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Metodi Matematici
- Richiamo sui numeri complessi
\[ C \quad z \in C \quad z = x + iy, \quad x, y \in R \]
forma algebrica
\[ z = \rho (\cos \Theta + i \sin \Theta) \]
forma trigonometrica, con \( \rho > 0, \Theta \in R \)
Modulo di \( z \)
\[ z = x + i y \quad |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Se \( z = \rho (\cos \Theta + i \sin \Theta) \)
\[ |z| = \sqrt{\rho^2 \cos^2 \Theta + \rho^2 \sin^2 \Theta} = \]
\[ = \sqrt{\rho^2 (\cos^2 \Theta + \sin^2 \Theta)} = \sqrt{\rho^2} = \rho \]
Coniugato
Dato \( z = x + iy \quad \bar{z} = x - iy \)
Parte reale e immaginaria
\( z = x + iy \) def. \quad \( Re \, z = x \)
\( Im \, z = y \)
\( Re \, \bar{z} = Re \, z \)
\( Im \, \bar{z} = - Im \, z \)
Somma e prodotto
- \( z_1 = x_1 + i y_1 \)
- \( z_2 = x_2 + i y_2 \)
\( z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i (y_1 + y_2) \)
\( z_1 \cdot z_2 = (x_1 + i y_1) (x_2 + i y_2) = x_1 x_2 - y_1 y_2 + i (x_1 y_2 + x_2 y_1) \)
\( i^2 = i \cdot i = -1 \)
\( z_1 = \rho_1 (\cos \Theta_1 + i \sin \Theta_1) \)
\( z_2 = \rho_2 (\cos \Theta_2 + i \sin \Theta_2) \)
\( z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \rho_2 (\cos (\Theta_1 + \Theta_2) + i \sin (\Theta_1 + \Theta_2)) \)
Rappresentazione grafica
\( z = x + iy \quad z = \rho (\cos \Theta + i \sin \Theta) \)
- Potenze
- z ∈ ℂ n ∈ ℕ zn = z∙z∙...∙z
- z0 = 1
- z = ρ(cos(θ) + i sin(θ)) zn = ρn(cos(nθ) + i sin(nθ))
- z2 = (x+iy)2 = x2 + y2 + 2 i xy
- (x+iy)n = ∑(n, k=0) (xn-k (iy)k)
Reciproco di un numero complesso
- z = x + iy, z̅ = x - iy z∙z̅ = x2 + y2 ∈ ℝ
- z̅ : z : z = |z|2
- |z| = √z̅z
- 1/z = z̅/z̅z = z̅/|z|2 con z≠0
- z ∈ ℂ
Divisione
- z ∈ ℂ w ∈ ℂ w ≠ 0
- z/w = z̅/w̅ = 1/w - z w̅/|w|2
Radici n-esime
- Problema: dato w ∈ ℂ, dato n ∈ ℕ, n > 1, determinare tutti gli z ∈ ℂ tale che zn = w.
- Se w = 0 soluz. z = 0
- Se w ≠ 0 n soluzioni distinte
- w = ρ(cosΘ + i sinΘ)
- z = ρ̃(cosΘ̅ + i sinΘ̅)
- zn = w
- ρ̅n(cos(nΘ) + i sin(nΘ)) = ρ̃(cosΘ̅ + i sinΘ̅)
- nΘ̅ = Θ + 2kπ
- Θ̅ = Θ + 2kπ/n
- k = 0, 1, 2, ..., n-1
3) Anche la serie per k ∈ [0, +∞]
∑k=0 +∞ 1/P(k) ak(z - z0)k ha lo stesso
raggio di convergenza.
Esempi:
① ∑k=0 +∞ zk z0 = 0, ak = 1 ∀k ∈ ℕ r = 1 diverge sempre
- Somma 1/(1 - z) ∑k=0 +∞ zk vero ∀z |z| < 1
Se |z| = 1 1) z = 1 ∑k=0 +∞ 1 diverge
2) z = -1 ∑k=0 +∞ (-1)k z = cos(θ) + i sin(θ) zk = cos(kθ) + i sin(kθ) ≠ 0 non potrà mai tendere a 0 qualsiasi θ scegliamo …
uguale a sopra
∑k=1 +∞ 1/k zk senza fare conti
e polinomio …
quindi ho r.d.c. = 1
Se |z|= 1 ∑k=1 +∞ 1/k diverge
|z| = -1 ∑k=1 +∞ (-1)k 1/k converge per Leibniz
③ ∑k=1 +∞ 1/k2 zk r = 1 sul bordo?
