Tecnica delle costruzioni - progetto di una trave rovescia di fondazione

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NODO C

M =M +M =327,95 KN m

CD CB 3

• TRATTO 3

3 2

V (X)=V + q X +mX /2

CD 3

2 2 3

M (X)= M +V X+q X /2 + m X /6

CD CD 3

Da cui ancora una volta ricavo:

V =56,06 KN

DC

M =-91,54 KN m

DC

EQUILIBRIO TRASLAZIONE NODO D

V =V -P =-388,93 KN

DE DC 4

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NODO D

M =M +M =228,45 KN m

DE DC 4

• TRATTO 4

4 2

V (X)=V + q X +mX /2

DE 4

4 2 3

M (X)= M +V X+q X /2 + m X /6

DE DE 4

Da cui

V =250 KN

ED

M =-130 KNm

ED

CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO IN CAMPATA

Ricavo per ogni tratto la sezione in cui V(x)=0

• TRATTO 1

1 2

V (X)=0 = mX /2 + q X-P =0

1 1

√ 2

q 1

−q1+ +2mP1

Da cui X= =2,45 m

m

Che sostituita nella legge di variazione del momento mi da:

max1 2 3

M = M -P1(2,45)+q (2,45) /2 + m (2,45) /6= -213,42 KN m

1 1

Analoga cosa faccio per gli altri tratti

TRATTO SEZIONE MOMENTO

2 3.11 m -146.61KN m

3 2.65 m -104.02 KN m

4 2.98 m -357.12 KN m

A questo punto dobbiamo iterare il procedimento per la configurazione CV+SD

2. CV+SD

dobbiamo trasformare il diagramma delle tensioni in un diagramma di carico, che

rappresenta di fatto l’azione che il terreno esercita sulla trave di fondazione:

R 6 e

(1+ ) 2

σ = * =0.106 N/mm

Bm∗Ltot Ltot

max R 6 e

(1− ) 2

σ = * =0.084 N/mm

Bm∗Ltot Ltot

min

quindi

q = σ * B =127.93 N/mm

max 1 m

q = σ * B =101.29 N/mm

min 2 m

La legge di variazione del carico lungo la lunghezza della trave è data da :

qmin−qmax

qmax+

q(x)= x da cui è possibile ricavare q ,q ,q

Ltot 2 3 4

e quindi avremo q =q =127.93 N/mm ; q =120.38 N/mm; q = 112.98 N/mm; q =

1 max 2 3 4

108.39N/mm q =q =101.29 N/mm.

5 min

A questo punto allo stesso modo di pocanzi si spezza la trave di fondazione in 4 tratti

di lunghezza L , L , L , L e si determina la legge di variazione del carico in ciascun

1 2 3 4,

tratto assumendo come origine del sistema di riferimento l’estremo di sinistra.

q2−q1

1

q (x)=q + X= q +mx

L1

1 1

q3−q2

2

q (x)=q + X= q +mx

L2

2 2

q4−q3

3

q (x)=q + X= q +mx

L3

3 3

q5−q4

4

q (x)=q + X= q +mx

L4

4 4

q2−q1 q3−q2 q4−q3 q5−q4

NOTA: m= = = = essendo costante la

L1 L2 L3 L4

pendenza del carico;

a questo punto si passa a determinare le leggi di variazione di taglio e momento in

ciascun tratto.

