Esercizi d'esame Analisi matematica I

ESERCIZI TIPO

y = f(x) = e^x + arctg x

∃ x = f^-1(y)? Df^-1, Cf^-1 = ?

Df^-1 : = ?

d/df_x (1) = ?

d/df_{e + π/4} = ?

Df = ℝ ⟹ f è continua in ℝ, f↑ in ℝ ⟹ ∃ f^-1(y)

Cf^-1 = Df = ℝ

Df^-1 = Cf ⟶ lim_x→ℝ f(x), lim_x→ℝ f(x) = (-π/2, +∞)

Df^-1 = Df_f = ℝ

∀ x ∈ ℝ ⟹ f'(x) = e^x + 1/(1+x²)

Df^-1 : = Df^-1 = (-π/2, +∞)

∀ y ≥ π/2 ⟹ d/d_y f^-1(y) = -1 / f'(x₀) = e^x + 1 /(1+x²)

d_df (1) ⟹ 1: = f(x)

1: = e^x + arctg x_o ⟶ x_o = 0

⟶ 1/(1+1) - 1 / 2

Stabilire il valore da α, se esiste, in cui la f è continua. Se α esiste calcolare l'insieme di derivabilità.

f(x) = { |x²-2x-3| + |ln(-x)| se x ∈ (-3,0) \ {-1}          x³|         α                     se x = -1

Df = (-3,0)

Esplicito i moduli

x²-2x-3 = 0          \overline{3} 1±√1+3 = 1±2   →  -1

|x²-2x-3| = {        |x²-2x-3   se  -3<x≤-1         -x²+2x+3    se  -1<x<0

|ln(-x)|

ln(x)≥0 ⟹ -x≥1 ⟹ x≤-1

|-ln(-x)| = {         ln(-x)    se   -3≤x≤-1         -ln(-x)    se   -1<x<0

|x+1| = {         x+1    se   -1<x<0         -x-1      se  -3<x≤-1

f(x) = {         |x²-2x-3|+ln(x)    se   -3<x≤-1                     ) x²+2x+3 - ln(-x)    se   -1<x<0

f è continua in D\{-1} ⟹ -1 va verificato

f(-1)=_lim^x→-1⁻ f(x) = α          = 5

Calcolo dell'integrale con la definizione

f(x) = x → ∫_a^b x dx

Δ = ^{b - a}/_n   x_i = ⁱΣ_i=1 x_i   b - a = ⁿΣ_i=1 ^{(a + i(b - a))}/_n

= ^{b - a}/_n Σ (a + ^{i(b - a)}/_n) = ^{b - a}/_n { ⁿΣ_i=1 a + ⁿΣ_i=1 i }

= ^{b - a}/_n na + ^{b - a}/_n ^{n(n + 1)}/₂

= b - a =

= ab - ^a2/₂ + ^{(b - a)2}/₂ • ^{n + 1}/_n

lim_{n → ∞} (ab - ^{2ab - 2a2}/₂ + b³ + a² - 2ab • ^h2/₂)

x_I = a + ^{i(b - a)}/_n

x₁ = a + ^{b - a}/_n

x₂ = a + 2^{(b - a)}/_n

...

x_i = a + i(^{b - a}/_n)

CALCOLARE LA PRIMITIVA CHE NEL PUNTO 1 = 1

f(x) = |x - 2| / √x

F(2) = 1

D_f = (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

⇓

USO QUESTO PERCHE' HO IL PUNTO 1

D₁ = (0, +∞)

f(x) = ∫^x₁ f(t) dt + 1   ∀ x ∈ (0, +∞)

f(t) =

{ t - 2 / √t   se   t ≥ 2

{ 2 - t / √t   se   0 < t < 2

0 1 2

1º CASO → x ∈ (0, 2)

∫^x₁ f(t) dt = ∫^x₁ 2 - t / √t dt = ∫^x₁ t^-1/2 dt - ∫^x₁ t^1/2 dt =

= 2 [t^1/2] ^x₁ - [t^3/2] ^x₁ = [4√x - 1] - 2/3 (√x³ - 1) =

=(4 - 2/3 x) √x - 10/3

2º CASO → x ∈ (2, +∞)

∫^x₁ f(t) dt = ∫²₁ 2 - t / √t dt + ∫^x₂ t - 2 / √t dt =

usare formula M.L. ordine 2 per calcolare

f(x) = √(x+1)   lim_x→0 (x²+2(sin x - x)/x(1-cos x))

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0) ^x2/₂ + o[x²] per x→0

f' = ¹⁄_2√(x+1) = ^(x+1)-1/2⁄₂ = ¹⁄₂

f'' = -¹⁄₄ (x+1)^-3/2 = -¹⁄₄

√(x+1) = 1 + ¹⁄₂ x - ¹⁄₈ x² + o[x²] per x→0

sin x = x - ^x3⁄₆ + o[x³]

cos x = 1 - ^x2⁄₂ + o[x²]

lim_x→0 ^{x2 + 2(x - x3⁄₆ + o[x3] - x - x2/2 + x3/8)}⁄_{x(x²/2 + o[x²])} =

-lim_x→0 ^{x3/12 + o[x3]}⁄_{x³/2 + o[x³]} = lim_x→0 ^{x3(-1⁄₁₂ + o[1])}⁄_{x³(1/2 + o[1])} = -¹⁄₆

Determinare le soluzioni dell'equazione

|z|² + 2|z| - z = 0

(z = x + iy, |z| = √(x² + y²))

(x² + y² + (x + iy) ⋅ √x² + y² - (x + iy) = 0

x² + y² + x√x² + y² + iy_N√x² + y² - x - iy = 0

x, iy devono = 0

{

• x² + y² + x√x² + y² = 0   parte reale
• y√x² + y² - y = 0   parte imm.

y(√x² + y² - 1) = 0 → y = 0

√x² + y = 1 => x² + y² = 1

Se y = 0

x² + x√x² - x = 0 => x² + x|x| - x = 0

        ↓ 2 casi

{

• _x > 0

2x² - x = 0 ⇒ x = 0

      x = 1/2 => (1/2, 0)

{

• _x < 0

-x = 0 ⇒ x = 0        MP

Se x² + y² = 1

1 + x - x = 0 => 1 = 0   IMPOSSIBILE

sol: 0, 1/2