienti sono unici?

Se possibile trovare un esempio, se no spiegare perché.

1. Un sistema con più equazioni che incognite indeterminato.

2. Una matrice a scala non quadrata con un pivot su tutte le colonne.

3. Un sistema con 2 equazioni che abbia solo (1, 1, 1) come soluzione.

4. Quattro vettori linearmente indipendenti in ℝ³.

5. Due vettori linearmente dipendenti in ℝ⁴ che abbiano (3, 1, 0, 1) nella loro chiusura lineare.

Dimostrare che

1. span((1, 2)(1, 1)) = ℝ².

2. span((1, 2, 1)(1, 0, 1), (0, -3, 0)) ≠ ℝ³.

Esercitazione del 13 ottobre

1)

3x + y + z = 1

4x + 0 + z = 1

y + z = 1

x + y + 2z = 1

Matrice associata:

• R₃ - 3R₁ - 4R₁
• R₃ - 4R₃ + R₂
• R₄ + R₄ - R₂

3x > 6 → 0 → {x = 2}

3z = 5 → {2; z = 5/3}

-4y + 2 = 1 → -4y + 5 = 1 → 4y = 8

y = 2/3

3x + y + z = 1 → 8x = 1 - y - z

x = 1/3

2/9 + 5/9 → x = 4/3

• λ ≠ 2 → Sistema impossibile
• λ = 2 → Sistema determinato

SolS = {2/3; 1/3; 5/3}

2)

R³

• v₁ = (1, -1, 1, 1)
• v₂ = (1, 1, 1)
• v₃ = (-1, 5, 0)

λ ∈ R

Soluzione generale:

Studiamo l'equazione c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ = 0

c₁, c₂, c₃ incognite

(0, 0, 0) è una soluzione

Se unica → vettori sono l.i. (per definizione)

Altrimenti → vettori sono l.d.

c₁ + 1/1

(0 0 0)

c₁ + c₂ + c₃ = 0

c₁ - c₂ + c₃ = 0

c₁ - c₂ = 0

Se unica →

• 1 - 1/0
• -1 λ/0
• 1 1/0

• R₂ - R₁ - R₁
• R₃ = R₃ + R₁

Esercitazione del 20 ottobre

Geometria e Algebra T

1) In ℝ³, si trovino le coordinate di v = (1,1,1) sia rispetto alla base canonica E = ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) che rispetto alla base B = ((2,1,0),(1,0,-1),(0,1,3)).

2) Siano dati in ℝ³ i seguenti vettori

• v₁ = (1,3,0)
• v₂ = (1,1,10)
• v₃ = (2,4,10)
• v₄ = (2,2,20)

a) Sia W = span(v₁,v₂,v₃,v₄). Determinare dim W.

b) Dire se {v₁,v₂,v₃,v₄} è un insieme di generatori per ℝ³ e se è linearmente indipendente.

c) Trovare una base per W.

3) Si consideri la matrice a coefficienti reali

a) Si trovi la dimensione di C(A), al variare di a ∈ ℝ.

b) Sia a = 2. Si trovi una base B per Ker(A). Si completi B ad una base di ℝ⁴, cioè si trovi un insieme di vettori X ⊂ ℝ⁴ tale che B ∪ X sia una base di ℝ⁴.

c) Sia a = 0. Si calcoli una base per R(A). Si ordini la base di R(A), si scelga un vettore di R(A) e si calcolino le sue coordinate rispetto alla base ordinata.

4) Sia ℝ₂[x] l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

a) Si verifichi che è uno spazio vettoriale.

b) Si verifichi che {1,x,x²} è una base per ℝ₂[x]. Qual è la dimensio-ne di ℝ₂[x]?

c) Sia B = {1,x,x²} e siano p = 3-x²+xe q =-2x+4x². Siano v e w le coordinate di, rispettivamente, p e q rispetto a B. Si verifichi che p+q ≡ v+w e a⋅p ≡ a⋅v, con a = 2. Tale proprietà vale comunque si scelgano p,q ∈ ℝ₂[x] e a ∈ ℝ?

