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Allora, per tutti i punti che appartengono all'intersezione dei due intorni, entrambe le relazioni sono vere
.
contemporaneamente, qualunque sia il valore scelto per Questo significa che, se esiste anche un solo valore di per
cui tali relazioni non sono soddisfatte, allora la posizione iniziale dell'esistenza di due limiti distinti non può essere
sostenuta. Diamo allora a e un valore a nostra scelta, ad esempio diciamo che ; le due relazioni diventano
e
Cioè si ha che
Questa catena di disuguaglianze è però assurda e quindi dobbiamo concludere che il limite è unico.
Si dimostra poi che le relazioni lOM oAR cP SD| 14053244 1
sono a due a due incompatibili, cioè che una sola di esse può essere vera.
lOM oAR cP SD| 14053244 2
“dei carabinieri”, l’interpretazione
Enunciare il teorema del confronto detto anche dandone grafica.
Consideriamo le funzioni , e e supponiamo che esse valgono le seguenti ipotesi:
tutte siano definite nello stesso intervallo eccettuato al più un punto x0 di esso;
in ogni punto di tale intervallo sia
.
esista il limite delle due funzioni e e sia
Allora esiste anche il limite di ed è il .
l’interpretazione
Enunciare il teorema degli zeri, dandone grafica.
Il teorema degli zeri, chiamato anche teorema di Bolzano, per le funzioni continue reali, assicura l’esistenza di almeno
una matrice (soluzione) dell’equazione ottenuta eguagliando a zero la funzione, in un intervallo ai cui estremi la
funzione stessa assume valori di segno opposto.
continua nell’intervallo ed agli estremi dell’intervallo
Se è [a, b] (a, b) assume valori opposti cioè
allora l’equazione di ammette in (a, b) almeno una soluzione. Dunque se
la funzione attraverserà una volta almeno l’asse dell’ascisse.
l’interpretazione
Enunciare il teorema dei valori intermedi, dandone grafica.
Il teorema di Bordeaux, detto anche dei valori intermedi, si applica alle funzioni continue reali ed assicura che
l'immagine di un intervallo contenga tutti i valori compresi tra le immagini degli estremi dell'intervallo. Se è
continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] essa non può passare da un valore all'altro senza assumere, almeno una
volta, tutti i valori intermedi. In particolare assumerà almeno una volta tutti i valori fra il suo massimo ed il suo minimo
che sappiamo esistere per il teorema di Weierstrass. lOM oAR cP SD| 14053244 3
l’interpretazione
Enunciare il teorema di Weierstrass, dandone grafica.
Il teorema di Weierstrass è un importante risultato riguardo l'esistenza di massimi e minimi di una funzione di variabile
reale. Se è continua in un insieme chiuso e limitato, allora ammette in x massimo e minimo. La funzione è
solo sufficiente. Anche funzioni non continue possono ammettere massimi e minimi, si pensi alle discontinuità di prima
specie con il salto. La funzione continua nell'intervallo (a, b) ammette un massimo in c ed un minimo in d.
l’asintoto
Calcolare obliquo della seguente funzione:
Come si calcolano il coefficiente angolare m ed il termine noto q di un eventuale asintoto obliquo?
Se il grafico della funzione ha un asintoto obliquo di equazione , con m0, allora m e q sono
dati dai seguenti limiti
Descrivi la relazione fra derivabilità e continuità
Il teorema dice che se una funzione è derivabile in un punto allora è anche continua. Se è derivabile in
allora è continua in .
Sia allora si può scrivere:
Se è derivabile ipotizziamo continuità
Quindi la derivabilità garantisce la continuità, viceversa la continuità non è sufficiente per avere la derivabilità. Da
questo possiamo dire che:
se è continua in un punto può essere derivabile nel punto, ma non per forza. Se non è continua non sarà
derivabile.
se è derivabile in un punto sarà sicuramente continua in quel punto.
lOM oAR cP SD| 14053244 4
Determinare gli eventuali asintoti della funzione
Asintoto verticale y=2
Asintoto orizzontale asintoto orizzontale
Asintoto obliquo
La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il
segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento
della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro
significato sull’andamento della curva.
