Tutorato e Esercizi Analisi Matematica 1

z ∈ ℂ

z = a + ib

i² = -1

(-2 - 3i) (-2 + i) = 4 + 2i + 6i - 3i² = -4 + 3 + 8i = -1 + 8i

=

1 + 2i 2 - i

3 - 4i 5i

+

=

5i (1 + 2i) + (3 - 4i) (5i)

(3 - 4i) 5i

=

5i + 10i² (6 - 3i - 2i - 4i²)

(3 - 4i) 5i

=

5i = 10 (-4) + 6 - 3i - 8i - 9i

=

5(3 - 4i)

= -(-6i - 8 - -8 - 6i)

15i + 20

-2(4 + 3i)

5 (4 + 3i)

= -²/₅

=

5

(2i - i)(2 - i)(3 - 4i)

=

5

(2 - i)(i - i₂i²)(3 - i)

=

5

(2 - 3i)(3 - i)

=

5

3 - i - 8i + 3i²

=

5

- 10i

=

- 10i

=

10i

=

50i

= 1/2 i

|z| = ? = √0±b²

z = 1/(1-x)²

(2-x)/(4-x)

(2·i·x² + 2·i)/(x²-2·i)

|z| = √10/4 = √10/2

z ∈ C

z = |z| (cos Θ + i sen Θ) = ϱe^iθ

cos Θ = a/|z|

sen Θ = b/|z|

|z| = √a²+b²

z = i

z = 1(cos π/2 + i sen π/2)

|z| = √0·2=1

sen Θ = 1/1 = 1

cos Θ = 0/1

Θ = π/2 + 2kπ

z = i(i+1) = i² + i = -1 + i

|z| = √2

cos Θ = -1/√2

sen Θ = 1/√2

3/4

π + 2kπ = Θ

z = √2(cos 3/4π + i sen 3/4π) = √2(-1/√2 + 1/√2)

Def

a ∈ ℝ

diciamo modulo o valore assoluto di a |a|

• a se a ≥ 0
• -a se a < 0

Consideriamo la funzione

x |-->|x|

Esercizio

|x + 2| + 2 ≤ |2x - 1|

Svolgimento

passo 1

• x + 1 ≥ 0 x ≥ -1
• 2x - 1 ≥ 0 x ≥ 1/2

x > -1 e x < 1 -x - 1 + 2 ≤ 2x + 1

x ≤ 0

x ∈ ℝ

• x³ - 3x² + 1 > 0
• x³ > 3x² - 1
• x² - 12 >0
• x² > 1
• x < -1 ∨ x > 1

x > 0

a > 0 a ≠ 1

Il logaritmo in base a di x è l'unico numero reale tale che a^log_ax = x

Esercizio:

log₂(x² + 4x + 1) ≤ 0

Svolgimento:

x² + 4x + 1 > 0

• x < -2√3 ∨ x > -2 + √3

x_1,2 = -q ± √16 - 4p

x_1,2 = -q ± √2

-4 ± 2√3/2

-2 + √3

\(\left( -\frac{1}{3} \right)^m = \frac{-1}{3^m}\) fisso \(\varepsilon\), cerco \(\bar{m}\)

\(|a_m| < \varepsilon \left| \left(\frac{1}{3}\right)^m \right| < \varepsilon \rightarrow\) trovo \(\bar{m}\) e quindi converge

Provo a vedere se converge a 1 (per assurdo)

\(\left| a_m - 1 \right| < \varepsilon \left| a_m - 1 \right| < \frac{1}{2} \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)^m - 1}{< \frac{1}{2}}\)

\(\frac{-3^m + 2}{3^m} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{3^m - 1}{3^m} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{3^m}{2} < 2 \rightarrow m \in \mathbb{N}\)

\(0 \left| \right| \right|\)

\(va \: bene \: solo \: per \: 0, \: quindi: \: non \: converge \: a \: 1\)

Successione divergente

\(\left\{ a_n \right\}\) successione \(\forall n \in \mathbb{N} | a_n > k \:\forall n \geq \bar{n}\)

\(a_n = n+1 \nexists k: \bar{n} \geq 7\)

