Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Insiemi
- ℕ numeri naturali
- ℕ = {0, 1, 2, ...}
- ℕ* = ℕ \ {0}
- ℤ interi relativi
- ℤ = {0, ±1, ±2, ...}
- relazione con ℕ - ℕ ⊆ ℤ
- n ∈ ℕ ⇒ n ∈ ℤ (ℕ ⊆ ℤ)
- ℚ numeri razionali
- ℚ = {n⁄m | n ∈ ℤ, m ∈ ℤ*}
- ℝ numeri reali
- ℝ = {π, √2, √5, ...}
- n. irrazionali
ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ
Operazioni tra insiemi
∑, ——> ∀x, y ∈ ℝ: x + y ∈ ℝ, x ⋅ y ∈ ℝ
quantificatore universale
∃: esiste ∃!: esiste l’unico
doppio tale che: "t. c.", ": l", ":"
dopo "risiete":
Proprietà associativa: ∀x, y, z ∈ ℝ: (x + y) + z = x + (2 + y), (x - y)⋅z = x⋅(y⋅z)
Proprietà distributiva: ∀x, y, z ∈ ℝ: x⋅(y + z) = xy + xz
Proprietà commutativa: ∀x, y ∈ ℝ: x + y = y + x, xy = yx
Proprietà di ordinamento totale (n.b. nello spazio non vale) ∀x, y ∈ ℝ*, x + y < x < y opp. y < x
Dimostrazione
√2 ∈ ℚ (per assurdo)
Per assurdo suppongo che √2 ∈ ℚ
Quindi:∃n, m ∈ ℤ t.c. √2 = n/m = n/m
Non è restrittivo supporre che n ed m siano primi tra loro → dopo la semplificazione
√2 = n/m → √2m = n → m√2 = n → 2m2 = n2 pari → n pari
Poiché n è pari ess:re k ∈ ℤ t.c. n = 2k
√2 = n/m = 2k/m → m = 2k/√2 → m2 = 4k2/2 → m2 = 2k2 → m2 pari ↓
m pari
→ n ed m non sono primi tra loro → ASSURDO
□ → s:gnifica la dim:stra.
Proprietà: ipotesi del continuo → ∀x,y ∈ ℝ, x<y ∃q ∈ ℚ t.c. x<q<y
ℚ ↓
x+y
21/09/22
Teorema:
Sia A C IR. Risulta
A limitato superiormente ∃ℓ ∈ + piccolo dei maggioranti
es. A = [0, 1]
considerazioni : 1) 1 maggiorante2) + uno3) M maggiorante di A M > 1
Sia A C IR limitato superiormente. ℓ è il piccolo dei maggiorantiSi chiamano estremo superiore e si denota con sup A
N.B. differenza con max A:sup A c'è sempre, max A no
> è preferibile usare sup A
Teorema:
Siano A C IR limitato superiormente e ℓ ∈ IR.Risulta :
M = sup A < 1) ∀ x ∈ A. x ≤ M (ℓ maggiorante)2) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A t.c. M-ε < x
> M = ℓ+ piccolo dei maggioranti
Siano A C IR limitato inferiormente e m ∈ IR.Risulta :
m = inf A 1) ∀ x ∈ A. x ≥ m (υ minorante)2) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ A t.c. m + ε > x
> m = inf + grande dei minoranti
∀ x ∈ IR
x = sup aa ∈ IRa < x
x = inf aa ∈ IRa > x
es. √2 = sup aa ∈ IRa < √2
|z| = 2
|z - 2i| <= 3
centro: 3-4i r: 5
|z - 8i| >= 7 |z - 8-0i| > 7
π <= arg(z) <= 3π/4
x + iy x² + y² = 2² → |z| = √2
z = -2/z → z² = -2 ∅
ex+iθ = ex(cosθ + isenθ)
di variabile reale
A ⊆ IR
g0: A → IR
x ∈ A → g(x)
di variabile reale
Codominio: IR
dominio: X ∈ IR
è grafico di una funzione perché Gg = {(x,g(x)) | x ∈ A } ∈ IR2
non solo posso prendere gli elementi di A, ma posso prendere solo questi
monotonia
g è monotona (strettamente) crescente se e solo se
∀X, X'1 ∈ A: X < X' ⇒ g(X) < g(X')
( g(X')
(>)
Prendo:
- 2 elementi diversi
- 2 elementi diversi in ordine (solo in IR)
esempi
g: IR → IR, g(x)=7
g non crescente e decrescente
x ≠ x1, x) g(x1)=7
non strettamente
Funzione potenza
ricorda ... le potenze
x ∈ ℝ x2 = x · x x3 = x · x · x xn = x · ... · xn volte
- a0 = 1
- 00 = 1 per a ≠ 0 00 = ?
