Teoremi analisi 1

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE

∈

Siano {a } cR, l R. Se {a } converge ad l, allora l è unico.

n ncN n

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo per assurdo che a converga a due valori distinti l < l

n 1 2-

−l

l 2 1 ∈

ε

=

Scegliamo . In corrispondenza di , esistono N N N t.c. :

ε 1, 2

2

| |

∀ −l <

N ≥ N : a ε

 1 n 1

| |

∀ −l <

N ≥ N : a ε

 1 n 2

∀ {N }

n≥ max , N

Quindi :

1 2

{ −l +l

3 l l

1 2 1 2

< <

ε

{

−ε< −l <

a ε 2 2

n 1 +l −l

l 3l

−ε< −l <

a ε 1 2 2 1

n 2 < <

ε

2 2

∎

Il che è assurdo

TEOREMA DEL DOPPIO CONFRONTO o DEI CARABINIERI o DI

CONVERGENZA OBBLIGATA

Siano ∈

{a }, {b }, {c } c R, l R. se

n n n

∃ =l

lim a

1. n

n→∞

∃ =l

lim c

2. n

n→∞

∀ n∈ N :a ≤b ≤ c

3. n n n

∃ =l

lim b

Allora n

n→∞

Dimostrazione | |

∀ ∃ ∈∨N ∀

>0, −l <

ε N t . c . n ≥: N b ε

∈

Dato l R, dobbiamo berificare che n

>

ε 0 ε

Fissiamo . Per la definizione di limite, in corrispondenza di , risulta che

| |

∃ ∈∨N ∀ −l <ε

N t . c . n≥ N : a

 1 1 n

| |

∃ ∈∨N ∀ −l <ε

N t . c . n≥ N : b

 2 1 n

∀ {N } +l< <ε +l +l<b <ε +l

n≥ max , N ε a ε

Quindi : - ; -

1 2 n n

∀ {N } <

n≥ max , N l−ε< a ≤ b ≤ c ε+ l∎

Alla luce delle nostre ipotesi, risulta che :

1 2 n n n

TEOREMA DI BOLZANO o DEGLI ZERI

Sia f:[a,b] –> R una funzione. Se

1. f(a)f(b)<0

2. f è continua

( )

=0

t . c . f x

o

allora ∃ ∈¿ ¿

x a , b

o

Dimostrazione

( ) ∃ =x

lim a

a+b n 1

se f =0

 dimostrazione n→∞

2 ∃ =x

lim b

n 2

terminata n→∞

Quindi

b−a

−a =

se 0<b

  ( )

b−a

n n n

2 ( )

−a =lim =0

x 2−x 1=lim b 

n n n

2

{a } È CRESCENTE n→ ∞ n→∞

n ( ) ( )

>0, <

se F b F a 0

  x =x =x

1 2 0

n n ( ) ( )=f ( )−f

= (x )≤

lim f a lim f x x 0

È DECRESCENTE

{b } n o

n n →∞ x→ x o

( ) ( )=f

= ( )

Per il teorema di regolarità delle lim f b lim f x x ≥0

n o

n →∞ x→ x

successioni monotone o

( )