Analisi 1 e 2 -appunti completi di tutto il programma

02/10/2021

ANALISI

Notazioni

• Quantificatori universali
• ∀ per ogni
• ∃ esiste
• ∃! esiste uno e un solo
• ∈ appartiene

∀ x ∈ P, x ∈ Q

∃ x ∈ P : x ∈ Q

• t.c. tale che
• ⇒ implica
• ⇔ se e solo se

per insiemi A e B insiemi:

• c contenuto

A ⊆ B

∀ x ∈ A : x ∈ B

• n intersezione

x ∈ A e x ∈ B

• p privato

x ∈ A e x ∉ B

• u unione

x ∈ A opp x ∈ B

Insiemi numerici

• N: Insieme numeri naturali _{0, 1, 2, 3}
• Z: Insieme degli interi relativi _{-2, -1, 0, 1, 2}
• Q: Insieme dei numeri razionali
• IR: Numeri reali - razionali e irrazionali

Q ∉ IR (Dim. per assurdo)

Dimostrazione: per assurdo

• Supponiamo che la tesi sia falsa
• Esiste un n ∈ Z

C: Numeri complessi

• i: Unità immaginaria

f : A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ

Iniettiva (iniettiva)

∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriettiva (suriettiva)

∀ y ∈ B ∃ x ∈ A t.c. f(x) = y

f suriettiva ⇒ Im(f) = B

Biiettiva (biiettiva)

∀ y ∈ B ∃! x ∈ A t.c. f(x) = y

una f-iniettiva che suriettiva −→ se è biiettiva si può invertire

a ∈ [0; 5]

d: { x ≤ 5

c: x ≤ 5

1. ^⎧d x ≤ 5_⎭

2. ^⎧x ∈ [0; 2] f(x) = x f(a) = x_⎭

3. ^⎧f(x) = x f(b) = c, 2⋁ 3_⎭

1. f iniettiva? Si_no f(x) ≠ f(x)

2. f suriettiva? No ^{f(x) ≠ α ≠ B}

3. f biiettiva? NO f ≤ x f(x) = x

f(x₁) ≠ f(x₂)

- Come capire se è iniettiva o suriettiva dal grafico

Iniettiva

»

iniettiva perché t.c. il grafico una volta

allel'asse

9^{▼ y} 9

7

2

Suriettiva

non è suriettiva

perché proiettando il grafico su y non corrisponde a [e codom]

- Ristretta

g |^A B ... C ⊂ A

la funzione è ristretta di f a C

f |C : C→ B t.c. f |^{C(x) = f(x)}

- Composta

- f | A ⊆ R → B

… g : C → D … Im(|c) C

La funzione composta

(g∘f) : A→ D g(|^g(x)) g∘g(f)∘^B∘g∘∋

limitation

f |A ^C⊂ R … sup(⊂)

if

In (|g) ∈ Im(f)

» f LIMITATA se Im(f) è limitato Obtener se scrive

- sup⟺ sup Im(|c) Im⟹ A ⟸

Insiemi Limitati

A ⊂ ℂ | ℝ

• def: A è limitato <=> ∃ m, M ∈ ℝ t.c. A ⊂ [m,M]
• A è limitato superiormente se ∃ M ∈ ℝ t.c. A ⊂ ]-∞, M]
• A è limitato inferiormente se ∃ m ∈ ℝ t.c. A ⊂ [m, +∞[
• A è illimitato se non è limitato

insiemi elementari: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

• 1/m, 1+π, t.c. A ⊂ [m, +∞[

A limitato:

• ∃ m, M ∈ ℝ t.c. A ⊂ [m,M] (1 <=>)
• ∃ m, M ∈ ℝ t.c. ∀ x ∈ A: m ≤ x ≤ M (2 <=>)
• A = ∅ <=> 0 t.c. ∀ x ∈ A: -M ≤ x ≤ M => intervallo simmetrico

A limitato def

A ⊂ ℂ | ℝ

M ∈ ℝ

• è un maggiorante di A se ∀ x ∈ A: x ≤ M
• m ∈ ℝ è un minorante di A se ∀ x ∈ A: x ≥ m

1. se A è limitato allora esistono maggioranti e minoranti di A

A limitato def

H ∈ ℝ

• si dice massimo di A (H = max A)
• se 1) H ∈ A
• 2) ∀ x ∈ A x ≤ M

A = A+ e

oss 1.5

1. se mim A esiste allora e il più grande dei minoranti

A ⊂ ℂ | ℝ

m ∈ ℝ

def

M si dice estremo superiore di A (M = sup A)

• 1) se ∀ x ∈ A x ≤ M
• 2) ∀ e>0 ∃ x ∈ A t.c. M - e < x

E ficiop o c o o o o o o o o o o o l

M - e

oss

• M è un maggiorante di A
• M - e è un maggiorante di A
• non detto che sup A ∈ A
• se sup A ∈ A allora A ammette massimo e max A = sup A

A ⊂ ℂ | ℝ

def

M si dice estremo inferiore di A (m = inf A)

• se 1) ∀ x ∈ A: x ≥ m
• 2) ∀ e>0 ∃ x ∈ A t.c. m+e >x

• m minore minorante di A
• sup A ⊂ ±
• m ∈ A max minore ≤ A minorante di A ancora ⊃

A ∈ [2,5]]

• min per A 3 5
• sup A 5

Successioni

• f: N -> R
• {a_n} con (a_n)_n ∈ R

Successioni monotone:

• Crescente (a_n ≤ a_n+1)⇔x ∈ (x_k, c)
• a_m∈ L E (R E) è CRESCENTE ⇔∀n∈N a_n ≤ a_m

Si dice numero primo il numero tra m e n...

Limiti di successioni

Sia (a_n)_n∈R una successione e l ∈ R

Si dice che (a_n)_n CONVERGE ad l e si scrive

lim a_n=ln → ∞

∀ε>0 ∃N∈N t.c. ∀n∈N: |a_n-l|