se |z| = 1 …
∑k=1 +∞ 1/k2 converge sempre
∑k=0 +∞ k! zk ak = k!
converge solo in un
Risolvere
ez = 2 + 2i
2 + 2i = a + 2i = 2√2
θ = π/4
2 + 2i = 2√2 eiπ/4
x = ln(2√2)
y = π/4 + 2kπ
Definizione delle funzioni trigonometriche e iperboliche di ℂ.
sin z = k=0+∞Σ (-1)k z2k+1/(2k+1)!
RDC r = +∞
cos z = k=0+∞Σ (-1)k z2k/(2k)!
RDC r = +∞
Osservazione: se z = x ∈ ℝ allora sin z = sin xcos z = cos x
sinh z = k=0+∞Σ z2k+1/(2k+1)!
cosh z = k=0+∞Σ z2k/(2k)!
Relazione
sinh(iz) = k=0+∞Σ (i)2k+1 z2k+1/(2k+1)!= i k=0+∞Σ (-1)k z2k+1/(2k+1)! = i sin z
(i)2k+1 = -(i)2k+1 = (i2)k
cosh(iz) = k=0+∞Σ (i)2k z2k/(2k)!= k=0+∞Σ (-1)k z2k/(2k)! = cos z
Il cerchio è ruotato di 90° ed il cos z è il cos z.
8/10/19
Serie di potenze
f(z) = ∑k=0+∞ ak (z-z0)k
z0 ∈ ℂ, ak ∈ ℂ, k ∈ ℕ, raggio di convergenza
r > 0
∀ z ∈ Br(z0)
f'(z) = ∑k=0+∞ k ak (z-z0)k-1
d/dz ez = ez
d/dz sin z = cos z , d/dz cos z = -sin z ,
d/dz sinh z = cosh z , d/dz cosh z = sinh z
sin z = ∑k=0+∞ (-1)k z2k+1 / (2k+1!) ,
d/dz sin z = ∑k=0+∞ (-1)k (2k+1) z2k / (2k+1!)
= ∑k=0+∞ (-1)k 1 / (2k)! z2k = cos z
Valgono le formule
1) sin z = (eiz - e-iz) / 2i ∀ z ∈ ℂ
2) cos z = (eiz + e-iz) / 2
3) sinh z = (ez - e-z) / 2
4) cosh z = (ez + e-z) / 2
d/dz cos z = d/dz [(eiz + e-iz)/2 ]
= i (eiz - ie-iz/2 = i (eiz - e-iz)/2 ,
moltipli. = -sin z
Casoreale log (1+x) = ∑k=1+∞ (-1)k+1 1/k xk
x ∈ (-1,1]
la deivab. è una condizione più forte della diff. (?)
f(x,y) = x2+y2+2ixy non è derivabile in ℂ
Es. f: D(f) ➔ ℂ , D(f) = {z = x+iy ∈ ℂ ; x>0}
definita su tutto il semipiano
f(x,y) = 1/2 ln(x2+y2) + i arctan(y/x)
∂f/∂x = 1/2 2x/(x2+y2) + 1/(1+(y/x)2) (-y/x) = x/(x2+y2) - i y/(x2+y2) = z/|z|2
∂f/∂y = y2/(x2+y2) + 1/(1+(y/x)2) x/(x2+y2) = y/(x2+y2) + i x/(x2+y2) = 1/z
soddisfa le cond di C-R. ➔ derivabile, f, è una funz. anomorfa
f'(z) si denota anche con Log z e si chiama anche logaritmo principale.
f'(z) = 1/z
──── ◯────◯────◯────◯────
Integrale di una funzione f: D(f) ⊂ ℂ ➔ ℂ lungo una curva nel D(f).
- voglio poter definire ∫r f(z) dz
- definiamo l'integrale su una curva parametrizzata
Curva parametrizzata
z: [a,b) ➔ ℂ
z(a) = A
z(b) = B
è di classe C1 a-tratti se esistono t1,t2,..,tn con a <t1<t2<...<tn<b tali che z|([a,t1) e z|(tk,tk+1) è C1 e
ristretta agli intervalli
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