Relazione "Risoluzione del telaio"-Tecnica delle costruzioni

F

F N N

T T

ik ki

ik ki

e

i k

ik ki

Successivamente ricaveremo le rigidezze ed i vettori di incastro perfetto per ogni

Asta.

In generale possiamo individuare due tipi di convenzioni sui segni:

 Convenzione sui segni

Convenzione Scienza Delle Costruzioni

M M

(x) (x + dx)

N N

(x) (x + dx)

T T

(x) (x + dx

Convenzione di Cross

Fissato un riferimento cartesiano locale x, y avente origine nel nodo i,

secondo la convenzione di Cross sono positivi, in entrambi gli estremi:

rotazioni e momenti orari, spostamenti orizzontali e sforzi normali

concordi con l’asse x, spostamenti verticali e tagli concordi con y

i k

x

y  

i k

i k X

 

j

x,i x,k



 y,k

y,i

Y M

M ki

ik

i k X

N

N j ki

ik T

T ki

ik

Y

ASTA 1 (3-1)

ASTA i k Xi Yi Xk Yk

1 3 1 0 0 3 0

L b h Area Inerzia Ec

3 0,3 0,5 0,15 0,003125 30000000

Unita di misure:

L [m]

Ec [kPa]

2

A [m ]

4

I [m ]

Calcolo del vettore di incastro perfetto:



3

2 EI

   

    

ki

( 2 ) 0

ik i k ik

l l



3

2 EI

   

   

ki

( 2 )

ki k i ki

l l

  0

ik 1

  2

ql

ki 8

Ricaviamo i tagli:

   

trasl) v ql v 0

ik ki

2 2

ql ql

  

rot) v l 0

ki

2 8

3 5



 

v

v ql ql

ki

ik 8

8 vettore d'incastro perfetto

locale globale

0 0

n

ik

1 -33,75 -33,75

f v

3 ik

 0 0

ik 0 0

n

ki

2 -56,25 -56,25

f v

1 ki

 33,75 33,75

ki

Calcolo della rigidezza:

EA 

 

 ' 0

ik

a ,

ik l 3 EI

 

 

0

ik v 3

l

 



3 EI '

  

ik 0

ki l l

  l ' 3 EI



ki 2

l l

ρa,1= 1500000

ρv,1 = 10416,66667

ρ31= 0

ρ'31= 0

(ρ31+ρ'31)/L= 0

ρ13= 93750

(ρ13+ρ'31)/L= 31250

Matrice di rigidezza nel sistema locale

1500000 0 0 -1500000 0 0

0 10416,66667 0 0 -10416,6667 31250

0 0 0 0 0 0

K’1= -1500000 0 0 1500000 0 0

0 -10416,66667 0 0 10416,66667 -31250

0 31250 0 0 -31250 93750

Matrice λ 1 0 0

λ1= 0 1 0

0 0 1

Matrice di trasformazione

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

L1= 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Matrice di trasformazione trasposta

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

T

L1 = 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

K locale per matrice di trasformazione trasposta

1500000 0 0 -1500000 0 0

0 10416,66667 0 0 -10416,6667 31250

0 0 0 0 0 0

T*

L1 K= -1500000 0 0 1500000 0 0

0 -10416,66667 0 0 10416,66667 -31250

0 31250 0 0 -31250 93750

K1 = Λ 1 * K'1 *Λ1 =

T K33,1 K31,1

K13,1 K11,1

Matrice di rigidezza nel sistema globale

1500000 0 0 -1500000 0 0

0 10416,66667 0 0 -10416,66667 31250

0 0 0 0 0 0

= -1500000 0 0 1500000 0 0

0 -10416,66667 0 0 10416,66667 -31250

0 31250 0 0 -31250 93750

ASTA 2 (1-2)

ASTA i k Xi Yi Xk Yk

2 1 2 3 0 7 0

L b h Area Inerzia Ec

4 0,3 0,5 0,15 0,003125 30000000

Unita di misure:

L [m]

Ec [kPa]

2

A [m ]

4

I [m ]

Calcolo del vettore di incastro perfetto:

E’ un asta speciale.

