Matematica per l'economia - Traccia svolta appello 8 gennaio 2019

Analisi di una funzione e calcolo degli autovalori e autovettori di una matrice

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico:

-16x^2 + 5

DOMINIO: tutto R

INTERSEZIONI: nessuna

SEGNO: negativo per x < 0, positivo per x > 0

QUADRO DEI SEGNI:

LIMITI: non esistono limiti per x tendente a ±∞

La funzione ammette un asintoto obliquo di equazione: y = -16x

Limiti di f(x) per x tendente a -5 da sinistra e da destra: non esistono

DERIVATA PRIMA:

f'(x) = -32x

Studio della DERIVATA PRIMA:

f(x) ha un massimo in x = -8 e un minimo in x = -2

Grafico parziale e grafico completo

2. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo per la seguente funzione:

f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x

Il dominio di f(x) è tutto R

Calcoliamo la derivata prima e cerchiamo eventuali valori di x per cui essa si annulla:

f'(x) = 3x^2 - 8x + 3 = 0

x = 0 o x = 4/3

La funzione ha un punto di massimo relativo in x = 0

La funzione ha un punto di minimo relativo in x = 4/3

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori della seguente matrice:

Matrice A:

Definizione di autovalore e autovettore:

Un autovalore di una matrice A è un numero λ tale che esiste un vettore non nullo x tale che Ax = λx.

Un autovettore di una matrice A è un vettore non nullo x tale che Ax = λx, dove λ è un autovalore di A.

Calcolo degli autovalori e autovettori:

Calcoliamo il determinante della matrice A - λI, dove I è la matrice identità:

|A - λI| = |2-λ -3 0| = 0

| -1 2-λ 0|

| -1 1 0-λ|

Calcoliamo il determinante:

(2-λ)(0-λ) - (-3)(-1) = λ^2 - 2λ - 3 = 0

Risolviamo l'equazione:

λ^2 - 2λ - 3 = (λ - 3)(λ + 1) = 0

λ1 = 3, λ2 = -1

Calcoliamo gli autovettori corrispondenti:

Per λ1 = 3:

A - 3I = |2-3 -3 0| = 0

| -1 2-3 0|

| -1 1 0-3|

Risolviamo il sistema di equazioni:

x - y = 0

-x + y = 0

-x + y - 3z = 0

La soluzione è x = y, z libero

Autovettore corrispondente a λ1 = 3:

v1 = (1, 1, 0)

Per λ2 = -1:

A - (-1)I = |2-(-1) -3 0| = 0

| -1 2-(-1) 0|

| -1 1 0-(-1)|

Risolviamo il sistema di equazioni:

x + y = 0

-x + y = 0

-x + y + z = 0

La soluzione è x = -y, z libero

Autovettore corrispondente a λ2 = -1:

v2 = (-1, 1, 1)

1. Definizioni:
• Sia A una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo C.
• Si dice che lo scalare λ è un autovalore di A, se esiste un vettore non nullo v tale che Av = λv.
• Il vettore v è detto autovettore di A relativo all'autovalore λ.
2. Calcolo degli autovalori ed autovettori:
• Risoluzione del polinomio caratteristico: det(A - λI) = 0.
• Sviluppando il determinante lungo una colonna o una riga, si ottiene un'equazione polinomiale in λ.
• Risolvendo l'equazione polinomiale, si trovano gli autovalori λ.
• Per ogni autovalore λ, si risolve il sistema omogeneo (A - λI)v = 0 per trovare gli autovettori v.