- (a · b)x = ax · bx
- (ax)y = ax·y
- ∀ a, b ∈ ℝ ∀ x ∈ ℝ: ax · bx = (a·b)x
Esponente intero
n ∈ ℕ g : ℝ → ℝ
g(x) = xn
Dom(g) = ℝ
Im(g) =
- ℝ+ se n = 0
- ℝ+ se n ≠ 0 pari
- ℝ se n ≠ 0 dispari
Iniettura
- no
- no
- sì
Simmetrie
- 0
- pari
- dispari
Monotonia
- Importanza ∀a non strettamente
- no
- Strettamente crescente
FUNZIONI
trigonometriche
ricorda...
- radianti = lunghezza dell'arco
- 360° = 2π angolo giro
- 180° = π angolo piatto
- 90° = π/2 angolo retto
- 45° = π/4
- 30° = π/6
- 60° = π/3
N.B. seno preferiti al gradi e non devono sommarsi e sottrarsi 360°
- dom e Im
- sin ∈ ℝ
Formula fondamentale della trigonometria
- cos²(Θ) + sin²(Θ) = 1
- -1 ≤ sin(Θ) ≤ 1
- -1 ≤ cos(Θ) ≤ 1
Formule di duplicazione
- cos(2Θ) = cos²(Θ) - sin²(Θ)
- sin(2Θ) = 2 sin(Θ)cos(Θ)
sin: ℝ → ℝ
cos: ℝ → ℝ
Im(sin) = Im(cos) = [-1, 1]
monotonia = No
periodicità = T = 2π
simm:
- pari
- dispari
Teorema ∀n ∈ N \ {0,2} √2 ∉ Q (Dim(n=2) banali)
n > 2 Teorema l'ultimo teorema di Fermat
- ∀n ∈ N \ {0,1,2} l'equazione: xⁿ + yⁿ = zⁿ
- non ha soluzioni non banali in N
La dimostrazione venne presentata nel 1995 da Wiles (Princeton) dal quale 200 pag !!!!
Se n=2 x²+y²=z² era risolto con la trigonometriaSe n>2 ?
Dimostrazione (x assurdo)
Supponiamo x assurdo che √2 ∈ Q
∃ m,a ∈ N primi fra loro t.c. √2 = m/a
m² = 2a² ⇒ mⁿ = aⁿ: 2 ⇒ aⁿ + aⁿ = mⁿ
x=a, y=a e z=m sono soluzioni di xⁿ + yⁿ = zⁿ
e questo contraddice l'ultimo teorema di Fermat ⬜
Esempio
sin(arcsin(x)) = xarcsin(sin(x)) = ?
sin(arcsin(x)) = x x ∈ [-1,1], arcsin(x) ∈ [-π/2, π/2]
sin(arcsin(x)) ∈ [-1,1]
≈ il seno cancella e l'arcsin (NO) non accade il contrario(è ristretto deve appartenere a Im(arcsin)) [-π/2, π/2]Inoltre due arcsin è l'inverso di sin tedesca⟩
arcsin(sin(θ)) = arcsin(sin(θ)) = θ
sin(θ) = sin(θ) sin(1 ± θ) ∈ [-π/2, π/2]
Deve trovarsi un angolo θ ∈ [-π/2, π/2]
sin(θ) = sin(0) O θ = 0
arcsin(sin(0)) = arcsin(sin(0)) = 0
N.B. arcsin(sin(π)) = π
= 0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
