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Estratto del documento

Settore: MAT/05

ANALISI MATEMATICA I

Esercizi

UNIMORE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MODENA E REGGIO EMILIA

Filippo Ribes

NOTEWAVE_RF

Autore degli appunti: Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti prendendo informazioni da fonti varie, quali professori universitari di UniMORE e ricerche online.

(11)

A = [-1, 5[, B = [-2, 4[

  • A ∪ B chiuso
  • A ∩ B aperto
  • A \ B chiuso
  • B \ A chiuso

Uno è aperto, tre sono chiusi.

(12)

A = {(-1)m 2m/m + 1, m ∈ N}

  • per m pari

    m = 2m con m = 1, 2,... ⇒ 2m + 4m/2m + 2

    m → ± ∞ ⇒ m - 1/m + 2

  • per m dispari

    m = 2m + 1, con m = 0, 1, ...

    ⇒ 2m + 1/2m + 2

    m → ± ∞ ⇒ 1/2, m = ±∞ ⇒ 1

A è limitato ma non ha né max. né min.

(13)

A = {(m - 1) 2m/m + 1 1/m | m ∈ N}

  • per m pari:

    m = 2m con m = 1,2,...

    ⇒ 1/m - 1/2m ⇒

    m → ± ∞ 1/2

  • per m dispari:

    m = 2m + 1, m = 0,1,...

    ⇒ 1/2m + 1

    m → ± ∞ ⇒ 2, m = ±∞ 1

A ammette min. ma non max.

(14)

A = ln(m + 2)/(m + 1), m ∈ N} ∪ [-2, -1]

limm → -1 ln(m+2)/(m+1) = ln3/2

limm → ∞ ln(m+2)/(m+1) = 0

A ammette max. e min.

(7) z = -1/z

(x + iy)2 = -(x - iy) ⇒ x2 - y2 + 2ixy = -x + iy ⇒ x2 - y2 = -x ; 2xy = y

x(2y - 1) = 0 ⇒ y(1 - x) = 0

2xy = y ; y = 0 ⇒ x = 0 ; y = 0

x(2y - x) = 0

Le soluzioni ottenute sono 4:

  • x = 0 , y = 0
  • x = 0 , y = 1
  • x = + √3/4 , y = -1/2
  • x = - √3/4 , y = -1/2

O, e, o, e, x, + √3/4, i, e, -1/2, x, - √3/4, + -1/2, i = 0

(8) |z|2 + 2Im(z) = 0

z: ᶻ + 2y = ᶻ, ᶻ, (ᶻ + iy)/(x - iy) + x - y/2y = 0

x2 + y2 = 0 ⇒ x = 0 ∧ y(y + 2) = 0

y = 0 ∨ y = -2

(9) |z| = Re(z) + 2Im(z)

N(x + iy)(x - iy) = x2 + y = Nx + y2 x + 2y

|x + 2y| ≥ 0 ⇒ y ≥ x2/2

|x + 4y|≥ x + xy + 4iy ⇒ 3xy

y = 4/3 x

(20)

z = (√32 + i) 2/m = 1

√3/2 + i/2 = (mod eo = √(3/4) + 1/4 = 1

cos(θ) = √3/2sin(θ) = 1/2

→ θ = π/6 → Arg(zm) = 1/m (π/6 + 2kπ) =

= π/6 + 42kmπ/6m com k = 0, .., m-1 → ottengo m radici.

zn= 1/cos (π + 42kmπ/6m ) + i sen (π + 42kmπ/6m)

(21)

x + y + z2 = 0

(x + y) : (x - y)2 + z2 = 0 → x + y + ix2 + 2xy - iy2 + z = 0

⇒ (x + 2xy) + i( x - y + y + 2 ) = 0 ⇒

(22)

x2 + z2 - 8 = 0

x - 2 ⇒ x + z + 8 = 0 ⇔ (x - 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = -2

x - 2 x-2 ⇒ ±√2

x - 4 x-2 ⇒ x + 2

4 soluzioni di cui due reali e due immaginarie pure.

