Metodi Matematici - Appunti parte 1

Revisionato il 12/07/2026

di Mariao

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Appunti presi a lezione al corso di metodi matematici tenuto dal prof. Lisini. - Parte 1.Gli appunti sono divisi in due parti a seguito della grandezza dei fileIn caso si volesse una maggiore …

Esame Metodi matematici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Lisini Stefano

Università Università degli Studi di Pavia

A.A. 2019-2020

100 pagine

Appunti esame

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Metodi Matematici

Richiamo sui numeri complessi

z ∈ C

z = x + iy

x, y ∈ R

forma algebrica

z = ρ (cosΘ + i sinΘ)

forma trigonometrica, con ρ > 0, Θ ∈ R

Modulo di z

z = x + iy

|z| = √(x² + y²)

Se z = ρ (cosΘ + i sinΘ)

|z| = √(ρ² cos²Θ + ρ ² sin²Θ) =

= √(ρ² (cos²Θ + sin²Θ)) = √ρ² = ρ

Coniugato

Dato z = x + iy

z̅ = x - iy

Parte reale e immaginaria

z = x + iy def. Re z = x

Im z = y

Re z̅ = Re z

Im z̅ = - Im z

Somma e prodotto

z₁ = x₁ + iy₁

z₂ = x₂ + iy₂

{

z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂)

z₁ · z₂ = (x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂)

= x₁ x₂ - y₁ y₂ + i (x₂ y₁ + x₁ y₂)

i² = i · i = -1

z₁ = ρ₁ (cosΘ₁ + i sinΘ₁)

z₂ = ρ₂ (cosΘ₂ + i sinΘ₂)

z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos (Θ₁ + Θ₂) + i sin (Θ₁ + Θ₂)]

Rappresentazione grafica

z = x + iy

z = ρ (cosΘ - i sinΘ)

Metodi Matematici

Richiamo sui numeri complessi

ℂ z ∈ ℂ 〈z = x + iy, x, y ∈ ℝ〉

forma algebrica

z = ρ (cosΘ + i sinΘ) forma trigonometrica, con ρ > 0, Θ ∈ ℝ

Modulo di z z = x + iy, |z| = √(x² + y²)

Se z = ρ (cosΘ + i sinΘ) |z| = √(ρ² cos²Θ + ρ² sin²Θ) =

√(ρ² (cos²Θ + sin²Θ) = √ρ² = ρ

Coniugato

Dato z = x + iy 〈z = x - iy

Parte reale e immaginaria

z = x + iy def. Re z = x

Imz = y

Re 〈z = Re z

Im 〈z = - Im z

Somma e prodotto

z₁ = x₁ + iy₁
z₂ = x₂ + iy₂

{ z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + i (y₁ + y₂) }

z₁ · z₂ = (x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂) = x₁x₂ - y₁y₂ + i (x₂y₁ + x₁y₂)

i² = i·i = -1

{ z₁ = ρ₁ (cosΘ₁ + i sinΘ₁)

z₂ = ρ₂ (cosΘ₂ + i sinΘ₂)

z₁ · z₂ = ρ₁ρ₂ (cos(Θ₁ + Θ₂) + i sin(Θ₁ + Θ₂))

Rappresentazione grafica

z = x + iy

z = ρ (cosΘ - i sinΘ)

Potenze
- z ∈ ℂ n ∈ ℕ
- zⁿ = z · z · ... · z _{n volte}
- z⁰ = 1
z = ρ (cos() + i sin())

zⁿ = ρⁿ (cos(n) + i sin(n)) Moivre

z² = (x + iy)² = x² - y² + 2ixy

(x + iy)ⁿ = _{k = 0} ⁿΣ (ⁿʹₖ) x^n-k (iy)ⁿ⁻^k
Reciproco di un numero complesso
- z = x + iy , ̅ = x - iy
- z · ̅ = x² + y² ∈ ℝ
- z · ̅ = |z|²
|z| = √(z · ̅)

¹/_z = ^̅/_{z · ̅} = ^̅/_|z|² con z ≠ 0

z ∈ ℂ
Divisione
^z/_w = ^z/_w · ^̅/_̅ = ^{z ̅}/_{w ̅} = ^{z ̅}/_|w|²
Radici n-esime
Problema: dato w ∈ ℂ, dato n ∈ ℕ, n > 1, determinare tutti quei z ∈ ℂ tale che zⁿ = w.
- Se w = 0 soluz. z = 0
- Se w ≠ 0 n soluzioni distinti
  - w = ρ̂ (cos ̂ + i sin ̂) dati
  - z = ρ (cos + i sin ) incognite
z^ⁿ = w

ρⁿ (cos(n) + i sin(n)) = ρ̂ (cos ̂ + i sin ̂)

ρ = ᶰ√ρ̂

n = ̂ + 2k con k ∈ ℤ

= ^{̂ + 2k}/_n

k = 0, 1, 2, ..., n - 1

• Funzioni di variabile complessa

Ω ⊂ ℂ f: Ω → ℂ

Es. Ω = ℂ

f(z) = z f(z) dato a ∈ ℂ f(z) = a
n ∈ ℕ f(z) = zⁿ
Polinomi f(z) =ⁿ_∑_k=0 a_k z^k, a_k ∈ ℂ, k=0,..,n

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