Tutorato Fisica

1. Velocità media vs istantanea

• Velocità Media

v_m = _Spostamento⁄_{tempo impiegato} = Δx/Δt

• Velocità Istantanea

v_i = lim_Δt→0 Δx/Δt

Esercizio

La posizione di una particella che si muove lungo l'asse x è data in cm dallarelazione: x = 9,75 + 1,50 t³, con t in secondi. Considerando l'intervallotra t=2,00 s e t=3,00 s, calcolare:

(a) la velocità media

(b) la velocità istantanea per t=2,00 s

(a) Calcoliamo la distanza percorsa dopo 2 e 3 secondi:

• x(2) = 9,75 + 1,50 • 2³ = 21,75 cm
• x(3) = 9,75 + 1,50 • 3³ = 50,25 cm
• v_m = ^{50,25 - 21,75}⁄_3-2 cm/s = 28,5 cm/s

(b) Calcolo la velocità come derivata della posizione rispetto al tempo:

• v_i(t) = 1,50 • 3 t^3-1 = 4,50 • t²
• v_i(2) = 4,50 • 2² = 18 cm/s

2. Accelerazione media vs istantanea

• Accelerazione Media

a_m = Δv / Δt

• Accelerazione Istantanea

a_i = lim (Δv / Δt) _Δt→0

Esercizio (pg. 36)

Un treno che sta viaggiando su un tratto rettilineo con velocità iniziale di 0,50 m/s, accelera di 2,0 m/s² per 2,0 secondi, prosegue con accelerazione uguale a 0 per altri 3,0 secondi e giunse accelera nuovamente di -1,5 m/s² per 1,0 secondo.

1. Qual è la velocità finale del treno?
2. Qual è la sua accelerazione media?

Δv = Δv₁ + Δv₂ + Δv₃ :

Δv₁ = a₁ . Δt₁ = 2,0 m/s² . 2,0 s = 4,0 m/s

Δv₂ = 0, Δt₂ = 0 . 3,0 s = 0

Δv₃ = 0 . Δt₃ = -1,5 m/s² . 1,0 s = -1,5 m/s

Δv = 2,5 m/s

Sapendo che Δv = v_f - v_i => v_f = Δv + v_i = 2,5 m/s + 0,5 m/s = 3,0 m/s

6. Componenti di vettori

• Calcola componenti A_x e A_y di A di modulo e direzione A = 3,5 m e ϑ = 66°.

A_x = A cosϑ = 1,4 m A_y = A senϑ = 3,2 m

• Calcola modulo B e direzione ϑ di B di componenti B_x = 7,5 m e B_y = 6,20 m.

B = √B_x² + B_y² = 7,8 m B_x = B cosϑ cosϑ = B_x/B => ϑ = arcos(B_x/B) = 5°

7. Somma vettori

ESERCIZIO

• 1 passo = 0,750 m
• A_x = 0 A_y = 0,750·5 = 3,75
• B_x = 2,25 m B_y = 0
• C_x = C cosϑ = 4·0,75·cos 45° = 2,12 m = −C_y

Sommando le componenti: D_x = A_x + B_x + C_x = 4,37 m D_y = A_y + B_y + C_y = 1,63 m

ES. 3 (Lancio ad angolo 0)

11 pg. 812

Un corpo che sta muovendo orizzontalmente con una velocità costante di modulo 2,70 m/s, lascia cadere dal becco un mollusco, che atterra sugli scogli della costa dopo 2,10 s. Un istante prima che il mollusco tocchi terra:

• a. Qual è la componente orizzontale della velocità?
• Qual è la componente verticale della velocità?

a. La componente x della velocità rimane la stessa in ogni istante. v_x = v₀ = 2,70 m/s

b. La componente y della velocità cresce linearmente con il tempo. v_y = -gt = - 9,81 · 2,10 = -20,6 m/s

ES. 4 (Lancio con angolo qualsiasi)

21 pg. 813

Un tappo viene espulso da una bottiglia di champagne con un angolo di 35° al di sopra dell'orizzontale. Se il tappo cade a una distanza orizzontale di 1,30 m dopo 1,25 s, qual è il modulo della sua velocità iniziale?

EQUAZIONI

X = x₀ + v_0xt

y = y₀ + v_0yt - ¹/₂ gt²

Ricavo componente x della velocità iniziale:

1,30 = 0 + v_0x · 1,25 ⇒ v_0x = 1,04 m/s

v_0x = v₀ cos ϴ

v₀ = ^v_0x/_cosϴ = ^1,04/_cos35° = 1,27 m/s

ATTENZIONE: In classe abbiamo provato a ricavarci v_0y con la formula y = y₀ + v_0yt - ¹/₂ gt². Non è sbagliato ma c'è un problema: abbiamo dato per scontato y₀ = 0 (non è detto: anzi, più probabile parta da una certa altezza il tappo) e le valore di v₀ calcolato era sbagliato. La soluzione qui proposta, invece, non necessita di conoscere le quote.

ES. 11

Un^a parachutista di 42,0 Kg st^a cadendo verso il basso con una velocit^à di 3,85 m/s.

a. S^e si fe^rma con un^'accelerazion^e cosante in una distaⁿza di 0,750 m, qual^e forz^a esercita la terra su di lei?

b. Se si fe^rma in una di^stan^za mino^re, la for^za esercita^ta dalla terr^a è maggi^or^e, minore o uguale a quella di a.?

So ch^e v² = v₀² + 2a Δy:

a = v² - v₀² = 0 - (3,85)² m/s² = 9,88 m/s²

2Δy 2(0,750)

L^a fo^rza esercita^ta dal te^rreno ^è:

F = ma = 42,0 Kg * 9,88 m/s² = 415 N

b. Se si ferma ⁱⁿ uno ^spa^zio minore, l^'accelerazione sar^a maggi^ore, quindⁱ la forz^a sar^à maggi^ore.

ES. 13

S^upponⁱ ch^e un ^razzo v^en^ga lanciato con un^'a^ccelerazi^one di 30,5 m/s². Qua^le è ^il peso apparen^te ai un^'astroⁿauta di 92 K^g su q^uesto ^razzo?

FORZA APPARENTE = mom^ento reale, dovu^to all^a non in^erzi^alit^à dei sistema di rif^erimen^to.

∑ F_y = P_a - P (momento verso alto)

P_a - P = ma => P_a = m (g + a) = 92 (9,81 + 30,5) = 3798 N