Max P
Minino relativo
Flesso P (0;0)
Flesso orizzontale 0
Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo
cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.
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Determinare gli eventuali asintoti della funzione
Asintoto verticale
Asintoto obliquo non esiste asintoto obliquo
Determinare gli eventuali asintoti della funzione
Asintoto verticale
Asintoto orizzontale
Asintoto obliquo
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine
del campo di esistenza. lOM oAR cP SD| 14053244 6
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e gli asintoti.
Asintoto verticale
Asintoto orizzontale
Asintoto obliquo
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti al confine del campo di
esistenza, individuare gli asintoti e dare la definizione di limite destro e limite sinistro al tendere della funzione
ad un valore finito l.
Asintoto verticale ] asintoto verticale
Asintoto orizzontale l’orizzontale
Asintoto obliquo non esiste perché esiste a 1 nell’intorno
Un limite destro è un limite per x che tende in questo caso a 1, con valori di x che si approssimano
nell’intorno sinistro del
destro del punto. Nel caso del limite sinistro i valori di x si avvicinano a -1 punto. Il limite
permette di studiare il comportamento della funzione nell’intorno di un punto e possiamo stabilire a quale valore tende
la funzione a man a mano i valori della funzione variabile indipendente.
lOM oAR cP SD| 14053244 7
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio, i limiti e la derivata prima.
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e dando
la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.
–a/b verso l’alto –a/b
La y^1 è equivalente al coefficiente angolare quindi se y^1>0 f(x) crescente, se y^1<0 verso il
basso f(x) decrescete. Mai
Segno è una funzione quindi è crescente
Il segno della derivata pria indica il segno del coefficiente angolare della tangente, se la tangente è
crescente, se la tangente è decrescente. lOM oAR cP SD| 14053244 8
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne la derivata prima studiandone il segno,
sull’andamento
individuare eventuali punti di flesso specificandone la natura ed il significato della curva.
Segno Mai
estremanti sono
è un punto di flesso a tangente orizzontale poiché annulla a derivata prima
è un punto di flesso poiché si ha un cambio di concavità
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio , i limiti e la derivata prima.
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La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio , i limiti e gli asintoti
Asintoto verticale
Asintoto orizzontale
Asintoto obliquo lOM oAR cP SD| 14053244 10
La funzione ha il seguente grafico. Individuare dal grafico eventuali estremanti, esplicitare il
segno della derivata prima, dando la spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento
della curva ed esplicitare l’eventuale presenza di punti di flesso specificandone la loro natura ed il loro
significato sull’andamento della curva
Segno
Flesso orizzontale 0
Nel punto 0 abbiamo una pendenza orizzontale e non abbiamo punti di massimo o minimo relativo, non avendo
cambiato segno della derivata prima, dunque il punto 0 è un flesso.
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne il Dominio , i limiti e la derivata prima.
lOM oAR cP SD| 14053244 11
La funzione ha il seguente grafico. Calcolarne la derivata prima studiandone il segno e dando la
spiegazione teorica della relazione tra segno della derivata e andamento della curva.
Segno mai escluso 0
Il segno della derivata pria indica il segno del coefficiente angolare della tangente, se la tangente è
crescente, se la tangente è decrescente.
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della
derivata prima .
Lo 0 è escluso dal dominio lOM oAR cP SD| 14053244 12
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il confini del
campo di esistenza.
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della
derivata prima.
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della
derivata prima ( x= 1-e punto di minimo). lOM oAR cP SD| 14053244 13
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto
oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine del
campo di esistenza
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né asintoto
oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della derivata
prima.
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitarne intuitivamente i limiti al confine
del campo di esistenza. lOM oAR cP SD| 14053244 14
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo la funzione nessun altro estremante né flesso né
asintoto oltre a quelli riportati nella porzione di grafico riprodotta, esplicitare intuitivamente il segno della
derivata prima ( si annulla per x= - 3 e per x= 0) .
La funzione ha il seguente grafico. Non avendo
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