Metodi Matematici, Tutorato

Numeri complessi

modi di rappresentazione:

• cartesiana z = x + iy
• trigonometrica z = ρ(cosθ + i sinθ)
• esponenziale z = ρ e^iθ

logaritmo

e^z = ω

ω ∈ ℂ

Im(e^z) = Im(ω) = Im(|ω|) + i (Arg(ω) + 2kπ) k ∈ ℤ

Esercizio

z ∈ ℂ

z =

Im(z) = z + i (π/6 + 2kπ) k ∈ ℤ

Esercizio

z ∈ ℂ, z⁶ = 64

ρ⁶ = 64 ρ = 2

• z₀ = 2
• z₁ = 2 e^iπ/3
• z₂ = 2 e^5iπ/3
• z₃ = 2 e^9iπ/3
• z₄ = 2 e^13iπ/3
• z₅ = 2 e^17iπ/3

Esercizio 1.0

z ∈ ℂ

z² + 2z + 3 = 0

Δ = 4 - 12 = -8

Z_1,2 = -1 ± i√2

Esercizio 2.0

(z - _i(z̅ - 2))² = 4_i

x = 2

x + 2x - y - a = 2_i

(x² - a) + _i(2xy - 8) = 0

• x² - a = 0 ⇒ x = ± 2
• 2x⋅y - 2 = 0 ⇒ x = 2, y = 2, x = -2, y = -2

z₁ = 2 + 2i

z₂ = -(2 + 2i)

Esercizio 3.0

|z + 1| / |z - i| = 2

(x + _iy + 1) / (x + _iy - 1) = 2

√((x+1)² + y²) = 2√(x² + (y-1)²)

(x + 1)² + y² = 4(x² + (y-1)²)

x² + 2x + 1 + y² = 4x² + 4y² + 4 - 8y

3x² + 3y² - 2x - 2y = -3

x + y - 2 / 3x + 2 / 3y = -1

(x - ¹/3)²/9 + (y - ⁴/3)²/9 + 1

Classificare singolarità

• Eliminabile → Res(f₁, z_k) = 0
• Polo
  • z - 1/z²+z   z=1 → Eliminabile
  • Largo (fa esplodere la funzione)
• Essenziale
  • e^1/z
  • sen(1/z)
  • cos(1/z)

Trovare il residuo

• Polo semplice → lim_z→zk (z - z_k) f(z) = Res
• Res = g(z_k)/h'(z_k)   con   h'(z_k) ≠ 0
• Polo di ordine m

Res(f₁, z_k) = 1/(m-1)! · lim_z→zk d^m-1/dz^m-1 ((z - z_k)^m · f(z))

Esempio

f(z) = z² + 1/z

• z=0 non annulla il numeratore → polo semplice (del 1^o ordine)
• Res(f₁, z_k) = Res(f(z), 0) = (z - z_k) f(z) |_z=0
• = f(z² + 1)/1 = z² + 1 = 1

Esercizio

^∮_γ e^z+1

(z-1)²

z = 3 polo semplice

z = i polo d'ordine

m = 2

Res (f(z)ⁿ) =

1

(m-1)! lim_{z -> z0}

d^m-1

dz^m-1 [(f(z) (z-z₀))^m]

= lim_{z -> 2-i} d

dz [(e^z+1)

(z±3)(z-i) (z-i)²]

= lim z -> i [(e^z+1(z+3)-e^z+1)

(z-3)²]

= (-1(i+3) -1)

(i+3)²] =

-i -4

(i+3)² = (z^3-2i

(3-i)²) = (-4-i) (8-6i)

(3-i)² =³⁸⁺¹⁶ⁱ₁₀₀ = -19+8i

/₅₀

^∮_Γ f(z) dz = 2πi (-¹⁹⁺⁸ⁱ₅₀)

