Relazione Progetto di una trave rovescia di fondazione - tecnica delle costruzioni

B L L

m 

 

R 6 e

    

  2

1 44

,

03

Kn / m



min  

B L L

m

= σ

q * B =102,49 Kn/m

max max m

= σ

q * B =57,24 Kn/m

min min m

Una volta noto q(x) dello schema CV+SS, si determinano i diagrammi di taglio e

momento sulla trave di fondazione.

La legge di variazione del carico lungo la lunghezza della trave è data da :



q q

  max min

q ( x ) q x

min L

tot

A questo punto dividiamo la trave di fondazione in 3 tratti di lunghezza a, b, c e si

determina la legge di variazione del carico in ciascun tratto assumendo come origine

del sistema di riferimento l’estremo A.

Allora possiamo determinare le leggi di variazione del taglio e momento in ciascun

tratto.

RICERCA LEGGE DI VARIAZIONE TAGLIO E MOMENTO SCHEMA CV+SS

- TRATTO 1

V (X)=- P + ((q(x) + q )/2)*x

1 1 min

M (X)= M -P x+q *(x /2)+((q(x)-q

2 2

)*x /6)

1 1 1 min min

Da queste due funzioni ottengo il momento all’ estremo B e il momento in campata

della trave 1:

V (X)=0 ottengo

Da x=2,76 m

1

V(x=4,70)= 133,71 Kn

M(x=2,76)= -165,18 Kn*m

M(x=4,70)= 217,55 Kn*m

- TRATTO 2

V (X)=- P -P + ((q(x) + q )/2)*x

2 1 2 min

M (X)= M +M -P x- P (x-a) +q *(x /2)+((q(x)-q

2 2

)*x /6)

1 1 2 1 2 min min

Da queste due funzioni ottengo il momento all’ estremo C e il momento in campata

della trave 2:

V (X)=0 ottengo

Da x=8,32 m

2

V(x=9)= 57,33 Kn

M(x=8,32)= -304,15 Kn*m

M(x=9)= -19,77 Kn*m

- TRATTO 3

V (X)= P - ((q(x) + q )/2)*(L-x) L=a+b+c

3 4 min

M (X)= -M -P (L-x)+ q(x)*((L-x) )/2)+((q q(x)

2 2

)*(L-x) /3)

3 4 4 max –

Da queste due funzioni ottengo il momento all’ estremo D e il momento in campata

della trave 3:

V (X)=0 ottengo

Da x=12,65 m

3

V(x=14,4)= 175 Kn

M(x=12,65)= -222,14 Kn*m

M(x=14,4)= 70 Kn*m

CV+SD

Abbiamo la necessità di trasformare il diagramma delle tensioni in un diagramma di

carico, che rappresenta di fatto l’azione che il terreno esercita sulla trave di

fondazione: 

 

R 6 e

    

  2

1 82

,

93

Kn / m



max  

B L L

m 

 

R 6 e

    

  2

1 39

,

93

Kn / m



min  

B L L

m

= σ

q * B =107,81 Kn/m

max max m

= σ

q * B =51,91 Kn/m

min min m

Una volta noto q(x) dello schema CV+SD, si determinano i diagrammi di taglio e

momento sulla trave di fondazione.

La legge di variazione del carico lungo la lunghezza della trave è data da :



q q

  min max

q ( x ) q x

max L

tot

A questo punto dividiamo la trave di fondazione in 3 tratti di lunghezza a, b, c e si

determina la legge di variazione del carico in ciascun tratto assumendo come origine

del sistema di riferimento l’estremo A.

Allora possiamo determinare le leggi di variazione del taglio e momento in ciascun

tratto.

