Teoremi analisi 1

CONVERGENZA OBBLIGATA

Siano ∈{a }, {b }, {c } c R, l R. sen n n∃ =llim a1. nn→∞∃ =llim c2. nn→∞∀ n∈ N :a ≤b ≤ c3. n n n∃ =llim bAllora nn→∞Dimostrazione | |∀ ∃ ∈∨N ∀>0, −l <ε N t . c . n ≥: N b ε∈Dato l R, dobbiamo berificare che n>ε 0 εFissiamo . Per la definizione di limite, in corrispondenza di , risulta che| |∃ ∈∨N ∀ −l <εN t . c . n≥ N : a 1 1 n| |∃ ∈∨N ∀ −l <εN t . c . n≥ N : b 2 1 n∀ {N } +l< <ε +l +l<b <ε +ln≥ max , N ε a εQuindi : - ; -1 2 n n∀ {N } <n≥ max , N l−ε< a ≤ b ≤ c ε+ l∎Alla luce delle nostre ipotesi, risulta che :1 2 n n nTEOREMA DI BOLZANO o DEGLI ZERISia f:[a,b] –> R una funzione. Se1. f(a)f(b)<02. f è< ℑy , y f , y y : y y c f> <p>continua( )=0t . c . f xoallora &exist; &isin;&iquest; &iquest;x a , boDimostrazione( ) &exist; =xlim aa+b n 1se f =0 dimostrazione n&rarr;&infin;2 &exist; =xlim bn 2terminata n&rarr;&infin;Quindib&minus;a&minus;a =se 0<b  ( )b&minus;an n n2 ( )&minus;a =lim =0x 2&minus;x 1=lim b n n n2{a } &Egrave; CRESCENTE n&rarr; &infin; n&rarr;&infin;n ( ) ( )&gt;0, &lt;se F b F a 0  x =x =x1 2 0n n ( ) ( )=f ( )&minus;f= (x )&le;lim f a lim f x x 0&Egrave; DECRESCENTE{b } n on n &rarr;&infin; x&rarr; x o( ) ( )=f= ( )Per il teorema di regolarit&agrave; delle lim f b lim f x x &ge;0n on &rarr; x&rarr; xsuccessioni monotone o( ) ∎=0f xQuindi oTEOREMA DEI VALORI INTERMEDIf : A &rarr; R f ASia una funzione. Se &egrave; continua e &egrave; un intervallo, allora Im(f) &egrave; unintervalloDimostrazioneDobbiamo dimostrare che [ ]( ) ( )&forall; &isin; &image; &lt; &image;y , y f , y y : y y c f 1 2 1 2 1 2Ossia che &image;( )&isin;y f ( )&forall; &isin; &forall;</p>$\in$¿ℑ < ¿y , y f , y y : y y y1 2 1 2 1 2( )∃ ∈ =x A t . c . f x yo o o ( )∀ ∈ ∀ ∈¿ℑ < ¿y , y f , y y : y y y1 2 1 2 1 2< <y y y∈ ℑ(f )y , ySiano , fissato1 2 1 0 2( ) ( )∃ ∈ = =x A t . c . f x y , f x y → x ≠ xo 1 1 2 2 1 2 [ ] ( )=f ( )−<x x g : x x → R ; g x x ySupponiamo che Consideriamo la funzione .1 2 1 2 og è continua g (x )=f(x ) – y = y -y <0 1 1 0 1 0g (x )=f(x ) – y = y -y >0 2 2 0 2 0 ( ) ( ) ∎=0→ =t . c . g x f x yo o 0per il teorema degli zeri, ∃ ∈¿ ¿x x xo 1 2TEOREMA DI CONTINUITÀ DELLE FUZNIONI DERIVABILI→R . Se f è derivabile, allora f è continuaSia ¿f :¿ a , bDimostrazione¿Fissiamo . Dobbiamo dimostrare che∈ ¿ ¿x a , bo ( )=f∃ (x )lim f x 0x→ x 0Risulta che ( ) ( )−ff x x o( ) ( )

=¿ ( )−f ⌊ ∎[f + ( )]= +f ( )⌋=f ( )f x lim x x f x lim x−x x x0 0 0 0 0x−x x→ x x→x 00 0 ¿limx→ x 0

TEOREMA DI FERMAT[ ] ∈[a ]f : a , b → R e x ,bSia . Se01. f è derivabile¿2. ∈ ¿ ¿x a , bo' ( )=0f xAllora 0