∅

Rz = 0 semplice a pol semplice

Res (f, zk) = 3 ³ e ^πi/4 (z ⁴ + 1)

zk = e ^πi/4 z _n = e ^3πi/4

= 3 ³ e ^πi/4 a ² z ³ = 3 4 e ^{πi -π} /

R (f, i∞) = Res ( - 1/z ² f(1/z); 0) = -1/ z ³ e ^πi 3 e ^{πi z 4}

pole semplice z = 0 Res (w(z), 0) = 3e ^{πi 24} / (z ⁴ + 1) = -3: 1/1 -3

• Moltiplicazione per esponenziale

a^m U(m) → U(^z/_a)

• Trigonometria

cos(ωm) U(m) → ^z/₂ [U(^z/_e^-jω) + U(^z/_e^jω)]

sin(ωm) U(m) → ^z/_2j [U(^z/_e^jω) - U(^z/_e^-jω)]

Esercizio 1

U(m) = δ(m) + 2δ(m-1) + 7 δ(m-2)

U(z) = 1 + z^-1 + 7z^-2 = 2^z + ²/_z + ⁷/_z²

= ^{z2 + 2z + 7}/_z²

res = ²/_a0^-1

Esercizio 2

U(m) = H(m-7)(-1^m)

H(m)(-1)^m+7 = H_m(-1)ⁿ(4)^z - H_m(z)^m

U(t) = - ^z/_z+1 → aggiungo lo shift

= - ^z/_z+1 • z⁷ - ¹/_z(z+1)

Esercizio 3

H(m-2) + H(m) • z^m

H(m-2) = ^z/_z-1 • z^-2 = ¹/_z²(z-1)

H_(n⁄2)^m = ^z/_z-1/2 = ^2z/_2z-1

U(t) = ¹/_z² 1 / (_z^-2+L) + ^2z/_2z-1

6.

U(m) = 3U(m-1) = z^m m>0 U(m) = 0 m = 0 n = z^m U(m) = 3U(m-1) = V(m)

V(m) = {

0 m = 0

z^m m>0

} = H(m)z^m

M(z) = z² (z-2)(z-3)

M(z) = L z (z-2)(z-3) m = 0 = 0

z^m+1 = z² m >0 pd: ang. 3, 2

Res(K₁) = z² z^m+1 (z-3) z^m+1

Res(K₃) = z² z^m+1 (z-2) - 1 z^m+1

U(m) = H(m) [z^m+1 - z^m+1 ]

7.

U(m) = zU(m-1) - 3U(m-2) + m m>2 U(m) = 0 m = 0 U(m) = zU(m-1) - 3U(m-2) + 2m m>2 U(m) = 0 m = 0

Esercizio 3

V(m) = 5 V(m) ∃ U(m-1) + 2 U(m-1)

Trovare A(m)

V(z) = 5 V(z) + 3/2 U(z) + 2/z² U(z)

A(z) = 5z² - 3z + 7/z²

f(z) = (5z² - 3z + 7) z^-m

n = 0 problema in n = 0

m = 0

Res (R,0) = 5

m = 1

f(z) = 5z² - 3z + 3/z² + 3

Res (f,0) = ∞ - 3

m = 2

Res (R,0) = 2

n > 2

Res (f,m) = 0

A(m) = 5 δ(m) + 3 δ(m-1) + 2 δ(m-2)

Modo più facile

Il resto è posto come uscita = somma degli ingressi

A(m) = R_s[δ(m)] = V(m) quando U_s

A(m) = 5 δ(m) = δ(m-1) + 2 δ(m-2)

Serie di Fourier

Forme trigonometrica

s(t) = ₀/2 + ∑_{k = 1}^∞ [a_kcos(ω₀kt) + b_ksen(ω₀kt)]

a_k = 2/T ∫_-T/2^T/2 s(t)cos(ω₀kt)dt

b_k = 2/T ∫_-T/2^T/2 s(t)sen(ω₀kt)dt

• s(t) pari → b_k = 0
• s(t) dispari → a_k = 0

Forme esponenziale

s(t) = ∑_{k = -∞}^∞ u_ke^iω₀t

u_k = 1/T ∫_-T/2^T/2 s(t)e^-iω₀tdt

₀/2 = u₀ - Media del segnale sul periodo

TRI → EXP

u_k = a_k/2 - ib_k/2

EXP → TRI

a_k = 2Re(u_k)

b_k = 2Im(u_k)