Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Coclite Giuseppe Maria

Sono uno studente presso l'università Politecnico di Bari, offro appunti su tutto il programma svolto dia in analisi 1 che in analisi 2 con esempi ed esercizi svolti, il programma è il seguente: 1- Numeri reali. Insiemi numerici e proprietà. L’insieme R dei numeri reali, l’assioma di completezza. Proprietà dei sottoinsiemi di R: massimo, minimo, teorema di esistenza dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore ed applicazioni. Il principio di induzione ed applicazioni. 2- Numeri complessi. Definizione dei numeri complessi, unità immaginaria. Operazioni con i numeri complessi. Complesso coniugato, modulo di un numero complesso, argomenti di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici di un numero complesso 3- Funzioni reali. Funzioni reali di variabile reale: definizione e proprietà. Operazioni con le funzioni reali. Funzioni monotone, funzioni pari o dispari, funzioni periodiche. Le funzioni elementari dell’Analisi Matematica. Successioni di numeri reali. 4- Limiti di funzioni reali. Limite di una successione: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Esempi ed applicazioni. Punti di accumulazione di un sottoinsieme di R. Definizione di limite di una funzione reale di variabile reale, teorema di unicità del limite(*). Operazioni sui limiti. Teorema della permanenza del segno, teoremi di confronto e doppio confronto(*). Limite di una funzione composta, cambiamento di variabile nei limiti. I limiti notevoli Applicazioni allo studio dei limiti. 5- Funzioni continue. Funzioni continue e proprietà. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Teorema di Bolzano o degli zeri (*) ed applicazioni. Minimo e massimo di una funzione reale, il Teorema di Weierstrass. Il Teorema dei valori intermedi(*). Continuità delle funzioni elementari. 6- Calcolo differenziale. Definizione di derivata, funzioni derivabili. Interpretazione geometrica e cinematica della derivata. Continuit`a delle funzioni derivabili(*). Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Minimi e massimi locali di una funzione, il Teorema di Fermat(*). I Teoremi di Rolle(*), Cauchy(*) e Lagrange(*). I Teoremi di de L’Hopital e le applicazioni allo studio dei limiti. Criteri di monotonia per funzioni derivabili. Concavità, convessità, flessi. Criteri di convessità. Asintoti di una funzione. Studio del grafico di una funzione reale. Polinomio di Taylor di una funzione derivabile. Formule di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Alcuni sviluppi di funzioni elementari. 7- Calcolo integrale. Primitive di una funzione e proprietà, l’integrale indefinito di una funzione. Primitive delle funzioni elementari. Tecniche di integrazione indefinita: integrazione per parti, per sostituzione ed applicazioni. Integrale di Riemann e suo significato geometrico, l’area di un rettangoloide. Proprietà dell’integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni monotone e delle funzioni continue. Media integrale e teorema del valor medio(*). Esistenza delle primitive(*). Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Formula fondamentale del calcolo integrale(*). Applicazioni al calcolo di aree di domini del piano. 8 - Integrali impropri e serie numeriche. Integrali impropri ed applicazioni, criteri di integrabilità. Serie numeriche: definizioni ed esempi. Operazioni con le serie. Condizione necessaria di convergenza(*). Serie a termini di segno costante(*). Serie geometriche(*). Criteri di convergenza: criterio del confronto, criterio del confronto asintotico, criterio della radice e del rapporto, criterio dell’integrale. Convergenza assoluta di una serie. Serie a segno alterno, criterio di Leibnitz. 9 - Equazioni differenziali. Generalità sulle equazioni differenziali, equazioni differenziali lineari, problemi di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine(*). Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti, principio di similarità. 10 - Funzioni di più variabli reali. Lo spazio vettoriale R^N . Norma e prodotto scalare in R^N . Topologia dei sottoinsiemi di R^N : insiemi aperti, insiemi chiusi, insiemi connessi, punti di accumulazione. Funzioni reali di più variabili reali: definizione e proprietà, operazioni con le funzioni di più variabili. Limite di una funzione di più variabili e proprietà. Funzioni continue e loro proprietà. 11- Calcolo differenziale per funzioni a più variabili. Derivate parziali di una funzione. Funzioni differenziabili, piano tangente al grafico di una funzione. Continuità delle funzioni differenziabili(*). Gradiente di una funzione in un punto. Derivata direzionale di una funzione e suo significato geometrico. Derivata delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore, il Teorema di Schwartz. Il Teorema di Lagrange(*), formula di Taylor con il resto di Lagrange. Minimi e massimi locali per una funzione reali di più variabili, il teorema di Fermat(*). Punti stazionari di una funzione di più variabili e loro classificazione, matrice hessiana di una funzione. Cenni sulle funzioni a valori vettoriali, la matrice Jacobiana. Proprietà delle curve, curve regolari, lunghezza di una curva(*). Integrali curvilinei. Campi vettoriali conservativi. Irrotazionalità dei campi conservativi(*). Integrale curvilineo di campi conservativi(*). 12 - Integrali multipli. Cenni sulla teoria della misura di Peano-Jordan in uno spazio euclideo R^N : insiemi misurabili, area e volume. Cenni sulla definizione di integrale di Riemann di una funzione su un insieme misurabile. Integrale doppio di una funzione su un dominio misurabile del piano. Formule di riduzione di integrali doppi su domini normali del piano. Integrali doppi in coordinate polari.