RICERCA LEGGE DI VARIAZIONE TAGLIO E MOMENTO SCHEMA CV+SD

- TRATTO 1

V (X)=- P + ((q +q(x))/2)*x

1 1 max

M (X)= M -P x+q(x)*(x /2)+((q -q(x)

2 2

)*x /3)

1 1 1 max

Da queste due funzioni ottengo il momento all’ estremo B e il momento in campata

della trave 1:

V (X)=0 ottengo

Da x=1,63 m

1

V(x=4,70)= 293,85 Kn

M(x=1,63)= -211,68 Kn*m

M(x=4,70)= 249,62 Kn*m

- TRATTO 2

V (X)=- P -P + ((q -q(x))/2)*x

2 1 2 max

M (X)= -M -M -P x- P (x-a) +q(x)*(x /2)+((q -q(x))*x

2 2 /3)

1 1 2 1 2 max

funzioni ottengo il momento all’ estremo C e il momento in campata

Da queste due

della trave 2:

V (X)=0 ottengo

Da x=6,10 m

2

V(x=9)= 228,15 Kn

M(x=6,10)= -88,98 Kn*m

M(x=9)= 250,39Kn*m

- TRATTO 3

V (X)=- P - P - P + ((q +q(x))/2)*x

3 1 2 3 max

M (X)= -M -M -M -P x-P (x-a)- P (x-a-b)+q(x)*((x )/2)+((q q(x)

2 2

)*x /3)

3 1 2 3 1 2 3 max –

Da queste due funzioni ottengo il momento all’ estremo D e il momento in campata

della trave 3:

V (X)=0 ottengo

Da x=11,37 m

3

V(x=14,4)= 175 Kn

M(x=11,37)= -359,43 Kn*m

M(x=14,4)= 70 Kn*m

A questo punto disegno i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di entrambi

schemi e faccio l’inviluppo dei momenti.

gli

INVILUPPO DEI MOMENTI

PROGETTO DELL’ALTEZZA DELLA SEZIONE

Avendo deciso di progettare una sezione a T per la trave rovescia di fondazione, dal

d(+)

diagramma di inviluppo dei momenti prendo il momento positivo massimo M e il

d(-) d(+) d(-)

momento negativo massimo M , e cioè, M =250,39 KN*m e M =-359,43 KN*m.

Per il calcolo dell’altezza ipotizzo una sezione a semplice armatura.

- CALCOLO d+

(+)

Per Md la sezione a T rovescia della trave di fondazione si comporta come una

sezione rettangolare di base pari a b cioè pari alla larghezza dell’anima della sezione.

b=40 cm.

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

f b 0.8 x - f A = 0

cd c yd s

+ d(+)

f b 0.8 x (d - 0.4x ) = M

cd c c

β=(0.16-0.18), β=0.16

+

si pone x =βd con fissiamo

c

la seconda equazione quindi diventa

β + 2 (+) +

f b 0.8 (d ) (1- 0.4β) = Md da cui ricavo d =629,16 mm

cd

- CALCOLO d-

(-)

Per Md la sezione a T rovescia si comporta come una sezione rettangolare di base

B cioè pari alla larghezza dell’ala della sezione

B=100 cm

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

f B 0.8 x - f A = 0

cd c yd s

+ d(-)

f B 0.8 x (d - 0.4x ) = M

cd c c

si pone X =βd

c

la seconda equazione quindi diventa

β - 2 (-) -

f B 0.8 (d ) (1- 0.4β) = Md da cui ricavo d =476,75 mm

cd

Si assume come altezza d della trave di fondazione il valore più grande e quindi

d=630mm; al fine di ottenere una trave rovescia a T assumiamo d=800mm.

δ=50

Nota d si ricava H=d+δ=850 mm avendo assunto un mm.

Allora avendo H posso calcolare il peso proprio della trave:

ρ ρ

=25 Kn/m3 =22 Kn/m3

cls magrone

Peso fondazione=(1*0,35+00,50*0,40)*14,4*25=198 KN

Peso sotto fondazione=(1,30*0,15)*14,4*22=61,78 KN

Peso proprio della trave=(P +P )/L= 18,04 Kn/m

fond sfond

VERIFICA SCHIACCIAMENTO TERRENO

ϭ

Calcoliamo le tensioni sotto le ipotesi di trave rigida e queste le utilizziamo per fare

la verifica a schiacciamento del terreno.



 

P1 + P2 + P3 + P4 + qpp * L 6 e

 

     

  2 2

1 80

,

07 Kn / m 150 Kn / m



max t

 

B L L

m

allora ho verificato la verifica a schiacciamento del terreno per CV+SS, analogamente

faccio per CV+SD.

