Analisi 1 e 2 -appunti completi di tutto il programma

Analisi

Notazioni e quantificatori

∀ per ogni
∃ esiste
∃! esiste uno e un solo
∈ appartiene
∀x ∈ P; x ∈ Q
∃x ∈ P; x ∈ Q
s.c. tale che (3°) ⇒ implica ⟺ se e solo se

Insieimi A e B

• ⊂ contenuto A ⊂ B
• ∀x ∈ A : x ∈ B
• ∩ intersezione x ∈ A e x ∈ B
• A ∖ B privato x ∈ A e x ∉ B
• A ∪ B unione x ∈ A opp x ∈ B

Notazioni e quantificatori

∀ per ogni
∃ esiste
∃! esiste uno e un solo
∈ appartiene
∀x ∈ P: x ∈ Q
∃x ∈ P: x ∈ Q
t.c. tale che (3!) ⇒ implica ⇔ se e solo se

Insieimi A e B

• ⊆ B insiemi:
• ⊂ contenuto A ⊂ B
• ∀x ∈ A: x ∈ B
• ∩ intersezione x ∈ A e x ∈ B
• \ privato x ∈ A e x ∉ B
• ∪ unione x ∈ A opp x ∈ B

Insiemi numerici

N: Insieme numeri NATURALI: {0, 1, 2, 3...}
Z: Insieme degli interi RELATIVI: {... -2, -1, 0, 1, 2...}
Q: insieme dei numeri RAZIONALI n m₀ e Z
IR: numeri REAL = razionali e irrazionali
irrazionali N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ IR ⊆ C

Dimostrazione per assurdo

Tra tutti gli m e Z sche m s/n niente di + piccolo di ... esist ... fr ... primo tra m e n
√2 = m/n ᵐ/_2k m anche √2/2 non ...
Se m ... Non posso essere pri...

Numeri complessi

C: numeri COMPLESSI
Def.: z ϵ (c c) z ϵ (R...; ... x ... t.c x ... reali di zx=0
C = ... immaginario PURO
Piano con numeri e R Panch
Piano cartesiano Piano complesso

Proprietà di ℝ

1. ∀x,y ∈ ℝ: x+y, x-y ∈ ℝ
2. Associativa ∀x1,x2 ∈ ℝ: (x1+x2)+z = x1+(x2+z)
3. Commutativa ∀x,y ∈ ℝ: x+y = y+x
4. Distributiva ∀x,y ∈ ℝ: x(y+z) = xz+yz
5. Ordine totale ∀x1,x2 ∈ ℝ: x≠y ⇔ xy
6. ∀x,y,z ∈ ℝ: x ≤ y ⇒ x + z
7. Regola dei segni ∀x,y,z ∈ ℝ: x ≤ y, z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz
8. Assioma di completezza ∀p,q ∈ ℚ, p

Proprietà di ℂ

• Somma (x, y1) e (x, y2) = (x, y1+y2) z = x₁ + iy₁ z₂ + z₁ = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)
• Coniugio z = x + iy Coniugato z = x - iy 3 + 3i 8i - 8i
• Prodotto per uno scalare (x, y) ∈ ℝ a(x, y) = (ax, ay)
• Prodotto z = x - iy · z = x · i · y zz = (x - y) + i(x - y) (x€x) + (i€)
• Quoziente z₁/₂ ∈ ℂ, z₁ ≠ 0 z = x + iy

1. Associativa ∀z1,z2 ∈ ℂ: (z₁z₂)z = z₁(z₂z)
2. ∀z1,z2 ∈ ℂ: z1z2 ∈ ℂ
3. Commutativa ∀z1,z2 ∈ ℂ: z1z2 = z2z₁
4. Distributiva ∀z1,z2 ∈ ℂ: z(z₁+z₂) = zz₁+zz₂

Rappresentazione trigonometrica (polare)

Rappresentazione algebrica: ^x+iy
Trigonometrica: v z_p (cos(θ) + i sin(θ))
x=ρ cos(θ) y=ρ sin(θ) z_p=|z|=modulo=√x²+y² θ=argomento=arctg^y/x xyiyπ/23/2ππ0 Re(z)

Espomenzialo in C

e^iθ=cos (θ)+ i sin (θ)
z= ρ(cos(θ) + i sin(θ))= ρe^iθ
Formula di Eulero e^iθ=cos θ + i sin θ

Radici in C

1. x ≥ 0 x ∈ R √z è l'unico numero positvo che elevato al quadrato dà x

√z = ± z^1/2 sino positiviche negotivi

1. ∀z ∈ C¹: |z|= z
2. ∀z ∈ C, ∀n ∈ N: | zⁿ | = |z|ⁿ

z_m z= ρ (co