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TUTORATO ANALISI 2
Serie di funzioni e serie di potenze
- fm : I m → R
- Sm = ∑k=0m fn(x) serie parziali
fm(x) = lim Sm
m→∞
CONV. PUNT → fisso un x
conv rot → ne ∃ ∃ M /
- |fm|< M fisso ∀ x ∈ I ∀ m ∈ N
- ∑M=0∞ am converge
Serie di potenze
∑m=0∞ am (x-xo)m converge in (xo-R, xo+R)
R si trova con:
- Criterio della radice
- Criterio del rapporto
- Specificare pt stat. de f
- Specificare succezione el lemm se i più puro locale / globale
- HF(x,y) = ex2+y2
- def1 negativa → P1 max
- def2 positiva → P2 min
1/R = lim |am|1/m
m→∞
1/R = lim |am+1/ 0
(xmyn) (x√y)3 (x,y)(x√y)
(x2+y2)α (x,y)(x√y)
= lim x2y2
(x2+y2)α
TUTORATO
Derivate direzionali
f: \(\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) \(\vec{v} \in \mathbb{R}^m\) versore \((|\vec{v}| = 1)\)
\(D_{\vec{v}}f(x_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0+t\vec{v})-f(x_0)}{t}\)
Formula del gradiente
\(D_{\vec{v}}f(x_0) = \nabla f(x_0) \cdot \vec{v}\)
Derivate seconde in \(\mathbb{R}^m\)
f \(\Rightarrow \nabla f\) \(\Rightarrow Hf_{m \times m}\)
\(Hf = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}\)
Teorema di Schwarz:
se \(f \in C^2 \Rightarrow Hf\) simmetrica \(\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\right)\)
Teorema di Fermat:
se \(x_0\) è max o min relativo \(\Rightarrow \nabla f(x_0) = 0\)
(analisi 1: \(f''x_0 \to minmo, f^{(1)}(x_o) \max\))
se \(Hf(x_0)\) è def. positiva \(\Rightarrow x_0\) min
se \(Hf(x_0)\) è def. negativa \(\Rightarrow x_0\) max
se \(Hf(x_0)\) è indefinita \(\Rightarrow x_0\) sella
se \(Hf(x_0)\) è nulla \(\Rightarrow\) non concludo nulla
3. L0(F): x2 - 2x + y2/4 - y + 2 = 0
Completing the square:
(x - 1)2 + (y/2 - 1)2 = 0
x - 1 = 0 ⇒ x = 1
y/2 - 1 = 0 ⇒ y = 2
L1(F): x2 - 2x + y2/4 - y + 2 = 1
(x - 1)2 + (y/2 - 1)2 = 1
Class of center (1,2)
x = 1 ⇒ (y - 2)2/4 = 1
y - 2 = ±2
y = 2 ⇒ (x - 1)2 = 1
x - 1 = ± 1
L2(F): (x - 1)2 + (y - 2)2/4 = 2
x = 1 ⇒ (y - 2)2 = 8
y - 2 = ±2√2
y = 2 ⇒ x = 1 ± √2
15.04 ESERCIZIO
f(x,y) = ex2+y2
➩Devo trovare ∇f
∂xf(x,y) = ex2+y2 (2x)∂yf(x,y) = -xy ex2+y2
Trovo HF im P1 e P2
b.
lim |x,y| → ∞
P1 e P2 sono globali
Ottimizzazione vincolata
Tutorato del 6.05.2019
Esercizio 1
Calcolare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x2 + y2, soggetti al vincolo
G = {(x, y) ∈ ℝ2 : x2 + y2 = 1}.
Esercizio 2
Determinare massimo e minimo assoluti di f(x, y) = x2 - y2, soggetti al vincolo
G = {(x, y) ∈ ℝ2 : x2 - x ≤ y ≤ 2}.
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