LUNGHEZZA CARATTERISTICA

Si definisce lunghezza caratteristica L* la massima lunghezza che deve avere una

trave per distribuire sul terreno l’azione di un carico concentrato in mezzeria

sollecitando il terreno solo a compressione.

Tale lunghezza caratteristica vale:

 4 EI

 

*

L 4

 KB m

Dunque ogni trave di fondazione, fissata la geometria, le caratteristiche meccaniche

e il tipo di terreno, possiede la sua lunghezza caratteristica.

La grandezza L* ha due significati, uno prettamente matematico, e l’altro, più

significativo, fisico.

Dal punto di vista matematico L* rappresenta la distanza tra due punti di flesso delle

funzioni cosαx e senαx, che compaiono nella legge degli abbassamenti w(x);

Dal punto di vista fisico la lunghezza L* rappresenta ciò che è stato già anticipato

nella sua definizione.

Dalla teoria delle travi elastiche possiamo creare una distinzione tra travi lunghe e

travi corte:

sia L la lunghezza effettiva della trave

αL<Π/4)

- Se L<L*/4 (ovvero la trave si dice corta e la trattiamo come una trave

rigida αL≥Π/4)

- Se L≥ L*/4 (ovvero la trave si dice lunga e la trattiamo come trave elastica

su suolo elastico α;

Quindi per prima cosa andiamo a determinare quanto vale il parametro

KB

  m

4 4EI

ricerchiamo i vari termini che ancora ci mancano;

3

K=0,07 N/mm

B =1300mm

m 2

E=31500 N/mm

Calcoliamo il momento d’inerzia:

I=If+Isf

Come si vede dalla formula scritta sopra il momento di inerzia e valutato come somma

di due addendi, ciò vuol dire considerare i due contributi separatamente in modo da

pensare alla fondazione e alla sottofondazione come due elementi separati; non si

tiene conto quindi dell’effetto benefico dell’attrito (a vantaggio di sicurezza).

Allora otteniamo: 4

I =37328333000 mm

f 4

I =17335500000 mm

sf

Da cui ricavo I=54663833000 mm4

A questo punto calcoliamo L*:

L*=27,33 m

L*/4=6,83 m

Siamo nel caso in cui L ≥ L*/4 (14,3>6,83)

Allora la nostra trave rovescia di fondazione è una trave lunga e la trattiamo come

una trave elastica su suolo elastico.

PROBLEMA DI PROGETTO DELLE ARMATURE

Il progetto delle armature presuppone la conoscenza del diagramma dei momenti

sulla trave al fine di individuare il momento massimo negativo e positivo.

Nel nostro caso la trave risulta essere una trave deformabile; tali travi si studiano

attraverso la teoria delle travi elastiche su suolo elastico.

La teoria si basa su alcune ipotesi fondamentali che sono le seguenti:

- Il terreno di fondazione è schematizzato come un letto indefinito di molle

indipendenti tra loro secondo il modello alla Winkler. Adottare l’ipotesi di terreno

sconnesso alla Winkler significa ammettere che ogni elemento della superficie di

contatto suolo-fondazione subisce una pressione direttamente proporzionale

σ(x)=

all’abbassamento: K w(x), con K costante di sottofondo.

- La trave è sollecitata da carichi esterni noti q (x); si tratta di carichi per unità di

e

lunghezza provenienti dalla sovrastruttura. Sono carichi distribuiti e non

concentrati, ma non è detto che siano necessariamente presenti.

- La trave ha sezione trasversale costante con asse di simmetria verticale.

≡ ≡

- Sistema di riferimento: asse X asse della trave ; Y direzione degli

abbassamenti (positivo verso il basso)

- Per ogni X gli abbassamenti w(X) della trave coincidono con gli abbassamenti del

terreno.

IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMA

Si scriva innanzitutto l’equazione differenziale della linea elastica del 4° ordine:

In questa equazione q(x) rappresenta il carico che totale che agisce sulla fondazione

–

e che quindi sarà pari a q(x)= q (x) q (x), dove q (x) è già stato definito mentre q (x)

e t e t