Esercizi Analisi matematica I

R R R

k

−1

1 k .

A =

k −k −4

2

• k k

Stabilire per quali valori di è suriettiva e per quali valori di è iniettiva.

• k L.

Per i valori di per i quali non è suriettiva, determinare l’immagine di

3) (6 punti) Risolvere la seguente equazione in campo complesso:

3 2

− − −

(z 8)(z̄ + 8 7i)(z 2iz + 1) = 0 .

∈

k

4) (6 punti) Per ogni si consideri la matrice

R  

3 9 k

0 2 0

A = .

k  

1 9 4

• ∈

λ A k

Determinare il valore che risulta autovalore di per qualunque R.

1 k

• k λ 2 k

Determinare in modo che abbia molteplicità algebrica e stabilire se per tale valore di la matrice

1

A risulta diagonalizzabile.

k

• A

Stabilire se risulta diagonalizzabile.

−1/4

Politecnico di Milano Analisi Matematica I e Geometria

Ing. Chimica e Ing. dei Materiali Prova in itinere – PRIMA PARTE 2 febbraio 2015

Cognome: Nome: Matricola:

1. Determinare l’inversa della matrice

1 1

A = .

3 1

A

2. Determinare gli autovalori della matrice dell’esercizio precedente.

z = i.

3. Calcolare le radici seste del numero complesso

4. Risolvere il sistema lineare 2x + y = 5

−

x y = 1 .

3 3

→

L : L(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)

5. Stabilire se l’applicazione lineare definita da è iniettiva.

R R

2

B {1 − B

= + x , x 1, 7}

6. Sia . Sapendo che è una base dello spazio dei polinomi di grado minore o uguale

−1) B

(1, 3,

a 2 (non è richiesta la verifica di tale affermazione), siano le coordinate rispetto a di un certo

p(x). p(x).

polinimio Determinare (1, 2, 3) (4, 2, 1).

7. Determinare in forma parametrica la retta passante per i punti: e

√ √

2 2

− ·

z w = i z w.

8. Sia il numero complesso rappresentato in figura e sia . Rappresentare in figura

4 4

z (1, 2, 1) (3, 1, 2).

9. Determinare l’area del triangolo che ha un vertice nell’origine e gli altri due in e

−2)

r (−8, 0, 3) (5, 1, s (−2, 0, 1)

10. Sia la retta passante per con direzione e sia la retta passante per con

−1,

(1, 0). r s.

direzione Determinare la posizione reciproca delle due rette ed

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

Analisi Matematica I e Geometria (PRIMA PARTE) - 27 novembre 2015

1. Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di f (x) = arctan x nel punto di ascissa x = 1 .

2

n + sinh(n)

2. Calcolare lim .

2

n + cosh(2n)

n→+∞ 2/3 5/4

3. Senza fare calcoli, disegnare il grafico qualitativo della funzione f (x) = x + x .

− 7 2 5

4. Nello sviluppo del binomio (2x y) , calcolare il coefficiente del termine x y .

R −

x

5. Stabilire se è invertibile su la funzione f (x) = e x. −

6. Determinare il polinomio di McLaurin di quarto grado della funzione f (x) = sin x x.

7. Stabilire quante soluzioni ammette l’equazione arcsin x = arccos x nell’intervallo [0, 1].

∫ 1 5

(3x + 1) dx.

8. Calcolare 0 2

9. Determinare la pendenza massima delle rette tengenti al grafico della funzione f (x) = log(1 + x ).

∈ R

10. Stabilire per quali valori di α risulta finito e diverso da 0 il limite

( )

−

α 1

lim n 1 cos .

2

n

n→∞

Ingegneria Chimica, dei Materiali e delle Nanotecnologie

Analisi Matematica I e Geometria (SECONDA PARTE) - 27 novembre 2015

Teoria. (3 punti) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo (I) (teorema di valutazione).

Soluzione. Confrontare il libro di testo.

1. (8 punti) Si studi la funzione )

( |x|

f (x) = arctan x +1

precisandone in particolare: dominio di definizione, segno e zeri, limiti agli estremi del dominio di

definizione, eventuali asintoti, derivata, intervalli di monotonia, eventuali punti di estremo relati-

vo o assoluto, limiti della derivata, eventuali punti di non derivabilità, derivata seconda, concavità.

Disegnare poi un grafico qualitativo della funzione.

̸ −1. ∪

Soluzione. La funzione è definita per x = In x = 0 è nulla, è positiva in (−1, 0) (0, +∞) e

−1).

negativa in (−∞, π π π π

− −

lim f (x) = , lim f (x) = , lim f (x) = , lim f (x) = .

4 4 2 2

−

x→+∞ x→−∞ +

x→−1 x→−1

→

La retta di equazione y = π/4 è asintoto orizzontale per la funzione quando x +∞, mentre la retta

−π/4 → −∞.

di equazione y = è asintoto orizzontale quando x

Calcolando la derivata prima si ha, per x > 0: −

x +1 x

1 1

′ ,

f (x) = =

2 2 2

x (x + 1) 2x + 2x + 1

1+ 2

(x+1)

̸ −1,

mentre per x < 0, x = −x −

1 1

1 + x

′ −

f (x) = = .

2 2 2

x (x + 1) 2x + 2x + 1

1+ 2

(x+1)

Essendo ′ ′ −1,

lim f (x) = 1 e lim f (x) =

−

+

x→0 x→0

′ ′ −1) ∩

x = 0 è un punto angoloso. f (x) < 0 in (0, +∞) ove f risulta crescente e f (x) < 0 in (−∞,

(−1, 0), ove f risulta decrescente. Inoltre, osserviamo che

′ ′ −1.

lim f (x) = 1 e lim f (x) =

−

+

x→−1 x→−1

La derivata seconda per x > 0 è 1

′′ −

f (x) = (4x + 2),

2 2

(2x + 2x + 1)

̸ −1,

mentre per x < 0, x = 1

′′

f (x) = (4x + 2).

2 2

(2x + 2x + 1) ′′

∈

Da cui si ricava che è positiva per x (−1/2, 0). Dunque f è convessa nell’intervallo (−1/2, 0). f è

−1) ∪ −1/2) ∪ −1/2

negativa in (−∞, (−1, (0, +∞), ove f risulta concava. Il punto x = è un punto di

flesso.