Raccolta esami di Sistemi non lineari

Compito di sistemi non lineari - 7 giugno 2016

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1. Tesina assegnata [10 punti]

2. Stabilità dell'origine per un sistema non lineare

Si consideri il sistema:

21 + 10x u^. = x ^. x + 1 1 2
22x + 10²−x^. = + x₂ 1

in cui x₁, x₂ sono misurabili. Determinare un controllore che renda l’origine stabile. Specificare il tipo di stabilità e dare una stima della regione di convergenza. [10 punti]

3. Il derivatore di Levant

Come fare per stimare il disturbo d agente sulla dinamica x^. = f (x) + d, essendo x misurabile ed f nota? [10 punti]

Soluzione

Con il metodo del backstepping, posto V = x²/2, si calcola:

22x^. = x² + x² (−x + k x + x₂)
22x²−xConsiderata poi V = V + z²/2, ove z = + k x + x₂

211 + 10x² 22x^. −k − − u + (k + 2x₂)(−x + x₂)V^. = x + (−x + k x + x₂) x x x 2 2 12
22x + 10e

si calcola u in modo che

211 + 10x² 22x^. − − −kx x x u + (k + 2x₂)(−x + x₂) = (−x + k x + x₂), k > 0.2 1 2 2 2 1 1 1 2 2
122x + 10Si determina cosı̀ 22x + 10 22 22−x x x + (k + 2x )(−x + x ) + k (−x + k x + x )u = 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2211 + 10xottenendo convergenza esponenziale all’origine. Si noti che la convergenza è globale.

Compito di sistemi non lineari - 13 giugno 2016

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1. Tesina assegnata [10 punti]

2. Stabilità dell'origine per un altro sistema

Si consideri il sistema:

31x^. = x₁ + x₂
211 + 2x₂ + 5ux^. =2 2−(x₁x₂) + 101

in cui x₁, x₂ sono misurabili. Determinare un controllore che renda l’origine stabile. Specificare il tipo di stabilità ed indicare la regione di convergenza. [10 punti]

3. Il derivatore di Levant

Indicare la struttura del derivatore e a quali perturbazioni è robusto. Inoltre, se si misura la variabile ζ, avente dinamica ζ^. = φ(ζ) + w, come può essere utilizzato per stimare il disturbo w? Indicare eventuali ipotesi che occorre fare per costruire un tale stimatore. [10 punti]

Compito di sistemi non lineari - 17 maggio 2017

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1. Studio di stabilità per un sistema tempo-variabile

Dato il sistema tempo–variante:

21x^. = (1 + x₁)x₂sin 2t + (1 + x₁)u
232−axx^. = + x₁x₃
−xx^. = x₁ + bx₃
y = −x₁x₂

studiare se è possibile determinare una controreazione dall’uscita tale da rendere l'origine stabile o asintoticamente/esponenzialmente stabile (localmente o globalmente) per opportuni valori di a, b ∈ ℝ. [10 punti]

2. Stabilità con il metodo del backstepping

Dato il sistema:

23x^. = x₁x₂ + u
22x^. = x₁ + x₂
−xx^. = + x₁x₂x₃

determinare un controllore dallo stato mediante il backstepping che renda l'origine stabile. (Suggerimento: si parta considerando la funzione (x₁ + x₂)²/2). [10 punti]

3. La proprietà di uniforme ultima limitatezza delle traiettorie

[10 punti]

Soluzioni

1. Soluzione del sistema tempo-variabile

Considering 2−(1 −+ y₁)(y₁ + y₂) sin 2t k y1 1 1121− −(1 + x₁)x₂ sin 2t k x = , k > 0u = 2 1 1 122 21 + x₁ 1 + (y₁ + y₂)1 2which is always defined and that entails only output measurements, one gets the time–invariant dynamics−kx^. = x1 1 132−axx^. = + x₁x₃−xx^. = x₁ + bx3 1 2 321 22 23Using the Lyapunov candidate V = (x₁ + x₂ + x₃)²/2, one derives21 32 21 42 23−k −k −V^. = x₁ + x₂ (−ax₁ + x₃x₂) + x₃ (−x₁x₂ + bx₃) = x₁ ax₁ + bx₃.1 2 1 3 3 1 2 3 1Therefore1.a. if a > 0 and b < 0, the origin is G.A.S. (Lyapunov);1.b. if a < 0 or b > 0, the origin is unstable (Chetaev); 21 42−k − |a|x ≤1.c. if a > 0 and b = 0 one can apply the La Salle’s theorem to V^. = x 0, with1+→ E {x |x(t) = E = x = 0, x = 0}1 2and one deduces that the origin is (simply) stable; 21 23−k − |b|x ≤1.d. if a = 0 and b < 0 one can apply the La Salle’s theorem to V^. = x 0, with1+→ E {x |x(t) = E = x = 0, x = 0}1 3and one deduces that the origin is (simply) stable; 21−k ≤1.e. if a = 0 and b = 0 one can apply the La Salle’s theorem to