\(\{ a_n\left[a_n=1\right] \:\operatorname{oppure} \:\exists \:\infty\}

\(a \:\infty \:\operatorname{se} \:\operatorname{poi} \:è \: irregolare\)

a_n = Σ_k=1^m 1/k(k+1)

lim n→∞ a_n

a₁ = b₁ = 1/2

a₂ = Σ_k=1^m b_k = b₁ + b₂ = 1/2 + 1/6 = 3 + 1/6 = 4/6 = 2/3

a₃ = Σ_k=1^m b_k = b₁ + b₂ + b₃ = 2/3 + 1/12 = 8 + 1/12 = 9/12 = 3/4

1/k(k+1) = (k+1-k)/k(k+1) = 1/k - 1/k+1

a₁ = b₁ = 1/2 = 1/2

a₂ = b₁ + b₂ = 1/2 + 1/2 + 1/3 = 2/3

a₃ = b₁ + b₂ + b₃ = 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 3/4

a_n = b₁ + b₂ + b₃ + b_m-1 + b_m = 1 - 1/m+1

lim n→∞ a_n = 1

∑ _x=4^∞ logn_n ^{logn 7}/_n = diverge perché ¹/_n diverge

∑ 1/n^an1/_n 1^{tan n} ∈ 1 / na² >converge

∑ ¹/_5ⁿ converge

∑ ^m/_3n ³ √n diverge

∑ a_m

a_n= ⁿ√m∈100

∑ ⁿ/_{2 3} converge

∑(z) irregolare

∑ ¹/_n² converge regolarmente da focus a₁₌₂ oscilla

b_ok(∑ ¹/_na + ∑ εm) oscillo onde lev

∑ ¹/_√(n+1) ∼ ¹/_n^2m converge

∑ ⁿ/_n^2ll ∼ ¹/_n controverso diverge

∑ arctgn_m ∼ ¹/_n²+1 converge

PASO 1

DIMOSTRO CHE 0 < ¹/_2e^x < ^π/₂ ∀ x ∈ ℝ

0 < ¹/_2e^x < ^π/₂ <=> ...

... > 2(π-1) - e^x > 0

PASSO 2 sin x è decrescente su [0; ^π/₂]

PASSO 3

• x -> e^x cresce
• x -> 2e^x cresce
• x -> ¹/_2+e^x decrescente

PASSO 1 + PASSO 3 -> f(x) = sin(¹/_2e^x) è decrescente

FUNZIONI IPERBOLICHE

Sh_x = ^{ex - e-x}/₂ senso iperbolico

Sh₀ = 0

Sh_x è dispari

lim_{x -> +∞} Sh_x = ^{ex - e-x}/₂ = +∞

lim_{x -> -∞} Sh_x = -∞

Ch_x

Ch_x = ^{ex + e-x}/₂

Ch_x è pari

lim_{x -> +∞} Ch_x = +∞

lim_{x -> -∞} Ch_x = +∞

Ch₀ = 1

Derivate secondo e successive

f(x) = x³ + 2x + 3

f: ℝ → ℝ

f derivabile ∀x∈ℝ

f^'(x) = 3x² + 2

funzione derivata

x → lim

a → 0

R(x+a) - R(x)

a

= f^'_x

Posso considerare lim

a → 0

R(x+a) - R(x)

a

Se ∃ finito è (f^')(x)

f^''(x) = (f^')^'(x) è la derivata seconda di f

f^''(x) = 6x

Esempio

f(x) = sen x² + 3 arctg 2x

f: ℝ → ℝ

f^'(x) = 2x cos x² + 3

-

2

1+4x²

- 2x cos x² +

6

1+x²

f^''(x) = 2 cos x² + 2x(-2x sen x²) +

-6 ⋅ 8x

(1+x²)²

= 2 cos x² - 4x² sen x² -

48x

(1+4x²)²

Definizione

f è concavo se -f è convessa

Teorema

f derivabile in (a,b)

f è convessa <=> f' è crescente <=> f''(x) > 0

f è concavo <=> f' è decrescente <=> f''(x) <= 0

Esempio

f(x) = e^-x2

f'(x) = -2x e^-x2

x = 0 f'(0) = 0 p. stazionario

x < 0 f'(x) > 0 cresce

x > 0 f'(x) < 0 decresce

0R+

f''(x) = -2 e^-x2 + (-2x) -2x (e^-x2) = -2 e^-x2 + 4x² e^-x2

= 2 e^-x2 (4x² - 1)

f''(x) > 0 <=> x² > ¹⁄₂ → f' crescente - convessa

f''(x) < 0 <=> x² < ¹⁄₂ → f' decrescente -