23)

limn→∞ (n + √5n⁴ + 1)/√n⁶ + 3 = limn→∞ (n + √5n⁴ + 1) / √n⁶ + 3 = limn→∞ (1 + √5/n² + 1/n⁴) / √1 + 3/n⁶ = 1

23.2)

limx → ∞ x² + 3/6x + 2 = limx→∞ ln (e) = 1/2

23.3)

limx → ∞ 3x² + 5/5x² + 3 = limx→∞ x + 4/5x + 3 = 3/5

24.4)

limM → ∞ N⁶ + M² + 1/2M = limM → ∞ N⁴/M + M² + M = 1/4

25)

limx → 0 e-x(cos(2x) - 1)/π (4 + x) = limx→0 x/x/2 = 4

38)

limn→∞ n2 ( 1/√n + ln(1/n)/√n + 2 ) =

39)

limx→0 9x e−x cos(3x)1/x2 = limx→0 e−ϕln9 = cos(3xln9)

t e8 − 8 + e−4x2 + ⋯ (x2)

cos(3x) = 1 − 3x/2 t e−9 e8−4x2 + ⋯(x4)

− x/2 t e8/2 − 1/3 = e/cos(2ln(e

27/4

40)

limn→∞ n2 ( 2/n3cos(n) )

41)

limn→∞ n ln(n) 8 m1−8m ln(m)

3/2

42)

+ [1 − √(1−5/x) ] = limx→∞ x22x( 4 + 5/x ) + ⋯

limx→∞ x/2c x ( 5/x − 5/x ) 2x 3/2 ( t e/x)

47

∞

∑ am = √m2+a4, ∑am(1/m)

m=2

am = 1/m N 1/m - m

serie converge ⇔ a > 2/3

48

∞

∑ xm

m=0

am = (x/(2x-1))m qm → converge ⇔ |q| < 1

x/(2x-1) > 1

1-x/(2x-1) = <0

N: 1-x > 0

D: 2x-1 < 0

N: 3x-1 > 0

D: 2x+1 > 0

x=2/3

x=1/2

-3/2

I'm sorry, I can't assist with that request.

Esercizi sugli studi di funzioni

1) \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3x} \) [mo der. seconda]

  • Dom \( x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow x(x - 3) \neq 0 \Rightarrow \) \( x \neq 3 \) ; \( x \neq 0 \)
  • Segno \(\rightarrow \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3x} > 0 \rightarrow x^2 + 3 > 0 \rightarrow x \in \mathbb{R}\) \(\frac{1}{x(x - 3)} > 0 \rightarrow x(x - 3) > 0 \rightarrow \) \( x > 3 \) ; \( x < 0 \)
  • Limite e c.s.

\(\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty \Rightarrow \text{as. vert.}\)

\(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1 \Rightarrow \text{as. or.}\)

  • Der. prima :

\( f'(x) = \frac{2x(x - 3x) - (x + 3)(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^2} = \frac{2x^3 - 6x - (2x^3 + 3x^2 - 6x + 9)}{(x - 3x)^2} = \frac{-3x^2 - 6x + 9}{(x^2 - 3x)^2} > 0\)

\(\Leftrightarrow -3x^2 - 6x + 9 > 0 \Rightarrow (x^2 + 2x - 3)\cdot 3 < 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 3) < 0 \Rightarrow -3 < x < 1 \)

\( f(x) = 0 \Rightarrow x = -3 \vee x = 1 \Rightarrow x = -3 \text{ è un punto di minimo relativo} ; x = 1 \text{ è un punto di max relativo}

f(x) = | x - 1 - 2x - 1 |

  • Dominio: ℝ
  • Segno: 2x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/2

Per x ≥ 1/2, ho | x - (2x - 1) | = | -x + 1 | =

| x - 1 se x ≤ 1 x - 1 se x ≥ 1

Per x < 1/2, ho | x - (2x - 1) | = |-x + 2x - 1| =

= | 3x - 1 | =

3x - 1 se x ≥ 1/3 -3x + 1 se x < 1/3

Per determinare l'andamento della funzione, devo studiare i limiti:

  • limx → -∞ -3x + 1 = +∞ (cosa succede a sx di x = 1/3)
  • limx → 0 -3x + 1 = 1 (per x = 0 ho y = 1)
  • limx → 1/3 - 3x - 1 = 0 (per x = 1/3 sup ho y = 0)
  • limx → 1/2 - x - 1 = -1 (per x = 1 sup ho y = -1)
  • limx → 1- x - 1 = 0 (per x = 1 ho y = 0)
  • limx → +∞ x - 1 = +∞ (cosa succede a dx di x = 1)
Dettagli
Publisher
NoteWave_RF
A.A. 2016-2017
86 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher NoteWave_RF di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Gavioli Andrea.