DimostrazionePoiché x è massimo relativo interno:0 ¿ ∃δ >0 ¿ −δ + ]a ¿t . c . x , x δ[c , b0 o( )≤ ( ):f x f x 0 ∀ ∈¿ −δ + ¿x x , x δ0 o( )−f (x )f x+¿ ox → x ≤ 00 x−x o¿lim¿( )−f ( )f x x−¿ ox → x ≥ 00 x−x o¿lim¿' ( ) ∎=0f x 0

TEOREMA DI ROLLE[ ]f : a , b → RSia una funzione. Se1. f è continua2. f è derivabile3. f(a)=f(b)' ( ) =0t . c . f x 0allora ∃ ∈¿ ¿x a , b0

Dimostrazione [ ] [ ]∈ ∀ ∈ (x

≤ (x )x x a ,b t . c . x a , b : f fPer il teorema di Weierstrass, esistono .1 2 1 2Distinguiamo due casi: [ ]CASO 1: ( )=f ( )=f ( )∀ ∈x a , b :f a x b{ }∈x , x a , b , quindi: ' ( )=0: f x1 2 Quindi f è costante e ∀ ∈¿ ¿x a , b[ ] ( ) ( ) ( )∀ ∈x a , b :f a ≤ f x ≤ f bCASO 2: ' ( ) ∎=0f xPer il teorema di Fermat, 1]( ∈ ¿oppure x a , b2 .∈ ¿ ¿x a ,b1TEOREMA DI LAGRANGE O DI INTERPOLAZIONE LINEARE[ ]f : a , b → RSia una funzione. Se1. f è continua2. f è derivabile '( )−f ( )=f (x )(b−a)t . c . f b a 0allora ∃ ∈¿ ¿x a ,b0Dimostrazione [ ]( )−f ( )f b a[ ] ( )=f ( )− ( ) ( )+g : a ,b → R , g x x x−a f aConsideriamo la funzione b−aOsserviamo cheg è continua e derivabile g(a)=g(b)=0 ' ( ) =0.t . c . g x 0quindi per il teorema di Rolle ∃ ∈ ¿

¿x a , b0[ ] [ ]( )−f ( ) ( )−f ( )f b a f b a( )' x( ) ( )− ∎=f =g ' x ' x fPoiché , si ha 0b−a b−aTEOREMA DI CAUCHY[ ]f , g : a , b → RSiano due fuznioni. Sef e g sono continue f e g sono derivabili [ ] [ ]' '( ) ( )( )−g ( ) ( )−f ( )=gt . c . f x g b a x f b a .0 0allora ∃ ∈¿ ¿x a ,b0Dimostrazione [ ][ ][ ] ( )= ( ) ( ) ( )−g ( ) ( )−f ( )−g(a)]−f −[f (a)][h : a , b → Rh x f x a g b a b g xSi consideri la funzione ( ) −h(a)h b(x )=t . c . h ' 0 b−aPoiché h è continua e derivabile, per il teorema di Lagrange .∃ ∈ ¿ ¿x a , b0Osserviamo che [ ]' '( )=f ( ) ( )−g ( ) ( )−f ( ) −g ( [f ]h x x g b a ' x) b a( ) =0=h(b)h a [ ]' '( ) ( )( )−g ( ) ( )−f=g [f (a)]∎f x g b a x bquindi 0 0TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE[ ]f :

a,b → R

Sia una funzione. Se f è integrabile, allora

b₁ ∫ ^¿(f) = [a,inf] f ≤ f(x) dx , b]

Se inoltre f è continua si ha

b₁ ∫[a,b] (f) ( )∃ ∈ [a , b] t . c . f(x) = f(t) dx

Dimostrazione 1: ={a }P , b

Consideriamo la partizione banale 0∫ ^¿(f)(b-a)inf = s (f) ≤ (f) ≤ (b-a) [a,f] f(x) dx ≤ S , P , b]

f(0) = 0

[a,b] a

Dimostrazione 2: Inoltre, per il teorema dei valori intermedi

Per il teorema di Weierstrass (1) diventa ( )=[minℑ ]f f , max fb1 [a,b]

∫ (f) min f ≤ f(x) dx = max f

Quindi

b₁ ∫ (f) ( )∈ ∎ℑf(x) dx f

Ossia (2).

b-a