Risposte aperte di Fondamenti di automatica aggiornate al 2023

DOMANDE APERTE

LEZIONE 3

1. Riportare la rappresentazione nello spazio di stato di un generico sistema di ordine n.

Commentare il ruolo dei vari coefficienti, delle variabili e delle funzioni coinvolte.

quanto appena detto, la descrizione nello spazio di stato di un sistema è

-Generalizzando

♣ ∈

è il vettore – dimensionale di stato, con detto ordine del sistema

R

♣ ∈

è il vettore – dimensionale delle condizioni iniziali

= R

0 0

♣ ∈

è il vettore – dimensionale delle variabili di uscita

R

□

♣ ∈

è il vettore dimensionale delle variabili di ingresso

R

♣

La funzione definisce l’equazione di stato. La funzione è detta funzione di

trasformazione di uscita.

♣ Nella rappresentazione con lo spazio di stato, quindi, il legame funzionale causa –

effetto è rappresentato tramite due equazioni:

♣ ▪L’equazione di stato descrive come, in funzione delle variabili di ingresso e delle

condizioni iniziali, lo stato del sistema varia

♣ ▪La funzione di trasformazione d’uscita descrive l’andamento temporale delle variabili di

interesse in funzione delle variabili di ingresso e dello stato del sistema

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LEZIONE 4 lOMoARcPSD|985 298 2

5. Si definisca formalmente e si commenti la proprietà di stabilità asintotica

Un sistema soggetto ad un evento si dice stabile se l’evento origina in alcuni elementi

un’evoluzione di tipo ripetitiva ma limitata in ampiezza. La condizione di equilibrio può

essere diversa da quella iniziale. Si ha una condizione di instabilità se, a seguito di un

evento. Il sistema si allontana indefinitamente dalla condizione di equilibrio.

Ma si può definire uno stato di equilibrio asintoticamente stabile se:

CONDIZIONE N.1 è stabile ovvero se valgono le equazioni della stabilità;

CONDIZIONE N.2 se la differenza tra il movimento perturbato, quello che si origina dal

punto dal punto sufficientemente vicino da x barrato, e il movimento nominale è uguale a

zero per t che tende a infinito.

In presenza di perturbazioni il movimento perturbato tende a coincidere con quello

nominale, esempio la massa tende a ritornare nella posizione iniziale.

Stabilità in funzione degli autovalori

Si consideri un sistema LTI con autovalori = ± con = 1, ... , . In base al

precedente teorema, siamo in grado di decidere riguardo la stabilità asintotica e

l’instabilità del sistema nel caso in cui ≠ 0. In particolare,

• Se il sistema ha tutti autovalori a parte reale negativa il sistema è

asintoticamente stabile

• Se c’è almeno un autovalore a parte reale positiva il sistema è instabile

• Se il sistema ha tutti autovalori a parte reale negativa e uno o più autovalori a

parte reale nulla, in base al teorema precedente si può solo concludere che il

sistema non è asintoticamente stabile (potrebbe essere semplicemente stabile

oppure instabile)

6. A partire da un sistema descritto nello spazio di stato, mostrare il procedimento per il calcolo degli stati

di equilibrio.

Esempio: si può prendere in considerazione come sistema un pendolo per poterlo usare come dimostrazione

delle diverse tipologie degli stati di equilibrio.

Nel caso si voglia descrivere il calcolo dello stato di equilibrio stabile, in termini matematici si può dire che se

si parte sufficientemente vicino da x barrato e se i movimenti dello stato che si originano da questo stato

iniziale, sono limitati allora si può dire che si esegue il movimento perturbato meno il movimento nominale ed

è minore di una certa costante epsilon, in questo caso si è calcolata la stabilità dello stato di equilibrio.

LEZIONE 7

3. Si descriva il fenomeno della risonanza in riferimento a sistemi dinamici di secondo grado

La risonanza (armonica), dunque, è un fenomeno che si presenta in sistemi dinamici che hanno

movimenti oscillatori e che sono forzati con un segnale la cui frequenza è pari a quella del sistema

l’ampiezza

in condizioni libere (senza forzamento). Quando un sistema è in risonanza, della risposta

del sistema è massima. Questa caratteristica, che come abbiamo visto può portare a conseguenze

non desiderabili, può comunque rappresentare un utile informazione. Infatti, può essere di interesse

l’ampiezza

capire qual è massima della risposta di un dato sistema.

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4. Derivare le condizioni matematiche per cui un oscillatore forzato entra in risonanza

Quando si forza un oscillatore con un segnale che ha la stessa frequenza del sistema ( =

□

) si ha quindi un incremento anche notevole dell’ampiezza della risposta. In assenza di

∞.

smorzamento tale incremento porta al valore

♣

l’ampiezza

Nel caso generale (reale), in cui sia presente una forza di smorzamento, per =

0 2 0

2 − → 0

è = 1 2 2 + 2 = ossia per

l’ampiezza della risposta del sistema cresce.