Esercitazione del 17 novembre

Geometria e Algebra T

1) In R³ si dimostri che un piano e una retta non possono essere sghembi

2) In R⁴ si dica se è possibile trovare

• un piano e una retta sghembi.
• due piani sghembi.

3) Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R⁴:U = span((1,0,1,0), (0,1,1,1)) e W = span((0,0,-1,10), (1,1,1,11)).

• a) Si calcoli una rappresentazione cartesiana per U e una parametrica per W.
• b) Si trovi una base per U + W e una per U ∩ W.
• c) Si trovi un sottospazio vettoriale Z di R⁴ che sia in somma diretta con W. È unico?

4) Come visto per i sottospazi vettoriali, anche per nel caso affine l'unione di due sottospazi affini non è (in generale) un sottospazio affine.Si scelgano due rette in R³ e si dimostri che la loro unione non è un sottospazio affine. (Suggerimento: usare la caratterizzazione dei sottospazi affini come sottoinsiemi chiusi rispetto combinazioni lineari con somma dei pesi uno). Dati due sottospazi affini S₁ e S₂ si indichi con S₁ ∨ S₂ il più piccolo (rispetto all'inclusione) sottospazio affine che contiene S₁ ∪ S₂. Date due rette r e s in R³ si calcoli la dimensione di r ∨ s al variare della posizione reciproca di r ed s. Si faccia lo stesso per due piani e per un piano e una retta in R³.

3) Sia T : R³ → R⁴ la trasformazione lineare definita da

T(1, 1, 1) = (3, λ+4, −1, 0)   T(1, 0, 1) = (1, λ+2, −1, −2)   T(0, 1, 1) = (−2, λ−3, 1, 1).

1. Dire per quali valori di λ ∈ R la trasformazione lineare è iniettiva, suriettiva, bijnvoca.
2. Calcolare l'immagine di (2, 1, 3).
3. Fissato λ = 0, calcolare una base di ker T e una di im(T).
4. Fissato λ = 0, trovare un piano π tale che T(π) sia una retta e un piano σ tale che T(σ) sia un piano. È possibile trovare un piano la cui immagine sia un iperpiano? E un piano la cui immagine sia un punto?

Esercitazione del 1 dicembre

Geometria e Algebra T

1. Si consideri la trasformazione lineare \(T_A: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4\) con

   \(A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 & 1 \\ -4 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}\).

   1. Si dimostri che \(v = (1, 0, 0, 1)\) è un autovettore di \(T_A\).
   2. Si dimostri che \(2\) è un autovalore di \(T_A\).
   3. Si trovi lo spettro di \(T\) e una base per ciascun autospazio.

2. Sia \(T_\lambda: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) l'endomorfismo definito da

   \(T_\lambda(3, 1, 1) = (6, 2, 2)\), \(T_\lambda(0, 4, 0) = (\lambda, 1, 1)\), \(T_\lambda(0, 0, -1) = (0, -3, -2)\).

   1. Si dica per quali valori di \(\lambda \in \mathbb{R}\) l'endomorfismo \(T_\lambda\) è un isomorfismo.
   2. Sia \(\lambda = 3\). Sia \(S\) il piano di equazione \(x - 3z = 1\). Si calcoli una rappresentazione cartesiana per \(T(S)\). Il sottospazio affine \(T(S)\) è un piano?
   3. Sia \(\lambda = 0\). Si calcoli \(M_E(T_0)\) e \(M_B(T_0)\) con \(B = \{(3, 1, 1), (0, 4, 0), (0, 0, -1)\}\).
   4. Sia \(\lambda = 0\). Si determinino gli autovalori di \(T_0\).
   5. Si trovi una base per ciascun autospazio.