Esami statistica

9/2/2017

ES 1

• f(x) = 0 se x ≤ 1 α 1 ≤ x ≤ 2 0 altrove

1. ∫₀¹ x dx + ∫₁² α dx = 1 α/2 · 1 + αx |₁² = 1 α/2 · 1 + α · 2 − α · 1

• α = 1/2

ES 2

• f funz repr della X sulla Y ∈ RT Se x ∼ k quando ψ(x) ∼ μY
• la media di ψ(x) e = ψμY

• E[ψ(x)] = μY

• Esp freq relativa colke fra le parole n osservato tali valore

• valori E[y|x] osservano col freq relative pi

• E[ψ(x)] = ψ(x_i) · p_i

• ψ(x_i) · p_i dove ψ(x_i) è Y_s p_i

• E[y|x] = ψ(y_s)

• p_i

• E[ψ(x)] = ψ(y_s) · p_si

ES 3

• n = 2s

• X = 5, 10, 15

• X =

1. 5, 5 X
2. 5, 10 Y, 5
3. 5, 15 X₁₀
4. 10, 5 K
5. 10, 10 M
6. 10, 15 Y_2,5
7. 15, 10 X₁₀
8. 15, 15 15 X

ES 5.

g² → _{(npr ai) - sotto + 1}

T_n =

X₄ = 2

=

T_n = 1/2 Σ X_i.

Dimostro che è distorto ma asintoticamente corretto per μ

E(T) = μ + E(

(X₁ + 1/2 Σ X_i) ) = μ

2 2n - 2

E (Σ X_i) + Σ E(X_i) - μ =

2n

-E(i+1/2) + 1/2 * (n-2+1) = E(X)

2 2n

1/2 * (n-2+1) * E(X)

2 2n

E(X₁) =

n - 1 μ - μ NON CORR.

2 2n

g₂ μ, μ + 2 -μ = 1 μ

2 2 2m

μ +

g₂ g,μ +

Lim g = lim =

n→∞ con =

La q.m. = μ

=

EqHF = V(T_n) + β²

V(T_n) = V(Σ ) = 2

n V(n) + β² = 0 se =0 quandn

ES.6

X~N (μ; σ² - 6μ) n = 25 25 Σ X_i: 2450

X = 2450

25 = 98

IC = [ 95,368 , 100,632 ]

Determina 1- α?

[

X = z_1-α/2 σ = 5 /

n X + z_1-α σ /

n ]

X= z_1-α/2 σ = 5 / n 100,632

98 + z_1-α/2 σ = 5 / 5 100,632

3 / 5 =10,95

X-9 = 0,95

α/2 = 0,05 α=0,10

1- α = 1 - 0,10 = 0,90

ES 5

X | 0 | 1 | 2

p(x) | 0,6 ⋅ 30 | 0,4 | 30 |

∑ x p(x)

= 0,94 ⋅ 60

θ = [0, 0,2]

0,4 ⋅ 60 = E(x)

θ̂ = 0,4

0.03

ES 6

X~N (μ, σ²/√n)

n = 144

H₀: μ = 12

H₁: μ = 15

α = 0,05

α è la prob. di rifiutare H₀ quando questa è vera

Z_α = Z_0,95 = 1,64

1,64 = (X̄_c - 12)

X̄_c = 13,09

X̄_c = 13,09

β è la prob. di accettare l'ipotesi nulla quando è vera l'alternativa

β =?

Z = (13,09 - 15)/ (8/12) = -2,86

P(Z < -2,86) = 0,998

1 - β = 0,998

β = 0,002

ES.5

R | r | 1 | 2

P(r) 0,3 0,7

S | S | 3 | 4

P(S) 0,6 0,4

Z = R - S

S | 3 | 4

R

1 | 0,18 0,12 0,30

2 | 0,42 0,28 0,70

0,60 0,40 1

Z P(Z)

3 0,18

4 0,12

6 0,42

8 0,28

ES.6

X ~ B(μ, 6²)

θ = 7 - 3μ

T = 7-3X

T corretto?

E(T) = θ

E(T) = E(7 - 3X) = 7 - 3E(X) = 7 - 3μx = θ

CVD

Varianza?

V(T) = V(7 - 3X) = 0,9 V(X)

= + 9 6²

--------------------------------------

m

T consistente per θ

EQM = V(T) + 6²

perché corretto.

EQM = 0

lim EQM = 0

m→∞

lim + 9 6²

---------------------- = + 9 6²

m∞

----------------------- = 0 => consistente

m→∞

ES 6

H₀: f₀(x) = 0,2 - 0,02x

H₁: f(x) = 0,02x

0 ≤ x ≤ 10

H₀: RIF: x ≥ 8

α = ∫₈¹⁰ 0,02x = 0,04 = d

1 - β

∫₈¹⁰ 0,02x dx = 0,36

A = P(X_n > X_u)

14/04/2016

x | x < 3 | 3 ≤ x < 6 | 6 ≤ x < 12 | 12 ≤ x < 20 | x > 20

F(x)| | | 0,3 | 0,9 | 1

P(x)| | 0,3 | 0,3 | 0,6 | 0,2

7,9?

x_0,75 = 5

x_0,90 = 9

x_0,95 = 12

x_0,50 = 6

x₄ = -12

x₆ = 9

F(b) = F(a_b) + P(a_b) - P(b)

F(12) = F(6,2) + P(12) = 0,8 = 0,3 + 0,2 + 0,3

ES 2

A = 15.000

B = 25.000

P(A) = ¹/₃

P(B) = ²/₃

m(A) = 0,5 m(B)

N = m(A) + m(B)

N = 0,5 m(B) + m(B) = 1,5 m(B)

E(A) = Σ x P

E(A) = ^{15.000 · 0,5 m(B)}/_{1,5 m(B)}

E(B) = ^25.000/_1,5

E_TOT = ^{15.000 · 0,5}/_1,5 + ^25.000/_1,5 = 21.666,66

ES. 6

X ∼ N(μ, σ² = 16)

H₀: μ = 2 H₁ μ = 3

μ₁ > μ₀ T.U.D

Z_1-α = 1,645

β = P(X ∈ Acc | H₀ falso)

β = P(_{X̄ ∈ Acc | H1 vera)}

_ZE

= _{X̄c - μ1}

σ/√n

= 3,316 - 3 / 4/5 = 0,395

P(Z < 0,395) = β = 0,653

α = 0,95

n = 25

1

2

3

Determino X̄_c

Z_1-α =

X̄_c - μ₀

σ/√n

1,645 =

X̄_c - 2

4/5

1,316 = X̄_c - 2

X̄_c = 3,316

2²

3

4

60 = 0,705

ES.2.

Il coefficiente di correlazione lineare (r) è il rapporto tra la covarianza (X,Y) e il prodotto delle deviazioni standard. Quindi:

r = ^{cov (X,Y)}/_sxsy

e varrà tra -1 e 1

Se r = 0 non c'è nessuna correlazione lineare (X∣∣Y)

Invece calcoliamo retta affinchè tra dellie 2 variabili Y trova una funzione lineare di X (Y = a + bx) e che |r|:

Se r = 1 c'è relazione diretta

Se r = -1 relazione indiretta

ES.3

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

La media gode della prop. associativa, in quanto, suddividendo in 2 o più gruppi, i valori della variabile X, la media aritmetica della variabile X è uguale media aritmetica delle medie parziali dei diversi gruppi ponderati con il numero degli elementi di ciascuno.