• TRATTO 1

1 2

V (X)= -P +q X+m X /2

1 1

1 2 3

M (X)= -M -P X+q X /2+ mX /6

1 1 1

Da cui

V =405,18 KN

BA

M = 398,16 KN m

BA

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE NODO B

V - P -V =0

BA 2 BC

V =-194,82 KN

BC

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NODO B

M -M -M =0

BA 2 BC

M =148,17 KN m

BC

• TRATTO 2

2 2

V (X)= V +q X+m X /2

BC 2

2 2 3

M (X)= M +V X+q X /2+ mX /6

BC BC 2

V =388,59 KN

CB

M = 648,01 KN m

CB

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE NODO C

V - P -V =0

CB 3 CD

V =-151,41 KN

CD

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NODO C

M -M -M =0

CB 3 CD

M = 378,02 KN m

CD

• TRATTO 3

3 2

V (X)= V +q X+m X /2

CB 3

3 2 3

M (X)= M +V X+q X /2+ mX /6

CB CB 3

V =191,73 KN

DC

M =444,20 KN m

DC

EQUILIBRIO TRASLAZIONE NODO D

V - P -V =0

DC 4 DE

V =-253,26 KN

DE

EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE NODO D

M -M -M =0

DC 4 DE

M =124,20 KN m

DE

• TRATTO 4

4 2

V (X)= V +q X+m X /2

DE 4

4 2 3

M (X)= M +V X+q X /2+ mX /6

DE DE 4

V =250KN

ED

M =130 KN m

ED

CALCOLO DEL MOMENTO MASSIMO IN CAMPATA

Ricavo per ogni tratto la sezione in cui V(x)=0

• TRATTO 1

1 2

V (X)=0 = mX /2 + q X-P =0

1 1

√ 2

q 1

−q1+ +2mP1

Da cui X= =1,80 m

m

Che sostituita nella legge di variazione del momento mi da:

max1 2 3

M = M -P1(2,45)+q (2,45) /2 + m (2,45) /6= -274,60 KN m

1 1

Analoga cosa faccio per gli altri tratti

TRATTO SEZIONE MOMENTO

2 1.63 m -10.53 KN m

3 1.35 m 275.26 KN m

4 2.38m -174.89 KN m

A questo punto disegno I diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione di entrambi

gli schemi e successivamente effettuo l’inviluppo dei due diagrammi.

In blu la configurazione CV+SD mentre in rosso CV+SS

PROGETTO DELL’ALTEZZA DELLA SEZIONE

avendo deciso di progettare una sezione a T per la trave rovescia di fondazione, dal

+

diagramma di inviluppo dei momenti prendo il momento positivo massimo Md e il

- + -

momento negativo massimo Md , e cioè, Md =648,01 KN m e Md =-357,12 KN m. Per il

calcolo dell’altezza ipotizzo una sezione a semplice armatura.

+

CALCOLO d

+

Per Md la sezione a T rovescia della trave di fondazione si comporta come una

sezione rettangolare di base peri a b , pari alla larghezza dell’anima della sezione, pari

w

a b =40 cm.

w

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

f b 0.8 X - f A = 0

cd w C yd f

+ +

f b 0.8 X (d - 0.4X ) = Md

cd w C c

+

si pone X =βd con β=(0.16-0.18), è stato assunto β=0.17

c

la seconda equazione quindi diventa

+2 + +

f b 0.8 β d (1- 0.4β) = Md da cui ricavo d =949,84 mm

cd w -

CALCOLO d

-

Per Md la sezione a T rovescia si comporta come una sezione rettangolare di base B,

pari alla larghezza dell’ala della sezione, pari a B=80 cm

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

f B 0.8 X - f A = 0

cd C yd f

+ -

f B 0.8 X (d - 0.4X ) = Md

cd C c

-

si pone X =βd

c

la seconda equazione quindi diventa

-2 - -

f B 0.8 β d (1- 0.4β) = Md da cui ricavo d =498,59 mm

cd

Si assume come altezza d della trave di fondazione il valore più grande e quindi

d=950mm;

nota d si ricava H=d+δ=970 mm avendo assunto un δ=20 mm

DIMENSIONAMENTO DELLO SPESSORE DELL’ALA

Per dimensionare lo spessore dell’ala immagino l’ala come uno sbalzo caricato dal

basso verso l’alto e incastrata a un estremo. Con riferimento a una profondità dello

sbalzo di 1 m trovo il carico che agisce su questa mensola che è q=σ *1000=160

t,amm

ala2

N/mm. Noto il carico ricavo il momento all’incastro, M =q*B /2=3,2 KN m, e con

inc

B =200mm.

ala

A questo punto con lo stesso criterio utilizzato per dimensionare l’altezza della trave

H, dimensiono lo spessore dell’ala:

f (1000) 0.8 X (d- 0.4X ) = M

cd C c inc

si pone X =βd

c 2

f (1000) 0.8 β d (1- 0.4β) = M

cd inc

da cui ricavo d =42.21 mm, e quindi uno spessore S = d +δ=62.21 mm avendo

ala

assunto δ= 20 mm.