♣ L’interpretazione fisica di questo risultato è che se un sistema viene sollecitato da un segnale che

ha la stessa frequenza del sistema, in assenza di un opportuno valore dello smorzamento, il sistema

tende ad esplodere.

♣ La risonanza (armonica), dunque, è un fenomeno che si presenta in sistemi dinamici che hanno

movimenti oscillatori e che sono forzati con un segnale la cui frequenza è pari a quella del sistema in

condizioni libere (senza forzamento).

LEZIONE 9

12. Quale relazione sussiste tra l'evoluzione dello stato di un sistema LTI e i suoi modi naturali? Fornire

un esempio pratico lOMoARcPSD|985 298 2

13. Per quale motivo è importante conoscere la risposta all'impulso di un sistema? Scrivere l'espressione

della risposta dell'uscita all'impulso di un sistema LTI nel dominio del tempo

14. Scrivere l'espressione del movimento dell'uscita x(t) di un sistema LTI descritto nello spazio di stato mettendo in evidenza l'evoluzione

libera e quella forzata lOMoARcPSD|985 298 2

16. Mostrare la struttura della forma canonica di Jordan e discutere della dimensione e struttura dei vari blocchi

17. Per quale motivo è stato affrontato il problema della diagonabilizzità di una matrice nel contesto dei sistemi LTI?

18. Quale relazione sussiste tra i modi naturali di un sistema LTI e i suoi autovalori? Mostrare i possibili andamenti dei modi naturali al

variare degli autovalori lOMoARcPSD|985 298 2

LEZIONE 10

10. Qual è l'utilità del criterio di Routh? Quando tale criterio fornisce condizioni necessarie e sufficienti?

Il criterio di Routh-Hurwitz serve a stabilire che il numero delle radici q(s) con parte reale positiva è uguale

al numero delle inversioni di segno nella tabella di Routh.

Serve quindi a stabilire se un sistema lineare è stabile asintoticamente senza calcolare le radici del

denominatore della funzione di trasferimento (poli)

Esistono diversi metodi per risolvere dei casi particolari in questa situazione:

♣

Si consideri una generica riga il cui primo elemento è nullo: |0

0 ... 0 ...

♣ ▪Se

nella riga è presente almeno un elemento diverso da zero si può procedere come segue: detta la colonna

2.

in cui appare il primo elemento non nullo, si sostituisce alla riga -esima la seguente riga

|

−1 0 ... 0 ...

♣ ▪Se

tutti gli elementi della riga sono nulli si può considerare il polinomio come prodotto di un binomio con

•

radice negativa e un polinomio di grado

1 2

= + − 1

♣

Calcolare le radici del polinomio oppure

2

♣

Sostituire nella riga nulla i valori dei coefficienti della derivata del polinomio 2

11. Enunciare il criterio di Routh mostrando il procedimento per poterlo applicare

Il teorema di Routh, il quale parte dal polinomio caratteristico, seguendo determinate regole fino ad

arrivare a costruire una tabella.

Andando a studiare il segno degli elementi che compaiono sulla prima colonna di questa tabella, è

possibile capire senza dover calcolare le radici, la quale sono gli autovalori del sistema, è possibile sapere

se c’è uno o più autovalori a parte reale positiva. Stabilisce anche che se, c’è almeno un autovalore a

parte reale positiva, il sistema è instabile.

Il criterio di Routh ci consente di decidere sulla stabilità asintotica di un sistema, senza dover calcolare le radici

di un polinomio.

Si costruiscono prendendo in ordine, i coefficienti, che moltiplicano questo lambda; nella prima riga tutti

quelli pari o con coefficiente maggiore per poi saltare un ordine, quindi partendo da a con m mettendo a con

m-2 fino ad arrivare ad a con zero.

Tutti i termini successivi si calcolano applicando, la formula con il determinante di questi 4 elementi diviso con

m-1 e così via. lOMoARcPSD|985 298 2

LEZIONE 13

8. Fornire la definizione formale della trasformata di Laplace e commentarne i limiti di validità

In matematica, il limite di Laplace è il valore massimo dell'eccentricità per il

quale è convergente una soluzione all'equazione di Keplero espressa sotto

forma di serie.

Laplace comprese che questa serie converge per piccoli valori

valore di M diverso da un multiplo di π

dell'eccentricità ma diverge per ogni

se l'eccentricità è maggiore di un dato valore che non dipende da M: questo

valore è appunto il limite di Laplace ed è il raggio di convergenza della serie.

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LEZIONE 19

2. Commentare l'utilità delle forme canoniche raggiungibile e osservabile e riportarne la struttura generale

Tra le infinite rappresentazioni, rivestono particolare interesse due

rappresentazioni dette canoniche: la forma canonica di raggiungibilità e la

forma canonica di osservabilità

Lezione 021 l’effetto

3. Si considerino due sistemi connessi in retro azione. Mostrare come si possono originare cancellazioni e commentarne

Le cancellazioni possono quindi

i due sistemi sono connessi in retroazione è

Inoltre quando

avvenire tra i polinomi ed È possibile dimostrare che in presenza di