La trave in esame è caricata tramite un carico termico a farfalla.

Applichiamo il METODO DELLE FORZE.

STRUTTURA IPERSTATICA 1 VOLTA  (

1

)

i

 ( 2 )

i

Imponiamo che la congruenza è uguale a 0.

  

  

(

1

) ( 2 ) 0

i i i 

l l

      

( 2 ) ki

Schema 2) ( 2 M M ) ( 2 M M ) 0

i ik ki ki ik

6 EI 6 EI l

x



 

( 2 )

i 3 EI

Schema 1)  (

1

) utilizziamo l’ANALOGIA DEL MOHR:

i

Per calcolare

Studio l’asta appoggiata/appoggiata, trovo il diagramma dei momenti e risolvo la trave

fittizia di Mohr.





2 T 

 

ft q

h

TRAVE DEL MOHR

Facciamo l’equilibrio delle forze alla traslazione verticale, ponendo l’asse y con il verso

positivo verso il basso.

Dalle relazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione (eq. dei momenti)

 

(1) (1)

calcoliamo V * che secondo le relazioni di Mohr sono i nostri i e k.

12 l

 

* 2

Il risultato ottenuto è: V q *

12 2





T

   

(

1

) *

poiché V l

i 12 2

h 



T

  

      

(

1

) ( 2 ) 0 x l

i i i 2

h

 

3 Tl EI

  2

ik h

  (poiché ho una cerniera)

0

ki

Le altre sollecitazioni di incastro perfetto le otteniamo da semplici relazioni di equilibrio alla

traslazione verticale

Ricaviamo i tagli:



 

trasl) v l 0

12 2 12





3 TEI

  

v v

12 21 h vettore d'incastro perfetto

locale globale

0 0

n

ik

2 146,25 146,25

f v

1 ik

 585 585

ik 0 0

n

ki

2 -146,25 -146,25

f v

2 ki

 0 0

ki

Calcolo della rigidezza:

EA 

  ' 0

ik

a ,

ik l

3 EI 3 EI

 

 

ik v 3

l l

  0

ki

ρa,2= 1125000

ρv,2 = 4394,53125

ρ12= 70312,5

ρ'12= 0

(ρ12+ρ'12)/L= 17578,125

ρ21= 0

(ρ21+ρ'12)/L= 0

Matrice di rigidezza nel sistema locale

1125000 0 0 -1125000 0 0

0 4394,53125 17578,125 0 -4394,53125 0

0 17578,125 70312,5 0 -17578,125 0

K’2= -1125000 0 0 1125000 0 0

0 -4394,53125 -17578,125 0 4394,53125 0

0 0 0 0 0 0

Matrice λ 1 0 0

λ2= 0 1 0

0 0 1

Matrice di trasformazione

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

L2= 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Matrice di trasformazione trasposta

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

T

L2 = 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

K locale per matrice di trasformazione trasposta

1125000 0 0 -1125000 0 0

0 4394,53125 17578,125 0 -4394,53125 0

0 17578,125 70312,5 0 -17578,125 0

T*

L2 K= -1125000 0 0 1125000 0 0

0 -4394,53125 -17578,125 0 4394,53125 0

0 0 0 0 0 0

K2 = Λ 2 * K'2 *Λ2 =

T K11,2 K12,2

K21,2 K22,2

Matrice di rigidezza nel sistema globale

1125000 0 0 -1125000 0 0

0 4394,53125 17578,125 0 -4394,53125 0

0 17578,125 70312,5 0 -17578,125 0

= -1125000 0 0 1125000 0 0

0 -4394,53125 -17578,13 0 4394,53125 0

0 0 0 0 0 0

ASTA 3 (2-4’)

ASTA i k Xi Yi Xk Yk

3 2 4’ 7 0 9 5

L b h Area Inerzia Ec

5,385164807 0,3 0,5 0,15 0,003125 30000000

Unita di misure:

L [m]

Ec [kPa]

2

A [m ]

4

I [m ] come un’asta canonica e un asta ideale.

