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Complementi di Matematica – Settembre 2014
1a Studiare la funzione di due variabili
f (x, y) = x + y + x y + 1,
determinando la natura dei suoi punti critici.
1a Determinare il comportamento della funzione f definita
precedentemente sul dominio del piano dato dall'equazione
2 2 −x + 2y 4 = 0.
2a. Risolvere l'equazione differenziale
′′ −y y = x
per la funzione incognita y(x), trovando l'integrale generale.
2b. Esistono soluzioni dell'equazione differenziale che soddisfano
alle condizioni iniziali ′y(0) = 0, y'(0) = 0 ?
Ed alle condizioni al contorno
y(0) = 0, y(1000) = 0 ?
3 (per gli studenti degli anni precedenti al 2012) Per quali valori
del parametro reale k la matrice
−1 k 0 0
2 0 2 .
0 k 3
e' diagonalizzabile?
Matematica II – Settembre 2016
Calcolare il differenziale della funzione da R in R data da
f (x, y) = 2 - x y x
determinando il luogo dei punti dove esso non ha rango massimo.
Tramite la funzione f (x, y) generare il cambio di variabili
u = f (x, y) = 2 - v x y x
utilizzandolo per calcolare il seguente integrale
I = -x(1 - x y)
dove il dominio T è determinato dalle diseguaglianze
{(x, y) ≥ ≤ -1, ≥ -2}.
Per quali valori del parametro reale k la matrice
A = 1+ k 1
risulta diagonalizzabile? Esistono valori di k per cui i suoi auto-spazi risultano ortogonali tra loro?
Matematica II - Settembre 2017
Studiare il comportamento della funzione di due variabili
g(x, y) = x y + x + xy
determinando la natura dei suoi eventuali punti critici ed il comportamento all'infinito.
Utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per studiare massimi e minimi locali della funzione g(x, y) sull'insieme dato dalla condizione vincolare 92 - x y = .8 ∈ 2a. Determinare, al variare di k ∈ R, nucleo ed immagine dellamatrice A(k):
<p>Utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per studiare massimi e minimi locali della funzione g(x, y) sull'insieme dato dalla condizione vincolare 92 - x y = .8 ∈ 2a. Determinare, al variare di k ∈ R, nucleo ed immagine dellamatrice A(k):</p>
<p><code><pre>
<p>A(k) = <table>
<tr>
<td>k</td>
<td>1</td>
<td>0</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>0</td>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>k</td>
</tr>
</table></pre></code></p>
<p>Per quali valori del parametro x la matrice A(k) risulta diagonalizzabile?</p>
<p>1Matematica II – Settembre 2018</p>
<p>1. Si consideri l'equazione differenziale: 1 - (2y )dx + 2(x y)dy = 0</p>
<p>a. Classificare l'equazione differenziale e trovare la soluzione y(x) che verifica la condizione iniziale y(1) = 0.</p>
<p>b. Determinare il comportamento di tale soluzione quando x tende a zero ed all'infinito e disegnarne il grafico.</p>
<p>c. facoltativo. Disegnare il comportamento delle soluzioni dell'equazione differenziale che verificano la condizione iniziale y(1) = k con generico k ∈ R.</p>
<p>2 Calcolare il seguente integrale doppio: yI = xe dx dy sul dominio D del piano</p>
di coordinate (x, y) dato dalle diseguaglianze ≥x 0,2 ≤ ≤y x y 1
Matematica II - Maggio 2017
-
Si consideri l’equazione differenziale: y′ - y(x) + 3x = 0
- Classificarla e trovarne l’integrale generale.
- Descrivere il comportamento della soluzione del problema ai valori iniziali dato dalla equazione differenziale e dalla condizione y(1) = β, per il generico valore reale β. Ci sono valori di β per i quali la funzione soluzione y(x): i) si estende per continuità ad ogni valore di x? ii) è limitata? iii) tende a zero quando x tende all’infinito?
-
Studiare la funzione di due variabili: f(x, y) = 2x xy + y + 2, determinando la natura dei suoi punti critici.
-
Determinare il comportamento della funzione f definita precedentemente sul sottoinsieme di punti del piano che soddisfano l’equazione 2 3y + x = 0.
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