Anche se è questo lo spessore che è risultato dai calcoli, esso risulta essere troppo

piccolo, e sappiamo che lo spessore dell’ala viene assunto sempre ≥30 cm; per questo

motivo assumiamo S = 35 cm.

ala

A questo punto è nota l’intera geometria della trave rovescia di fondazione.

conoscendo la geometria della fondazione è quindi noto il peso della fondazione e il

peso della sottofondazione.

Peso fondazione=(0.62*0.4+0.8*0.35)*18*25=237,60 KN

Peso sotto fondazione=(1200*0.2)*18*22=95,04 KN

LUNGHEZZA CARATTERISTICA

Si definisce lunghezza caratteristica L* la massima lunghezza che deve avere una

trave per distribuire sul terreno l’azione di un carico concentrato in mezzeria Π

sollecitando il terreno solo a compressione. Tale lunghezza caratteristica vale L*= α

√ 4EI

4

=Π KBm

Dunque ogni trave di fondazione, fissata la geometria, le caratteristiche meccaniche e

il tipo di terreno, possiede la sua lunghezza caratteristica.

La grandezza L* ha due significati, uno prettamente matematico, e l’altro, più

significativo, fisico.

Dal punto di vista matematico L* rappresenta la distanza tra due punti di flesso delle

funzioni cosαx e senαx, che compaiono nella legge degli abbassamenti w(x);

Dal punto di vista fisico la lunghezza L* rappresenta ciò che è stato già anticipato nella

sua definizione.

Dalla teoria delle travi elastiche possiamo creare una distinzione tra travi lunghe e

travi corte:

sia L la lunghezza effettiva della trave

• Se L<L*/4 (ovvero αL<Π/4) la trave si dice corta e la trattiamo come una trave

rigida

• Se L≥ L*/4 (ovvero αL≥Π/4) la trave si dice lunga e la trattiamo come trave elastica

su suolo elastico

Quindi per prima cosa andiamo a determinare quanto vale il parametro α;

√ KBm

4

α= 4 ei

ricerchiamo i vari termini che ancora ci mancano;

3

K=0,1 N/mm

B =1200mm

m 2

E=31447,16 N/mm

I=I +I

f sf

Come si vede dalla formula scritta sopra il momento di inerzia è valutato come somma

di due addendi, ciò vuol dire considerare i due contributi separatamente in modo da

pensare alla fondazione e alla sottofondazione come due elementi separati; non si

tiene conto quindi dell’effetto benefico dell’attrito (a vantaggio di sicurezza).

3

B−bw B−bw

(Sala )

3 2

I =1/12 b H +2 + b H(y -H/2) +2 S

2 2

12

f w w G ala

2 4

(y -S /2) =41738251515 mm

G ala 1

B−bw B−bw

2 2

Dove y =(b +H /2+2 S /2) bw H 2 Sala

2 +

G w ala 2

3 4

I = 1/12 B *S =800000000 mm

sf m 4

Da cui ricavo I=42538251515 mm

A questo punto calcolo α=0.000387 1/mm

αL=6,96≥ Π/4, quindi la nostra trave rovescia di fondazione è una trave lunga e la

trattiamo come una trave elastica su suolo elastico

PROBLEMA DI PROGETTO DELLE ARMATURE

Il progetto delle armature presuppone la conoscenza del diagramma dei momenti sulla

trave al fine di individuare il momento massimo negativo e positivo.

Nel nostro caso la trave risulta essere una trave deformabile; tali travi si studiano

attraverso la teoria delle travi elastiche su suolo elastico.

La teoria si basa su alcune ipotesi fondamentali che sono le seguenti:

• Il terreno di fondazione è schematizzato come un letto indefinito di molle

indipendenti tra loro secondo il modello alla Winkler. Adottare l’ipotesi di terreno

sconnesso alla Winkler significa ammettere che ogni elemento della superficie di

contatto suolo-fondazione subisce una pressione direttamente proporzionale

all’abbassamento: σ(x)= K w(x), con K costante di sottofondo.

• La trave è