Raccolta esami di Sistemi non lineari

Compito di Sistemi non lineari - 7 giugno 2016

22−xConsiderata poi V = V + z /2, ove z = + k x + x , si ha2 1 1 2 21 !211 + 10x 2222 22−k − − u + (k + 2x )(−x + x )V̇ = x + (−x + k x + x ) x x x 2 2 12 1 2 2 2 1 2 22x + 10e si calcola u in modo che 211 + 10x 22 22− − −kx x x u + (k + 2x )(−x + x ) = (−x + k x + x ), k > 0.2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 122x + 10Si determina cosı̀ 22x + 10 22 22−x x x + (k + 2x )(−x + x ) + k (−x + k x + x )u = 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2211 + 10xottenendo convergenza esponenziale all’origine. Si noti che la convergenza è globale.3. Il derivatore di Levant è ˙ 1/2−λ |ξ − −ξ = x| sign(ξ x) + ξ1 1 1 1 2˙ −λ −ξ = sign(ξ x)2 2 1ˆ −con λ , λ > 0. La stima di d è d = ξ f (x) [10 punti]1 2 2

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Compito di Sistemi non lineari13 giugno 2016

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1. Tesina assegnata.[10 punti]
2. Si consideri il sistema 31ẋ = x + x1 2 211 + 2x + 5uẋ =2 2−(x x ) + 101 2in cui x , x sono misurabili. Determinare un controllore che renda l’origine stabile. Specificare il tipo di1 2stabilità ed indicare la regione di convergenza.[10 punti]
3. Il derivatore di Levant: indicare la struttura del derivatore e a quali perturbazioni è robusto. Inoltre sesi misura la variabile ζ, avente dinamica ζ̇ = ϕ(ζ) + w, come può essere utilizzato per stimare il disturbow? Indicare eventuali ipotesi che occorre fare per costruire un tale stimatore.[10 punti]

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Compito di Sistemi non lineari17 maggio 2017

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1. Dato il sistema tempo–variante 21 22ẋ = (1 + x )x sin 2t + (1 + x )u1 232−axẋ = + x x2 1 3−xẋ = x + bx3 1 2 3 x 1y = −x x2 1studiare se è possibile determinare una controreazione dall’uscita tale da rendere l’origine stabile o asin-∈toticamente/esponenzialmente stabile (localmente o globalmente) per opportuni valori di a, b R.[10 punti]

2. Dato il sistema 23ẋ = x x + u1 1 22ẋ = x + x2 1−xẋ = + x x x3 3 1 2 3determinare un controllore dallo stato mediante il backstepping che renda l’origine stabile.22 23(Suggerimento: si parta considerando la funzione (x + x )/2). [10 punti]

3. La proprietà delle uniforme ultima limitatezza delle traiettorie.[10 punti] Soluzioni1. Considering 2−(1 −+ y )(y + y ) sin 2t k y1 1 2 1 1121−

(simply) stable; 21−k ≤1.e. if a = 0 and b = 0 one can apply the La Salle’s theorem to V̇ = x 0, with the invariant1conditions 32−axẋ =2ẋ = 03so that +→ E {x | ⊆ {x |x(t) = x = 0, x = 0} E = x = 0}1 2 1and one deduces that the origin is (simply) stable. 22 232. Considering, as suggested, the Lyapunov candidate V = (x + x )/2, one works out222 23 22−x − −V̇ = x (x + x ) + x (−x + x x x ) = k x + x (x φ )2 2 1 3 3 1 2 3 2 2 1 1where 22 23−(xφ = + x x + k x ), k > 0.1 1 2 2 22−Hence, considered V = V + (x φ ) /2 one finally obtains2 1 123 22−x − − −V̇ = k x + (x φ )(x + ẋ φ̇ )2 1 1 2 1 1 23 22 23−x − −= k x + (x φ ) x + (1 + x ) ẋ + (2x + k )ẋ + 2x x ẋ2 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 23 22 23 23 22−x − −= k x + (x φ ) x + (1 + x )(x x + u) + (2x + k )(x + x ) + 2x x (−x + x x x )2 1 1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 2 323 22 2−x

− − −= k x k (x φ )2 1 1 1
where 1 h i23 22− − − − −−x x (2x + k )(x + x ) 2x x (−x + x x x ) k (x φ ) , k > 0.
u = x + 2 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 1 1 11 231 + x

Hence, the origin is G.A.S. 23ẋ = x x + u1 1 22ẋ = x + x2 1
−xẋ = + x x x3 3 1 2 3

determinare un controllore dallo stato mediante il backstepping che renda l’origine stabile.
(Suggerimento: si parta considerando la funzione ). [10 punti]

3. See theory.

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Compito di Sistemi non lineari
6 giugno 2017
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x x + u² 2 1 321 33−x −ẋ = x x³ 2 x + x¹ 3y = −x x³

studiare se è possibile determinare una controreazione dall’uscita tale da rendere l’origine stabile o asin-toticamente/esponenzialmente stabile (localmente o globalmente).[10 punti]

2. Dato il sistema 21ẋ = x + u₁ 22ẋ = x x + x x² 1 2 333−xẋ =3determinare un controllore dallo stato mediante il backstepping che renda l’origine stabile.[10 punti]

3. Descrivere la proprietà input–to–state stability e darne un esempio.[10 punti] Soluzioni

21 22 23

1. Considering V = (x + x + x ) one works out 21 32 21 33− − −V̇ = x (x x sin 2t x ) + x (−x x x + x x + u) + x (−x x x )1 1 2 1 2 2 1 3 3 221 42 43 21 22 21 21−x − − − −= x x x x + x (x sin 2t + x x + u x x )2 1 3 321 42 43≤ −(x + x + x )with 21 21−x −u = sin 2t x x + x x1 3 3which depends only on y. This means that x(t) tends asymptotically to zero,

which is G.A.S.222. Considerata V = x /2 si ha2 22 42 22 22−kV̇ = x (x x + x x ) = x + x (x + x x + k x )2 2 1 2 3 2 1 2 3 222 2 23k > 0. Considerato poi V = V + (x + x x + k x ) /2 + x /2 si calcola2 2 1 2 3 2 42 43 22 22 21 22 33−k − −V̇ = x x + (x + x x + k x ) x + x + u + (x + 2k x )(x x + x x ) x x2 1 2 3 2 3 2 2 1 2 3 2per cui considerato 22 21 22 33 22− − −u = x + x + (x + 2k x )(x x + x x ) x x k (x + x x + k x )3 2 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2k > 0, si ricava1 42 43 22 2−k − −V̇ = x x k (x + x x + k x ) .2 1 1 2 3 2Dunque l’origine è G.A.S. 23ẋ = x x + u1 1 22ẋ = x + x2 1−xẋ = + x x x3 3 1 2 3determinare un controllore dallo stato mediante il backstepping che renda l’origine stabile.(Suggerimento: si parta considerando la funzione ). [10 punti]3. See theory.

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Compito di Sistemi non lineari19 luglio

1. Dato il sistema 21x 23+ xẋ = 4x + 31 2 211+ x31 −ẋ = 3x x + u2 233−xẋ =3, determinare una legge di controllo che stabilizzi l’origine del sistema. (Nota: si consideri di poter misurare l’intero stato)[10 punti]

2. Si consideri il sistema 21ẋ = x + x1 2 21ẋ = θx + x + u2 2