Consideriamo questa asta 2-4

Studiamo l’asta ideale 4’-4

dell’asta:

Calcoliamo la rigidezza 0 0 0

Kbipendolo= 0 1E+60 0

0 0 1E+60

Studiamo l’asta canonica 2-4’

Calcolo del vettore di incastro perfetto:

Scomponiamo il problema in due sotto problemi, quello assiale e normale.



q

l cos

 3

Q 2 

2

q

l cos

 3

Q

n 2  

q

l cos * sen

 3

Q

o 2

Ricaviamo i carichi per unità di lunghezza:



2

q cos



q n 2  

q cos * sen



q o 2

Studiamo lo schema A) 

Q q ( x ) l x

  

n q ( x ) Q

 n

l l x l

Utilizziamo il metodo di risoluzione degli integrali e vediamo che otteniamo un momento di

3°grado poiché il carico è triangolare



1 l x 1 1

l



  

       

2 2 2 2

q x (

l x ) dx qnl q

l cos

ik n 3 24 '

2

l l 20 40

0 

1 l x 1 1

l



  

       

2 2 2 2

q x (

l x ) dx qnl q

l cos

ki n 3 4 ' 2

2

l l 30 60

0

Ricaviamo i tagli:

q l l 3

  

      2

n 3 3

rot ) v l 0 v q

l cos

2 24 ' 4 ' 2 4 ' 2 3 4 ' 2 3

2 3 40

q l 7 

      2

n 3

trasl) v v 0 v q

l cos

24 ' 4 ' 2 24 ' 3

2 40

Studiamo lo schema B)

Studiamo l’ equilibrio alla traslazione orizzontale come un equilibrio alla traslazione

verticale quindi supponiamo di far ruotare n n e q l nella direzione dei tagli.

24’, 4’2 o 3/2

q l l 

  

0 3 3

Rot ) 0

2 4 ' 2

2 3 q l

 

  

0 3

trasl) 0

24 ' 4 ' 2 6

1

  

  q

l sen * cos

24 ' 3

6

1

  

  q

l sen * cos

4 ' 2 3

12 vettore d'incastro perfetto

locale globale

-10,83222806 22,37787356

n

ik

3 -28,43459866 -20,61781609

F v

2 ik

 -21,875 -21,875

ik -5,41611403 9,30316092

n

ki

3 -12,18625657 -9,554597701

F 4’ v

ki

 14,58333333 14,58333333

ki

Calcolo della rigidezza: 2 EI

EA 

  '

ik

a ,

ik l

l

4 EI 12 EI

 

 

ik v 3

l l

 



4 EI ' 6 EI

  

ik

ki 2

l l l

  l ' 6 EI



ki 2

l l

ρa,3= 835629,0218

ρv,3 = 7203,698464

ρ24'= 69635,75182

ρ'24'= 34817,87591

(ρ24'+ρ'24')/L= 19396,55172

ρ4'2= 69635,75182

(ρ4'2+ρ'24')/L= 19396,55172

Matrice di rigidezza nel sistema locale

835629,0218 0 0 -835629,022 0 0

0 7203,698464 19396,55172 0 -7203,69846 19396,55172

0 19396,55172 69635,75182 0 -19396,5517 34817,87591

K’3= -835629,0218 0 0 835629,0218 0 0

0 -7203,698464 -19396,5517 0 7203,698464 -19396,55172

0 19396,55172 34817,87591 0 -19396,5517 69635,75182

λ

Matrice

0,371390676 0,928476691 0

λ3= -0,928476691 0,371